不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)性能分析與優(yōu)化

劉 存，殷 勇*，2，楊 晗 ，朱 鹮 ，李恩澤 ，汪 浩 ，楊永康

1.武漢工程大學光電信息與能源工程學院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學熱科學與動力工程研究所，湖北 武漢 430205

有限時間熱力學［1-4］致力于求解在不同的約束條件下系統(tǒng)的最優(yōu)熱力性能。隨著低溫與微納米技術的發(fā)展，許多學者［5-8］把有限時間熱力學拓展到了量子力學領域［9-10］。在這些系統(tǒng)（量子放大器，激光制冷機，磁制冷機，半導體熱電發(fā)電機，光伏發(fā)電，自旋以及偶合諧振子等等）中，需要應用量子熱力學的分析方法。對有效質量為零的粒子，需要應用相對論量子力學進行分析。

1984 年，Kosloff［11］建立了第一個量子熱機模型。隨后，許多學者建立了不同類型的量子熱力裝置。Ro?nagel［12］建立了單原子驅動的量子熱機模型，Ter?as［13］建立了由兩個納米諧振子驅動的量子熱機模型，Su 等［14］建立了基于量子共振隧穿的三端量子點熱機模型，鄂青等［15］分析了以廣義勢阱中粒子為工質的量子熱聲微循環(huán)的性能，文獻［16-17］研究了以一維無限深勢阱中粒子為工質的量子斯特林熱泵［16］與制冷循環(huán)［17］的性能。作為一個最簡單的量子系統(tǒng)，一維無限深勢阱得到了大量的關注，許多學者以無限深勢阱中粒子為工質，建立了各種量子熱力模型（如量子卡諾循環(huán)［18］、量子奧托循環(huán)［19-20］、量子斯特林循環(huán)［21-23］、以及一種沒有經(jīng)典對應的由3 個過程所組成的量子循環(huán)［24-25］），并得到了許多有意義的結論。2011年，Abe［26］假設勢阱壁以一個有限速率運動，得到了循環(huán)的周期以及熱機的輸出功率。王建輝等［27-28］以一維無限深勢阱中極端相對論粒子為工質，建立了量子卡諾熱機模型。文獻［23］建立了以無數(shù)個一維無限深勢阱中極端相對論粒子為工質的不可逆量子斯特林熱機循環(huán)模型，以Ω（Ω˙=(2-ηmax/η)P）函數(shù)為目標函數(shù)，對循環(huán)性能進行了分析與優(yōu)化。

在文獻［18，23，26，29］的基礎上，本文將建立一個以一維無深勢阱中極端相對論粒子為工質的不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)模型。循環(huán)由兩個等溫過程與兩個等勢阱寬度過程組成，考慮熱漏，導出該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)與泵熱率，并對循環(huán)的性能進行分析與優(yōu)化。

1 系統(tǒng)的量子力學描述

相對論能量動量關系式可以表示為E=式中m為粒子質量，p為動量，c為光速。極端相對論情形下此式可以表示為E=cp。因此，囚禁于一維無限深勢阱中極端相對論粒子滿足如下的定態(tài)薛定諤方程［28］：

式中，?為約化普朗克常數(shù)，Φ是波函數(shù)，可以表示為：

式中L是勢阱寬度。系數(shù)αn以及占有幾率pn=|αn|2滿足歸一化條件：

求解式（1）可得量子化的能級En［28］：

式中h是普朗克常數(shù)，n是量子數(shù)。En與L之間的關系為En∝L-1，這不同于一維無限深勢阱（En=n2π2?2/(2mL2)）與 諧 振 子 勢 阱 （En=n2?2/(mL2)）（En∝L-2）。系統(tǒng)能量期望值可以表示為：

在經(jīng)典熱力循環(huán)中，系統(tǒng)通過體積膨脹推動活塞向外運動，從而實現(xiàn)對外做功。設想把該一維無限深勢阱的勢阱壁當作經(jīng)典活塞的對應物，并以有限的速率v運動。因此，系統(tǒng)的能量本征值會隨著勢阱寬度的改變而變化。根據(jù)廣義力的定義：

式中dyn是與廣義位移Yn對應的廣義坐標。由式（4）～式（6）可得施加在勢阱壁的力為：

2 循環(huán)模型

循環(huán)工質為囚禁于一維無限深勢阱中的極端相對論粒子。為簡單起見，只考慮能量最低的兩個能級。該量子熱力循環(huán)的工作物質由無數(shù)個這樣的粒子組成。粒子在激發(fā)態(tài)上的占有幾率由吉布斯分布律決定。該量子斯特林循環(huán)由兩個等溫過程與兩個等勢阱寬度過程組成?？紤]高低溫熱源間的熱漏，因此，本文研究的循環(huán)為不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)，在F-L圖上循環(huán)示意圖如圖1（a）所示。

過程1-2，系統(tǒng)與一溫度為TL的低溫熱源保持熱耦合（T1=T2=TL）并作等溫膨脹，系統(tǒng)從低溫熱源吸收一定的熱量Q12并推動勢阱壁向外運動，系統(tǒng)在每一狀態(tài)點的熵為：

式中k是玻爾茲曼常數(shù)，pi表示系統(tǒng)在狀態(tài)i時激發(fā)態(tài)（n=2）上的占有幾率，例如，p1表示圖1（a）中，粒子在狀態(tài)1 時處于激發(fā)態(tài)上的占有幾率。1-2過程中吸收的熱量Q12可以表示為：

圖1 （a）量子斯特林熱泵循環(huán)F-L 圖，（b）性能系數(shù)關于x 和 p1 的關系圖（a=0.01）Fig.1 （a）F-L plane of quantum stirling heat pump，（b）relationship between ε and p1（a=0.01）

由廣義力對位移積分，可以求出過程中系統(tǒng)對外所做的功：

在過程3-4，系統(tǒng)與一溫度為TH的高溫熱源耦合T3=T4=TH，并作等溫壓縮，外界對系統(tǒng)做功。過程中系統(tǒng)與高溫熱源交換的熱量可以表示為：

外界對系統(tǒng)所做的功可以表示為：

在過程2-3（4-1）中，系統(tǒng)從回熱器吸收（釋放）一定量的熱量Q23(Q34)，系統(tǒng)與回熱器交換的熱量可以表示為：

|Q23|≠|Q41|表示該量子斯特林循環(huán)的回熱過程不能實現(xiàn)理想回熱。為保持熱平衡，循環(huán)中高溫熱源必須傳入部分熱量| ΔQr|到回熱器。

因為絕熱線比等溫線陡峭，所以有p3＞p4,p2＞p1，因此 ΔQr＜ 0，考慮到高低溫熱源間的熱漏，假設每循環(huán)的漏熱量為：

式中a（s-1）是一個常數(shù)，每循環(huán)的漏熱量可以表示為Qe=，其中τ為循環(huán)周期?；谝陨峡紤]，系統(tǒng)從低溫熱源吸收的熱量Ql與釋放給高溫熱源吸收的熱量Qh可以表示為：

系統(tǒng)在各個狀態(tài)i(i=1,2,3,4)時激發(fā)態(tài)上的占有幾率由吉布斯分布給出［23，26］：

式中k是玻爾茲曼常數(shù)，Δi=Ei2-Ei1為各態(tài)i(i=1,2,3,4)的能級寬度。由式（18），可以得到：

由式（19）～式（22），可以得到：

式中r=TH/TL為高低溫熱源的溫度之比，x=L2/L1為勢阱寬度比。式（23）～式（25）意味著在r給定時，p2，p3和p4是x和p1的函數(shù)。

3 性能系數(shù)與泵熱率

根據(jù)文獻［23-25］，該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)的周期為：

由式（10）和式（12）循環(huán)的輸入凈功可表示為：

該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)E=Qh/ | |W可以表示為：

泵熱率可以表示為：

式中，ζ=kTHvˉ/(ML1k)是一個由系統(tǒng)所決定的無量綱純數(shù)。

4 性能分析與優(yōu)化

由式（28），可以繪出該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)的性能系數(shù)ε隨x和p1的變化關系，如圖1（b）所示。r=TH/TL是系統(tǒng)高溫熱源與低溫熱源的溫度之比，考慮到可逆卡諾循環(huán)的效率只取決于高低溫的熱源的溫度之比，因此，本文選擇溫比r為一個控制變量。為了研究循環(huán)的性能系數(shù)與粒子在狀態(tài)1 時處于激發(fā)態(tài)上的占有幾率p1和勢阱寬度比x的關系，取溫比r為定值（r=2）。r=2只說明高溫熱源的溫度是低溫熱源溫度的2 倍，并沒有確定高低溫熱源的具體溫度。由圖可知，性能系數(shù)ε隨p1的增加而減??；性能系數(shù)隨勢阱寬度比x的變化關系為一個凸單調函數(shù)。p1取確定值時，該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)有極大值εmax以及對應的xmε。

由式（30）可以繪出無量綱泵熱率關于x和p1的關系圖，如圖2（a）所示。繪圖中各參數(shù)取r=2，a=0.01，ξ=kTHvˉ/(ML1k)=1。由圖可知，無量綱泵熱率Π*關于x的函數(shù)關系也是一個凸單調函數(shù)。存在一個無量綱泵熱率極大值Π*max以及對應的xmΠ*。無量綱泵熱率隨p1的增加而減小。

圖2 關系曲線：（a）無量綱泵熱率關于x 和 p1，（b）不同 p1時，性能系數(shù)與無量綱泵熱率，（a=0.01）Fig.2 Variation curves：（ a）dimensionless pump-heating rate with x and p1，（b）ε with dimensionless pump-heating rate in terms of different p1（a=0.01）

圖2（b）為p1取不同數(shù)值時，以x為控制參數(shù)時，性能系數(shù)關于無量綱泵熱率的關系曲線圖。繪圖時參數(shù)取值與圖2（b）相同。曲線是回原點的扭葉型，這與經(jīng)典熱力學優(yōu)化理論得到的結果是一樣的。為了分析與優(yōu)化該不可逆量子斯特林熱泵的性能，以p1=0.01 的曲線為例，由圖2（b）中曲線可知，存在一個無量綱泵熱率的最大值Π*max以及對應的性能系數(shù)εmΠ*。同樣也存在一個最大性能系數(shù)εmax以及對應的無量綱泵熱率Π*mE。曲線被εmΠ*和εmax分成 3 段，如圖2（b）中所示 I、II 和 III。在 I 與 III 上，無量綱泵熱率Π*是性能系數(shù)ε的單調函數(shù)。 在這個部分，無量綱泵熱率隨性能系數(shù)的增加而增加。在第二部分，無量綱泵熱率Π*隨性能系數(shù)ε的增加而減??；反之，如果性能系數(shù)ε減小時，無量綱泵熱率Π*增加。因此，區(qū)間II 所表示的范圍就是由性能系數(shù)與無量綱泵熱率優(yōu)化曲線所決定的熱泵的最優(yōu)運行區(qū)間，可以表示為：

或者

當式（31）或者式（32）被滿足時，對于給定的p1以及高低溫熱源之間的溫度比r，該量子斯特林熱泵循環(huán)工作在其最優(yōu)區(qū)間內(nèi)。在這個區(qū)間，犧牲部分性能系數(shù)可以換來更高的泵熱率，或者可以通過犧牲部分泵執(zhí)率來換取更高的性能系數(shù)。

如果式（33）被滿足，在給定的p1，r，以及熱漏系數(shù)a時，以性能系數(shù)與無量綱制冷率為優(yōu)化準則，該不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)工作在其最優(yōu)區(qū)間。

4 結 論

本文建立了以一維無限深勢阱中極端相對論粒子為工質的不可逆量子斯特林熱泵循環(huán)模型，考慮旁通熱漏與不完全回熱，應用有限時間熱力學的研究方法，求解體系的薛定諤方程，導出了循環(huán)的輸出率、熱效率等性能參數(shù)，采用數(shù)值計算與函數(shù)極值理論，分析和優(yōu)化了該不可逆量子斯特林循環(huán)的性能。結果表明：熱泵的性能系數(shù)是p1的單調遞減函數(shù)，性能系數(shù)隨p1的增加而減?。恍阅芟禂?shù)是勢阱寬度比x的凸單調函數(shù)。存在一個性能系數(shù)的極大值以及與之對應的勢阱寬度比的取值，無量綱泵熱率也是p1的單調遞減函數(shù)，無量綱泵熱率隨p1的增加而減??；無量綱泵熱率是勢阱寬度比x的凸單調函數(shù)，存在一個無量綱泵熱率的極大值以及與之對應的勢阱寬度比的取值。以勢阱寬度比為控制參數(shù)，無量綱泵熱率關于性能系數(shù)的關系曲線為回原點的扭葉型，由xmΠ*＜x＜xmE所決定的區(qū)間為該不可逆量子斯特林熱泵的最優(yōu)運行區(qū)間。