生活體驗(yàn)詮釋數(shù)學(xué)本質(zhì)

郭軍明

[摘? 要] 生活中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識、原理. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)適時地將學(xué)生的視野從課堂引向生活世界，尋找數(shù)學(xué)概念、法則、定律、公式、方法、思維的現(xiàn)實(shí)模型. 文章基于“現(xiàn)實(shí)背景與形式模型互相統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分利用學(xué)生已有的生活體驗(yàn)，來解釋數(shù)學(xué)原理、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、體會數(shù)學(xué)價值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)本質(zhì);生活體驗(yàn);高中;教學(xué)

數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建是由生活、生產(chǎn)的需要而產(chǎn)生的，以及它自身的邏輯演化而發(fā)展的，所以生活世界是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)知識的意義之源，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活有著難以割舍的聯(lián)系. 從某種角度看，數(shù)學(xué)和生活的關(guān)系像是一個“映射”，也就是說數(shù)學(xué)總能找到在生活世界中的投影.

數(shù)學(xué)課程中設(shè)置有一定文字量的生活背景和應(yīng)用實(shí)例，但很多教師把它們視為簡單的“輸入”和“輸出”的教學(xué)環(huán)節(jié)，生活與數(shù)學(xué)兩者的聯(lián)系找不到相應(yīng)的結(jié)合點(diǎn). 在教學(xué)時應(yīng)適時地將學(xué)生的視野從課堂引向生活世界，努力尋找數(shù)學(xué)概念、法則、定律、公式、方法、思維在客觀世界中的模型，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、體會數(shù)學(xué)意義.

■認(rèn)識數(shù)學(xué)語言的文化背景

1. 數(shù)學(xué)概念的文化背景

（1）體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程.

一切科學(xué)知識都是來自生活、受生活的啟迪. 然而數(shù)學(xué)概念往往被抽象化的外衣包裹，但這些被包裹的概念常是有著其生動、具體的實(shí)際背景的. 在數(shù)學(xué)教材中許多概念（如集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、數(shù)列、概率等）都是從豐富的、深厚的現(xiàn)實(shí)生活體驗(yàn)中引出的，所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識出發(fā)，以學(xué)生已有的體驗(yàn)和容易理解的現(xiàn)實(shí)問題為素材，經(jīng)歷產(chǎn)生概念的過程，讓學(xué)生在熟悉的事物和具體情境中理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.

（2）嘗試數(shù)學(xué)概念的本意解釋.

一般數(shù)學(xué)概念的定義都是嚴(yán)密的、精煉的，揭示本質(zhì)屬性的. 總是帶著一副冷靜的、刻板的面孔，然而我們的學(xué)生是一個個活生生的個體，有時兩者往往產(chǎn)生一種無形的心理對立. 要使兩者達(dá)成統(tǒng)一，只有讓數(shù)學(xué)概念鮮活化和生動化.

①偶爾的一個英文注釋，常常可以吸引對概念更多的注意. 如函數(shù)（Function：功能、運(yùn)行），所以函數(shù)f（x）一般以首字母f表示;直線（Line），所以直線一般用l表示;曲線（Curve）以C表示，等等. 當(dāng)多于一個數(shù)學(xué)對象的表示時，一般以原始對象的后續(xù)字母表示，如函數(shù)f（x），g（x），h（x）;直線l，m，n;曲線C，D，E. 這種數(shù)學(xué)語言的世界性標(biāo)注規(guī)則，是對數(shù)學(xué)寬廣文化背景的詮釋，讓學(xué)生從文化的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)語言的科學(xué)性和規(guī)范性.

②偶爾的一句中文詞義標(biāo)注，常常可以引起對概念更深層的思考. 如對函數(shù)概念的認(rèn)識，“函”指容納或者用匣子或封套裝盛的意思，那么“函數(shù)”就是容納實(shí)數(shù)或者把實(shí)數(shù)用匣子或封套裝盛起來，這里的匣子或封套可以理解為集合. 這也從另一個側(cè)面了解“函數(shù)”這一名稱的用意. 再如很多學(xué)生對平均數(shù)和期望的概念沒有一個正確的區(qū)分，教學(xué)時通過對期望的本意解釋（對未來情況寄托希望或有所等待），讓學(xué)生認(rèn)識到期望有著對未來的一種堅(jiān)定的向往. 所以不管隨機(jī)變量在實(shí)驗(yàn)中的取值如何，都不會改變其值，它是隨機(jī)變量取值想要達(dá)到的某種程度，是隨機(jī)變量的本質(zhì)屬性. 而平均數(shù)只要到實(shí)驗(yàn)結(jié)束之后，便可知，其值會隨實(shí)驗(yàn)的不同而變化，是隨機(jī)變量的外在表現(xiàn)形式.

2. 數(shù)學(xué)符號的文化淵源

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)形式，它能清晰地表達(dá)出數(shù)學(xué)思維的過程，是數(shù)學(xué)思維的載體. 人們在長期實(shí)踐中，由于研究的需要，創(chuàng)造了大量的數(shù)學(xué)符號，來代替或表示某些數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算與關(guān)系.

（1）數(shù)學(xué)符號的縮略記法.

符號的引入不是隨意的，而是有客觀依據(jù)的，是為了人們便于書寫、理解、記憶和應(yīng)用. 多數(shù)數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生，源于文字的縮寫. 如虛數(shù)單位“i”是引用imaginary number（虛數(shù)）的第一個字母;積分符號“■”也是引用了Summation（求和法）的第一個字母;自然對數(shù)的符號是“Natura logarithm”的縮寫，知道這一點(diǎn)就不可能寫成“In”了. 在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號的含義，讓學(xué)生意識到這些記號是約定俗成的，不可隨意更改.

（2）數(shù)學(xué)符號的會意表達(dá).

象形和會意也是數(shù)學(xué)符號的一個重要來源，數(shù)學(xué)符號語言有一種提示的功能，見其形，明其意. 在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，學(xué)生對假說“H■”比較難以理解，不知道其傳達(dá)的意思，其實(shí)“H”是Hypothesis （假設(shè)、假說）的首字母，“0表示沒有”，兩者連起來就是“假設(shè)沒有關(guān)系”的意思，

（3）數(shù)學(xué)式子的直觀印象.

數(shù)學(xué)式子的引入是科學(xué)的和自然的，直觀的和形象的，如分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a■化為根式■，分子的m在根號內(nèi)，分母n在根號外，不少學(xué)生容易把m，n換位了，我們可以用一個“子里母外”的俗語，其中隱含的意思不言而喻、心領(lǐng)神會，永久性地避免了錯誤的發(fā)生. 數(shù)學(xué)符號語言結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，特征清晰，使用數(shù)學(xué)符號語言可以大大減少記憶量，從而使數(shù)學(xué)對象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)得更清晰，更便于檢索和聯(lián)想.

■尋找數(shù)學(xué)思維的現(xiàn)實(shí)來源

1. 數(shù)學(xué)方法的生活靈感

（1）數(shù)學(xué)方法的形象比喻.

用學(xué)生生活中常見的現(xiàn)象來描述數(shù)學(xué)知識、原理或方法，使抽象的數(shù)學(xué)變得形象、生動而且易于掌握. 比如綜合法證明過程就像生活中的“順藤摘瓜”，只要“藤”不斷，“瓜”一定能摘到. 這里的“藤”比喻為推理過程，“瓜”比喻為所證結(jié)論. 再如在教材（必修3）的隨機(jī)抽樣中，有這樣一段話：“我們知道，為了判斷一鍋湯的味道如何，如果鍋里的湯被充分?jǐn)嚢枇?，那么我們只須嘗一勺就可以了，同樣的高質(zhì)量的樣本來自‘?dāng)嚢杈鶆虻目傮w. ”對抽樣方法的目的作出了形象的比喻.

在教學(xué)活動中，教師要針對教學(xué)內(nèi)容，充分調(diào)動知識儲備，合理發(fā)揮想象，注意事物彼此之間的關(guān)聯(lián)、適當(dāng)、適度的形象比喻，變抽象為具體，化呆板為生動，呈乏味為有趣. 例如，在綜合法和分析法的具體教學(xué)中，我們可以把這種證明的過程比作從條件的此岸到結(jié)論的彼岸構(gòu)建思維橋梁的過程. 我們知道，在現(xiàn)實(shí)生活中，建橋都是從兩岸相對同時進(jìn)行的. 所以證明也是從條件和結(jié)論同時出發(fā)，逐步向中心靠攏，實(shí)現(xiàn)對接.

（2）數(shù)學(xué)方法的經(jīng)驗(yàn)啟示.

許多數(shù)學(xué)思想和我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降囊恍┖唵蔚览硎且恢碌?，我們要把?shù)學(xué)問題和這些日常生活中的簡單道理聯(lián)系起來，必修3的算法初步中，學(xué)生對于交換兩個變量A和B的值的賦值語句“x=A，A=B，B=x”難以理解. 其實(shí)這一交換方法來自生活中的將兩個容器中的溶液相互交換，如把兩個容器中的醬油和醋相互交換. 要實(shí)現(xiàn)此目的，那么必須要借助一個空容器（即x），先把醬油倒入空容器（即x=A），再把醋倒入原先裝醬油的容器（即A=B），最后把醬油倒入原先裝醋的容器（即B=x）. 實(shí)踐表明，在學(xué)生能夠富有意義的原理、方法的抽象形式之前，具體的活動以及學(xué)生生活中熟知的知識和經(jīng)驗(yàn)，能有效地幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)知識方法的意義.

2. 數(shù)學(xué)構(gòu)想的現(xiàn)實(shí)原形

（1）數(shù)學(xué)模型的生活反映.

數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu). 最經(jīng)典的例子就是糖水不等式. 有兩杯濃度不一樣的糖水的濃度分別為■，■，且■<■，混合之后的濃度介于兩者之間，即■<■<■. 它源自普通的生活靈感，卻能推演出生活之外的客觀規(guī)律，

（2）問題解決的日常舉例.

學(xué)生在面對一個陌生的數(shù)學(xué)問題時，其思維總是自然而然地與日常思維接軌或相匹配，由此激活學(xué)生已有的活動體驗(yàn)，調(diào)動內(nèi)部已經(jīng)形成的經(jīng)驗(yàn)、策略、模式，找到問題解決的突破.

比如，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量. 現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（? ）

A. 26 B. 24 C. 20 D. 19

這個問題比較陌生，如果把A看成是自來水總廠，B看成是某一用戶的水龍頭，那么從A分4路到達(dá)B，每一路線管中，水流量是由最細(xì)的管線所決定的，即是由每路管線中的每節(jié)管道的最大流量的最小值決定的，否則會使水管爆裂的，因此本題中的最大信息量為4條網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量的最小值之和.

■結(jié)語

生活孕育了數(shù)學(xué)，生活教會了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活，生活和數(shù)學(xué)就像一對母子. 作為數(shù)學(xué)教育工作者，不能忽略數(shù)學(xué)遺傳的各種生活性狀，只有認(rèn)識到數(shù)學(xué)寓于的生活道理，才能談得上有意義的數(shù)學(xué)應(yīng)用.