結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1，1)模型及其變形預(yù)測應(yīng)用

邱 利 軍，張 波，周 占 學(xué)，張 京 奎

(1.河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000； 2.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點實驗室，河北 張家口 075000； 3.中國電子科技集團(tuán)公司第54 研究所，河北 石家莊 0500813)

建筑物在施工建設(shè)過程中需要進(jìn)行變形監(jiān)測以觀測其變形狀態(tài)，同時確保其建設(shè)期間的安全，該項工作一般會延續(xù)至運(yùn)營期間。在獲得變形數(shù)據(jù)后，變形分析則顯得尤為重要，而變形預(yù)測是變形分析的一項重要內(nèi)容。精確的變形預(yù)測能夠?qū)笃谧冃瘟坑袦?zhǔn)確的判斷，并對可能發(fā)生的危險情況提前制定應(yīng)對策略，以避免危險發(fā)生，從而達(dá)到降低損失的目的。常用的變形預(yù)測方法有回歸分析法、時間序列分析法、灰色系統(tǒng)分析模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[1]。由我國鄧聚龍教授所提出的GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基本模型[2]，其“小樣本、貧信息”的建模特點能夠做到建模預(yù)測的及時性。GM(1，1)模型在變形數(shù)據(jù)預(yù)測領(lǐng)域的應(yīng)用研究與實踐已經(jīng)展開，并取得了諸多成果。其中，王艷艷[3]等、王朝陽[4]等結(jié)合工程實踐分別針對傳統(tǒng)均值GM(1，1)模型和新陳代謝GM(1，1)模型進(jìn)行了應(yīng)用研究。而由于模型建模存在優(yōu)勢建模維數(shù)，因此選取合適的等維或非等維優(yōu)勢建模維數(shù)對GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)能夠提高建模預(yù)測的精度[5-7]；同時，由于傳統(tǒng)GM(1，1)模型在建模機(jī)理上存在固有缺陷，因此，從初始值選取[8-9]、背景值重構(gòu)[10-11]、光滑比優(yōu)化等[12-14]一個或多個方面對其進(jìn)行改進(jìn)，能夠提高預(yù)測精度。文建華[15]等采用函數(shù)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)以剔除原數(shù)據(jù)中干擾因子；蔡小輝[16]等通過分解原始序列以提取單調(diào)序列，從而建立GM(1，1)模型進(jìn)行變形預(yù)測；高寧[17]等引入半?yún)?shù)理論構(gòu)建滑坡半?yún)?shù)GM(1，1)模型；胡華[18]等則以摩擦學(xué)理論為基礎(chǔ)推導(dǎo)出邊坡演化的非線性動力學(xué)模型，結(jié)合灰色系統(tǒng)理論構(gòu)建了以速率為參量的GM(1，1)模型并應(yīng)用于滑坡時間預(yù)測。而針對數(shù)據(jù)序列波動頻繁等復(fù)雜數(shù)據(jù)預(yù)測問題，許多學(xué)者采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、灰色馬爾科夫模型、自回歸模型、Kalman濾波等與GM(1，1)模型組合進(jìn)行組合預(yù)測研究，取得了較好的效果[19-20]。

但是在傳統(tǒng)GM(1，1)模型、原始數(shù)據(jù)變換改進(jìn)的GM(1，1)模型[21-23]以及基于建模機(jī)理缺陷改進(jìn)的GM(1，1)模型中，其本質(zhì)依然是指數(shù)函數(shù)預(yù)測，無論擬合精度多高，建模序列的一次累加序列和擬合函數(shù)序列在后期依然出現(xiàn)相近、相交或相離的趨勢，并不重合[24-26]?；谶@種情況，提出采用平面坐標(biāo)變換的方法對模型進(jìn)行了改進(jìn)，并以實測變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測驗證。

1 結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1，1)模型

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為非負(fù)離散序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列，那么X(1)的緊鄰均值生成序列是Z(1)=(z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))。則GM(1，1)模型為

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

(2)

式(2) 稱為式(1) 的白化方程。

用最小二乘法可求解得：

(3)

(4)

式(4) 即為X(1)序列預(yù)測公式；若k+1≤n，即為擬合值；若k+1>n，即為預(yù)測值。

(5)

若Δ>0，公式(4) 的計算值則下移，反之，則上移。平移后公式為

(6)

arctan[x(1)(n)-x(1)(n-1)]

(7)

若θ>0，則平移后進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)；若θ<0，則在平移后進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)。

(3) 計算旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)。坐標(biāo)系中任一點(x，y)可繞點(x0，y0)旋轉(zhuǎn)θ角，得到新的坐標(biāo)點(x′，y′)，其對應(yīng)轉(zhuǎn)換公式為

(8)

(9)

注意，若n+i>xn+m，則以對應(yīng)的xn+m-1和xn+m兩點連線延長線上的值為預(yù)測值。

對得到的預(yù)測序列累減還原，即可得到建模序列X(0)的m期預(yù)測序列。若序列建模前進(jìn)行了預(yù)處理，則需要進(jìn)行反向還原處理。

模型原理如圖1所示，建模序列與擬合序列對應(yīng)的第n個值以及第n-1個值所構(gòu)成折線段趨勢可能是相近(圖1中n=5，n-1=4)、相交(圖1中n=6，n-1=5)、相離(圖1中n=7，n-1=6)的趨勢，平移使得第n個值重合(圖中采用n=6示意)，計算夾角并進(jìn)行繞點旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換，然后取橫軸為定值時旋轉(zhuǎn)后折線上對應(yīng)的縱坐標(biāo)值作為一次累加序列預(yù)測值(圖1中虛線與旋轉(zhuǎn)后折線交點)。由圖1可知，旋轉(zhuǎn)變換會導(dǎo)致擬合序列部分?jǐn)?shù)據(jù)誤差較大，但由于建模序列為已知序列，僅考慮預(yù)測階段序列，則改進(jìn)方法達(dá)到了提高預(yù)測序列精度的目的。需要說明的是：繞點旋轉(zhuǎn)不改變旋轉(zhuǎn)點至基準(zhǔn)點(已知一次累加序列最后一項)的長度，圖中長度不等是由于縱橫坐標(biāo)軸比例尺不同所致。

圖1 模型原理示意Fig.1 Schematic diagram of model principle

2 工程實例

采用大壩沉降觀測數(shù)據(jù)和基坑沉降觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗證，算法采用C#編程實現(xiàn)，中間變量均采用雙精度(double)型數(shù)據(jù)，最后數(shù)據(jù)四舍五入取至小數(shù)點后兩位。并采用4種不同模型對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模預(yù)測，以進(jìn)行比較分析。所采用的模型如下：模型1，均值GM(1，1)模型；模型2，結(jié)合坐標(biāo)變換的均值GM(1，1)模型；模型3，ln(x+c)預(yù)處理后均值GM(1，1)模型；模型4，ln(x+c)預(yù)處理后再結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1，1)模型。

實例1：取陸渾水庫大壩壩頂P29測點11期沉降變形觀測數(shù)據(jù)[5-6]，采用上述4種模型，以前9期數(shù)據(jù)作為原始序列進(jìn)行建模，預(yù)測第10期和第11期數(shù)據(jù)。前9期實測建模數(shù)據(jù)序列如表1所列，后兩期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測值及原文獻(xiàn)方法的預(yù)測值如表2所列；后兩期預(yù)測數(shù)據(jù)與原文獻(xiàn)方法預(yù)測值的相對誤差如表3所列。

表1 實測建模數(shù)據(jù)序列值Tab.1 Sequence value of measured modeling data mm

表2 不同模型的預(yù)測值Tab.2 The predicted values by different models mm

由表2和表3可知：模型4的預(yù)測結(jié)果最好，其相對誤差最小，僅為0.11%；模型2的預(yù)測精度次之，相對誤差最大為0.16%；將模型1和模型2～4分別比較，可知坐標(biāo)變換對模型預(yù)測精度有明顯提高。4種模型自第9～11期的預(yù)測(第9期已知)與實測曲線如圖2所示。

表3 不同模型預(yù)測值的相對誤差Tab.3 The relative error of models’ predicted values %

圖2 不同模型建模預(yù)測曲線Fig.2 The predicted curves by different models

由圖2可知，坐標(biāo)變換過程是對模型1以及模型3預(yù)測值沿縱向向?qū)崪y值的趨近和校正。

實例2：采用某基坑監(jiān)測單個沉降觀測點10期實測累計沉降數(shù)據(jù)[10]，利用上述4種模型，以前7期數(shù)據(jù)作為原始序列進(jìn)行建模，預(yù)測第8～10期數(shù)據(jù)。前7期實測建模數(shù)據(jù)序列如表4所列，后3期預(yù)測數(shù)據(jù)與實測值如表5所示；后3期預(yù)測數(shù)據(jù)的相對誤差如表6所示。

表4 某基坑實測建模數(shù)據(jù)序列值Tab.4 Sequence value of measured modeling data of a pit mm

表5 算例2不同模型的預(yù)測值Tab.5 The predicted values of case 2 by different models mm

分析表5和表6可知：模型4的預(yù)測結(jié)果最好，其相對誤差均在0.4%以下；模型3的預(yù)測精度次之，其相對誤差在0.5%～3.5%之間；分別比較模型1和模型2～4，可知坐標(biāo)變換對模型預(yù)測精度提高明顯。4種模型自第7期至第10期預(yù)測(第7期為已知值)結(jié)果與實測曲線對比見圖3。

由圖3可明顯發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)變換過程雖然是對模型1及模型3預(yù)測值沿縱向向?qū)崪y值的趨近和校正，但是可能出現(xiàn)圖3中模型1與模型2的情況，即變換前后兩條預(yù)測曲線分別位于實測曲線上方和下方，其原因在于以前期實測值與擬合值之間的夾角代替后期待測值與預(yù)測值之間的夾角誤差較大，導(dǎo)致校正過大。

表6 不同模型預(yù)測值的相對誤差Tab.6 The relative error of models’ predicted values %

圖3 算例2不同模型建模預(yù)測曲線Fig.3 The predicted curve of case 2 by different models

綜合實例1及實例2可知，坐標(biāo)變換后模型能夠提高原模型精度，其與ln(x+c)變換提高精度的原理不同，兩者對精度提高的大小取決于原始已知序列，并不能單獨認(rèn)為某項改進(jìn)較另一改進(jìn)預(yù)測精度高，同時采用ln(x+c)變換和坐標(biāo)變換的方法，會得到比單一改進(jìn)方法更高的預(yù)測精度。而ln(x+c)變換與坐標(biāo)變換組合改進(jìn)模型的最終精度取決于變量c能否取到較佳的估值。上述實例1所取c為40，而實例2所取c值為5.7。

3 結(jié) 論

本文針對傳統(tǒng)GM(1，1)模型的一次累加序列預(yù)測函數(shù)與實測累加序列存在趨勢偏差這一情況，提出采用平面坐標(biāo)變換的方式對模型進(jìn)行改進(jìn)，以此來提高預(yù)測精度。同時以實測變形監(jiān)測數(shù)據(jù)來驗證改進(jìn)模型的精度，并對多種不同模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析，得到以下結(jié)論：① 坐標(biāo)變換的改進(jìn)模型精度較高，適用于短期變形預(yù)測，具有一定的工程實踐應(yīng)用價值；② 該方法對本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)擬合預(yù)測的GM(1，1)系列模型具有適用性；③ 該方法依然需要滿足GM(1，1)模型建模序列要求，即序列近似指數(shù)增長，存在適用條件限制，對不滿足建模條件的序列需要對原始序列進(jìn)行預(yù)處理；④ 由于本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)預(yù)測，因此在處理頻繁波動等復(fù)雜數(shù)據(jù)情況下難以獨自進(jìn)行，需要與其它模型進(jìn)行組合處理；⑤ 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的方法也可以向其它單一趨勢外推預(yù)測模型推廣。