三維Helmholtz 類方程柯西問題的一種基于修正核的數(shù)值解

何尚琴 馮秀芳?

(1. 北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750021; 2. 寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，銀川 750021)

0 引言

近幾十年來，偏微分方程不適定問題的研究受到越來越多的關(guān)注，歸因于受其他學(xué)科和眾多工程技術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用所驅(qū)動。例如，腦電圖影像、電阻抗斷層、光斷層掃描、煉鋼爐中腐蝕面的估計等方面的應(yīng)用[1]。求解不適定問題的普遍方法是：用一族與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法。如何建立有效的正則化方法是反問題領(lǐng)域中不適定問題研究的重要內(nèi)容。通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov 正則化方法、各種迭代方法以及其它的一些正則化方法和改進(jìn)方法，這些方法都是求解不適定問題的有效方法，在各類反問題的研究中被廣泛運用，并得到深入研究[2]。

對于正波數(shù)的Helmholtz 方程△u+k2u=0, k ＞0 的數(shù)值解已有許多研究方法和成果[3]。純虛波數(shù)的Helmholtz 方程△u-k2u= 0, k ＞0 稱為修正的Helmholtz 方程(又稱Yukawa 方程)，通常出現(xiàn)在半隱式時間離散的熱方程中，也用來描述波的彌散、擴(kuò)散問題等物理現(xiàn)象，國內(nèi)外已有許多研究結(jié)果[4–5]。修正的Helmholtz 方程問題是一類嚴(yán)重的不適定問題[6]。針對此類方程Cauchy 問題的求解，目前有BEM 法[7]、Fourier 正則化方法[8]以及截斷法[9]等方法。

軟化方法也是求解不適定問題的一種方法，此方法用來求解不適定問題的關(guān)鍵是構(gòu)造軟化算子，很多利用軟化法解決柯西問題的研究都是利用選定的核函數(shù)和測量數(shù)據(jù)做卷積，把不適定問題轉(zhuǎn)化為適定問題進(jìn)而求解。但是核函數(shù)的選取并不唯一，每一類核函數(shù)都有其自身的優(yōu)勢和特點。Manselli 和Miller[10]以及Murio[11–12]用Weierstrass 核來構(gòu)造軟化算子解決了熱傳導(dǎo)方程的一些不適定問題。H`ao[13]分別用de la Vall′ee Poussin 核與Dirichlet 核構(gòu)造軟化算子解決了一些經(jīng)典的不適定問題。Murio 在文獻(xiàn)[14]中用Gaussian 核構(gòu)造軟化算子解決了數(shù)值微分和逆熱傳導(dǎo)問題。文獻(xiàn)[15–17]也用Gaussian 核研究了幾類橢圓方程的柯西問題。文獻(xiàn)[18]利用修正核的方法研究了二維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題。本文受文獻(xiàn)[18]啟發(fā)，研究修正的Helmholtz 方程的柯西問題。在原有柯西問題解的基礎(chǔ)上，構(gòu)造修正算子，將不適定問題轉(zhuǎn)化為適定問題。并在正則參數(shù)的選取之下得到了逼近解和精確解之間的L2-誤差估計和Hs-誤差估計。最后用數(shù)值算例驗證了所提出方法的有效性和穩(wěn)定性。

本文考慮如下的Cauchy 問題

1 問題不適定性分析

設(shè)?φ(w,η,z)表示函數(shù)φ(x,y,z)關(guān)于變量r=(x,y)∈R2的Fourier 變換[13]

2 修正算子及正則化解

3 誤差估計

3.1 L2-估計

3.2 Hs-估計

引入比(2)、(3)式更強(qiáng)的先驗界

4 數(shù)值實驗

上節(jié)從理論上證明了修正核方法的收斂性和穩(wěn)定性(在合適的正則參數(shù)選取下)。下面將用數(shù)值算例加以驗證理論結(jié)果。所有計算在Matlab 2017b 中實現(xiàn)。數(shù)值例子中，考慮離散區(qū)間[-10,10]×[-10,10]，為了產(chǎn)生測量數(shù)據(jù)fδ(x,y)，方差為?正態(tài)分布的隨機(jī)擾動被加到數(shù)據(jù)f上，即

為了檢驗所給出算法的穩(wěn)定性和有效性，檢驗了波數(shù)k，固定位置z以及噪音擾動δ取不同值時對應(yīng)精確解與正則逼近解之間的相對誤差。表1 和表2 分別列出了z=0.2 和z=0.8，波數(shù)k=0.5 與k=10 時，不同噪音擾動對應(yīng)的正則解和精確解之間的相對誤差。表3 和表4 列出了邊界z= 1 處p分別取p= 3 和p= 12 對應(yīng)波數(shù)k= 0.5, k=10 時不同δ對應(yīng)的正則解和精確解之間的相對誤差。

表1 z =0.2 時不同δ 和波數(shù)下的相對誤差

表2 z =0.8 時不同δ 和波數(shù)下的相對誤差

表3 z =1, p=3 時不同δ 和波數(shù)下的相對誤差

表4 z =1, p=12 時不同δ 和波數(shù)下的相對誤差

圖1 和圖2 分別給出了在z= 0.3 處k= 1, δ= 10-4和k= 20, δ= 10-4的比較圖。圖3 展示了圖1 和圖2 對應(yīng)下精確解與逼近解之間的誤差。圖4 和圖5 分別展示了邊界z= 1 處，δ= 10-10當(dāng)k= 6, p= 3 和k= 6, p= 25 時精確解和逼近解比較圖。圖6 為圖4 和圖5 中精確解與近似解之間的誤差。

圖1 當(dāng)k =1, z =0.3, δ =10-4 時，對應(yīng)的精確解和近似解

圖2 當(dāng)k =20, z =0.3, δ =10-4 時，對應(yīng)的精確解和近似解

圖3 精確解與逼近解之間的誤差

圖4 當(dāng)k =6, p=3, δ =10-10 時，邊界z =1 處的精確解和逼近解

圖5 當(dāng)k =6, p=25, δ =10-10 時，邊界z =1 處的精確解和逼近解

圖6 邊界z =1 處精確解與逼近解之間的誤差

由表1 至表4 以及圖1 至圖6 可知，精確解與逼近解之間的逼近度，不僅與波數(shù)k有關(guān)還與噪音擾動δ有關(guān)。特別是邊界處，由于先驗界由Sobolev 范數(shù)決定，所以在邊界處精確解與逼近解之間的逼近程度除了與波數(shù)k，噪音擾動δ有關(guān)，還與p有關(guān)?？傮w來說，δ越小，逼近效果越好。也就是說，隨著δ的減小，數(shù)值解越來越穩(wěn)定。因此，本文所采用的修正核方法對于處理Helmholtz 類方程柯西問題是非常有效并且穩(wěn)定的。

5 結(jié)論

本文考慮修正的Helmholtz 方程的Cauchy 問題。通過將原有精確解的核進(jìn)行修正，得到正則近似解，用其逼近原問題的精確解。采用先驗選取規(guī)則計算正則參數(shù)，得到了正則近似解與精確解之間的L2-型和Hs-型誤差估計。數(shù)值算例驗證了所采用軟化正則化方法的有效性和穩(wěn)定性。關(guān)于三維Helmholtz 方程的Cauchy 問題，亦可用本文方法解決，我們將在另文中給出。