多徑環(huán)境下異步長碼直接序列碼分多址信號(hào)偽碼序列及信息序列盲估計(jì)

周 楊 張?zhí)祢U

(重慶郵電大學(xué)信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400065)

1 引言

直接序列碼分多址(Direct-Sequence Code division Multiple Access, DS-CDMA)技術(shù)因其抗干擾性強(qiáng)、保密性好等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在通信、測(cè)控、雷達(dá)、遙控等領(lǐng)域[1]。且在非協(xié)作通信中，如：無線電監(jiān)測(cè)、通信對(duì)抗等，由于接收方并不知道信號(hào)調(diào)制所用的擴(kuò)頻碼，即使截獲到DS-CDMA信號(hào)，也難以獲取信號(hào)中的有用信息。因此，有效估計(jì)DS-CDMA信號(hào)的偽碼序列及信息序列是當(dāng)前通信領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一。

目前，針對(duì)DS-CDMA信號(hào)偽碼序列及信息序列估計(jì)的研究方法主要集中在短碼擴(kuò)頻(即1周期偽碼序列僅由1位信息碼調(diào)制而成)上，而長碼擴(kuò)頻DSCDMA信號(hào)(即1周期偽碼序列由多位信息碼間隔調(diào)制而成)的研究較少。如：迭代最小二乘算法[2,3]、3階相關(guān)算法[4-6]、奇異值分解或特征值分解算法[7,8]、信號(hào)子空間算法[9]、最大似然估計(jì)算法[10]、MUSIC算法[11]和FAST-ICA算法[12]。其中，文獻(xiàn)[2,3]采用迭代最小二乘投影法實(shí)現(xiàn)短碼DS-CDMA信號(hào)各用戶偽碼序列的估計(jì)，但是該方法在估計(jì)長碼DSCDMA信號(hào)偽碼序列時(shí)，估計(jì)性能容易受缺失數(shù)據(jù)影響。文獻(xiàn)[4-6]提出了矩陣填充和3階相關(guān)的估計(jì)方法，該方法首先將長碼DS-CDMA信號(hào)建模為含缺失數(shù)據(jù)的混合矩陣形式，再利用延時(shí)3階相關(guān)的方法實(shí)現(xiàn)了各用戶長碼擴(kuò)頻碼序列的估計(jì)，但是該方法僅僅適用于m序列估計(jì)，無法估計(jì)其它類型的偽碼序列，如：Gold序列和M序列等，存在一定局限性。文獻(xiàn)[7]采用特征值分解法估計(jì)DS-CDMA信號(hào)各用戶的偽碼序列，但該方法在各用戶功率相近的情況下，會(huì)得到兩個(gè)近似的特征值，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確提取出主特征向量，從而影響估計(jì)性能。文獻(xiàn)[9]利用信號(hào)子空間投影算法實(shí)現(xiàn)DS-CDMA信號(hào)各用戶偽碼序列的盲估計(jì)，但由于批處理數(shù)據(jù)矩陣，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度高。文獻(xiàn)[12]利用Fast-ICA算法估計(jì)信號(hào)的偽碼序列，但由于盲源分離過程中會(huì)進(jìn)行白化處理，從而在低信噪比條件下無法準(zhǔn)確地提取主分量，導(dǎo)致估計(jì)性能下降。此外，已有的對(duì)DS-CDMA信號(hào)中的偽碼估計(jì)方法的研究都是在理想信道下進(jìn)行的，而實(shí)際的無線信道大多都是多徑環(huán)境[13,14]。因此，研究該信號(hào)在多徑環(huán)境下的序列估計(jì)具有重要意義。

針對(duì)多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)序列盲估計(jì)問題，本文提出一種基于缺失平行因子(PARAllel FACtor, PARAFAC)的多通道模型，并利用正則交替最小二乘法估計(jì)出各用戶的偽碼序列及信息序列。

2 多徑長碼DS-CDMA信號(hào)多通道接收模型

在非協(xié)作DS-CDMA通信系統(tǒng)中，假設(shè)有 U個(gè)用戶且使用R 個(gè)接收通道接收信號(hào)，且各用戶之間、各接收通道之間相互獨(dú)立。則多徑長碼DS-CDMA信號(hào)多通道接收模型如圖1所示。

則第 r個(gè)通道接收的信號(hào)經(jīng)過離散采樣后可表示為

圖1 多通道接收模型

圖2 萊斯信道的功率譜密度及包絡(luò)分布

由式(3)可知，多徑異步短碼DS-CDMA信號(hào)的第r 個(gè)通道的接收信號(hào)矩陣可表示為，其維數(shù)為P × Mˉ?，F(xiàn)將多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的第r 個(gè)通道的接收信號(hào)xr(n)表示成矩陣形式，則對(duì)于n ∈{0,1,···,N -1}， 令矩陣Xr和 Zr的 第(mod(n,P)+1)行 、第( 「n/G?+1)列 元素分別為xr(n)和1，其余元素為0，表示該元素缺失了。因此， Xr和Zr分別為的缺失數(shù)據(jù)矩陣和加權(quán)矩陣，則有

式(4)中，“ ⊙”為點(diǎn)乘運(yùn)算[15]。因此，對(duì)于所有R個(gè)接收通道，有

式(5)中， Xˉ 和 X 分別為多徑異步短碼DS-CDMA信號(hào)和多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的3維矩陣，其在接收增益矩陣方向上的第 r 個(gè)切片分別為和Xr。 同理，Z 的第r 個(gè)切片為Zr。

3 多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的偽碼序列及信息序列盲估計(jì)

3.1 多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的缺失平行因子模型及可辨識(shí)性條件

式(6)中

由式(8)可知，2pi中包含完整的偽碼序列，1pi和3pi分別包含偽碼序列的左和右子序列。結(jié)合式(4)可知第r 個(gè)通道的接收信號(hào)矩陣為

式( 8 ) 中， P =[p1p2p3]2P×3U; A=diag[a a a]3U×3U， 其 中a =diag[ar,1ar,2···ar,U];

平行因子模型是一種3線性分解模型[16]，即將3維矩陣向3個(gè)剖面進(jìn)行投影使其轉(zhuǎn)化為2維矩陣的過程，利用平行因子模型對(duì)多徑異步短碼DSCDMA信號(hào)矩陣X ˉ =P ABH進(jìn)行低秩分解可得[17]

式(11)中， pi, ai和bi分別是矩陣 P , A 和 B的第i 列；U′表示該3維矩陣X ˉ 的秩，即U′=3U。

由式(5)、式(10)和式(11)可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)可以等效為缺失平行因子模型，即

將3維矩陣 X分別投影在 P， B和 A方向上，可得剖面矩陣XP，XB和XA分別為

式(12)-式(15)中，“? ”是矩陣的Khatri-Rao積[18]。

由于3維矩陣在分解時(shí)需要具有可辨識(shí)性，即3維矩陣的低秩分解要唯一，則3個(gè)加載矩陣 P，A和B 須滿足

式(16)中，KP, KA和KB分 別表示矩陣 P, A和 B的Kruskal秩[18]。因矩陣 P, A和 B均為列滿秩矩陣，且在實(shí)際的DS-CDMA通信系統(tǒng)中， M ˉ ?U′，故式(16)可簡化為

由于本文考慮的是異步長碼DS-CDMA信號(hào)，則U′=3U ≥2恒 成立，只要接收通道R ≥2，式(17)均成立，這表明理論上僅通過2個(gè)通道對(duì)異步長碼DS-CDMA信號(hào)進(jìn)行接收，即可完成任意用戶的異步長碼DS-CDMA信號(hào)的盲解擴(kuò)。此外，由式(16)可知，當(dāng)3個(gè)加載矩陣(偽碼序列矩陣 P、增益矩陣A 、信息序列矩陣 B)滿足可唯一辨識(shí)條件，具有可唯 一辨識(shí)性，本文算法收斂(相關(guān)證明可參考文獻(xiàn)[3])。

3.2 正則交替最小二乘算法

3維矩陣的低秩分解常采用交替最小二乘法實(shí)現(xiàn)[3]，但是交替最小二乘法在迭代的過程中可能會(huì)出現(xiàn)慢收斂，或者陷入局部最優(yōu)，需要經(jīng)過漫長迭代才能收斂的情況。為了避免發(fā)散或慢收斂問題，本文提出正則交替最小二乘法實(shí)現(xiàn)異步長碼DS-CDMA信號(hào)的序列估計(jì)，即對(duì)交替最小二乘的目標(biāo)函數(shù)正則化，則由式(14)可得正則交替最小二乘的分離優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式(19)中，“ ⊙”為矩陣的Hadamard積；[ ·]?為對(duì)矩陣的Moore-Penrose逆[19]。

同理，根據(jù)式(13)和式(15)可得接收通道增益矩陣 A 及信息序列矩陣 B的正則化最小二乘解分別為

將接收到的長碼DS-CDMA信號(hào)等效為短碼DS-CDMA信號(hào)的缺失平行因子模型后，使用正則交替最小二乘算法對(duì)缺失數(shù)據(jù)的3維矩陣進(jìn)行低秩分解。由于缺失元素為0，因此在迭代的過程中需要用插補(bǔ)法對(duì)缺失元素進(jìn)行補(bǔ)償。即在下一次更新迭代之前，需要將缺失3維矩陣中的缺失元素，按一一對(duì)應(yīng)方式替換成上一次迭代更新所得的插補(bǔ)3維矩陣 O 中相對(duì)應(yīng)位置上的元素，從而獲得元素不為0的3維矩陣。然后繼續(xù)更新迭代，直至算法收斂，具體步驟如下：

步驟 1 將接收的異步長碼DS-CDMA信號(hào)虛擬成含缺失數(shù)據(jù)的短碼DS-CDMA信號(hào)，然后分段得到觀測(cè)缺失數(shù)據(jù)矩陣。

步驟 2 將觀測(cè)缺失數(shù)據(jù)矩陣建模成缺失平行因子模型，按式(11)～式(13)進(jìn)行空間上的投影得到3個(gè)加載矩陣XP, XB和XA。

步驟 3 隨機(jī)初始化正則化因子 λ0及加載矩陣P0, B0和A0。

步驟 4 迭代次數(shù) α初始值為0，令α =α+1，計(jì)算第 α -1次 的插補(bǔ)3維矩陣O(α-1)，再利用插補(bǔ)法對(duì)缺失元素進(jìn)行補(bǔ)償

步驟 5 依次計(jì)算矩陣 A, B 和 P 的第α 次迭代值，分別為

當(dāng)| ρ|≤ε (一般取ε =10-8)時(shí)，算法迭代結(jié)束，輸出此時(shí)的加載矩陣 Pα和Bα，即可估計(jì)出異步長碼DS-CDMA信號(hào)的偽碼序列及信息序列；當(dāng)|ρ|＞ε時(shí)，返回步驟4，繼續(xù)迭代直至滿足該判決條件。

若λα≡0，則上述算法退化為普通的交替最小二乘算法。以加載矩陣 Aα的迭代為例，本文算法相比交替最小二乘法的改進(jìn)主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

(1) 引 入 λα-1I 項(xiàng)，可以 避 免Pα-1HPα-1⊙Bα-1HBα-1項(xiàng)因奇異引起的數(shù)值穩(wěn)定問題。

(2) 引入λα-1Aα-1項(xiàng) ，通過λα-1的加權(quán)作用使得 Aα在 迭代更新過程中與Aα-1弱相關(guān)，可以防止Aα發(fā)生跳變。

4 仿真及結(jié)果分析

式(26)中， ni表 示第i次蒙特卡洛仿真中偽碼序列的錯(cuò)誤估計(jì)個(gè)數(shù)； U為用戶數(shù)； P 為偽碼周期； D為蒙特卡洛仿真的次數(shù)。

實(shí)驗(yàn)1對(duì)接收的多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)進(jìn)行分段，假設(shè)分段數(shù)L ˉ=1000， 多徑路數(shù)L =3，通道數(shù) R=4 ，用戶數(shù)U =2 ，偽碼周期P =127，信息碼元寬度G =70， 信噪比S NR=-7 dB，失步時(shí)間τu為 [ 0,P]內(nèi) 的隨機(jī)整數(shù)，萊斯因子K =10，對(duì)多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)進(jìn)行仿真得到各用戶偽碼序列估計(jì)值如圖3及圖4所示。

由圖3可知，以2倍偽碼周期并重疊1倍偽碼周期的時(shí)間窗對(duì)接收的多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)分段后，每個(gè)用戶的偽碼序列都存在3個(gè)子序列，圖3(a)中的偽碼子序列2和圖3(b)中的偽碼子序列5表示1周期完整的偽碼序列，圖3(a)中的偽碼子序列1和圖3(b)中的偽碼子序列4表示偽碼周期序列的左子序列；圖3(a)中的偽碼子序列3和圖3(b)中的偽碼子序列6表示偽碼周期序列的右子序列，這與3.1節(jié)的理論分析一致，且將圖3(a)中的偽碼子序列1和偽碼子序列3進(jìn)行拼接即可得到圖3(a)中的偽碼子序列2；同理，將圖3(b)中的偽碼子序列4和偽碼子序列6進(jìn)行拼接也可得到圖3(b)中的偽碼子序列5。由圖4可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)2用戶偽碼序列的估計(jì)值與真實(shí)值相一致，說明本文所提算法的有效性。

實(shí)驗(yàn)2在信息碼元寬度 G 不同的情況下，對(duì)比多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的偽碼序列估計(jì)性能，取信息碼元寬度G =70, 90, 110， 用戶數(shù)U =6，其它條件與實(shí)驗(yàn)1一致，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，信息碼元寬度 G越大，多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)偽碼序列的估計(jì)錯(cuò)誤概率越小，估計(jì)性能越好。這是由于 G越大，缺失數(shù)據(jù)矩陣 X缺失的元素越少，利用插補(bǔ)法對(duì)信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)其效果也越好。

圖3 多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)2用戶偽碼序列估計(jì)值

圖4 多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)2用戶偽碼序列估計(jì)值與真實(shí)值對(duì)比

圖5 不同G 值下的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)3在通道數(shù) R 和用戶數(shù)U 不同的情況下，對(duì)比多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)的偽碼序列估計(jì)性能，取通道數(shù) R=4, 6, 8 ，用戶數(shù)U =4, 6，其它條件與實(shí)驗(yàn)1一致，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，用戶數(shù) U 的增加會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能下降，但通道數(shù) R的增加卻能使估計(jì)性能得到提升，這是由于通道數(shù) R的增加可以更好地讓缺失平行因子進(jìn)行低秩分解。此外，通道數(shù)的增加會(huì)使得矩陣的維數(shù)變大，從而導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度增大。因此，在實(shí)際的DS-CDMA通信系統(tǒng)中，通道數(shù)的最優(yōu)值要根據(jù)系統(tǒng)性能與系統(tǒng)復(fù)雜度來均衡決定。

實(shí)驗(yàn)4考慮多徑信道對(duì)長碼DS-CDMA信號(hào)偽碼序列估計(jì)性能的影響，取萊斯因子K =0.00001,1, 10 ， 用戶數(shù)U =6，其它條件與實(shí)驗(yàn)1一致，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，偽碼序列的估計(jì)性能曲線如圖7所示。

由圖7可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)偽碼序列的估計(jì)性能與萊斯因子 K密切相關(guān)。隨著萊斯因子 K的增大，偽碼序列的估計(jì)錯(cuò)誤概率減小。這是因?yàn)槿R斯因子 K的增大能使接收到的多徑信號(hào)存在主導(dǎo)分量，在一定程度上可以抑制干擾，從而使得估計(jì)性能變好。

實(shí)驗(yàn)5對(duì)比本文算法與文獻(xiàn)[12]所提的Fast-ICA算法的估計(jì)性能，數(shù)據(jù)組數(shù) Lˉ分別取1000和2000，用戶數(shù)U =6，其它條件與實(shí)驗(yàn)1一致，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，偽碼序列和信息序列的估計(jì)性能曲線分別如圖8和圖9所示。

由圖8和圖9可知，文中算法估計(jì)多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)偽碼序列及信息序列的錯(cuò)誤率低于Fast-ICA算法。尤其是在信噪比 S NR=-15dB的條件下，文中算法的估計(jì)性能遠(yuǎn)優(yōu)于Fast-ICA算法，其主要原因是Fast-ICA算法在盲源分離過程中會(huì)進(jìn)行白化處理，而在低信噪比條件下，白化處理會(huì)影響主分量的準(zhǔn)確提取，從而影響估計(jì)性能。此外，F(xiàn)ast-ICA算法需要先估計(jì)出所有用戶的偽碼序列，然后才能對(duì)應(yīng)地估計(jì)出各用戶的信息序列，存在誤差傳遞現(xiàn)象，而本文算法可以直接估計(jì)出各用戶的信息序列。

圖8 不同算法和不同數(shù)據(jù)組數(shù)下偽碼序列估計(jì)性能對(duì)比

5 結(jié)束語

本文首先將接收到的傳統(tǒng)單通道多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)建模為多通道接收模型；其次將長碼DS-CDMA信號(hào)建模成短碼DS-CDMA信號(hào)的缺失數(shù)據(jù)模型，并將分段后得到的觀測(cè)缺失數(shù)據(jù)矩陣建模為缺失平行因子模型；最后，再利用正則交替最小二乘算法實(shí)現(xiàn)多徑異步長碼DS-CDMA信號(hào)偽碼序列及信息序列的盲估計(jì)。所給的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在萊斯因子K =10，多徑路數(shù)為3，通道數(shù)為4，用戶數(shù)為6，信噪比大于-10 dB的條件下，偽碼序列及信息序列的估計(jì)錯(cuò)誤率均低于1%。