機(jī)械臂的改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

楊 威，徐擁華，楊永峰，胡 怡，佃松宜*

1.衢州光明電力投資集團(tuán)有限公司賦騰科技分公司,衢州 324000 2.國(guó)網(wǎng)浙江電力有限公司衢州供電公司，衢州 324000 3.四川大學(xué)電氣工程系,成都 610065

0 引 言

近年來，雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，提高工業(yè)生產(chǎn)效率.但是，機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)處存在耦合性，使得系統(tǒng)存在強(qiáng)非線性，而且機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中，難以獲得完整或者全部的模型參數(shù)，也難以將模型參數(shù)視為線性函數(shù).因此，機(jī)械臂系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)不確定性是雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)面臨的典型挑戰(zhàn)之一.

在處理不確定性和非線性的問題上，函數(shù)逼近技術(shù)可以在極小的誤差范圍內(nèi)估計(jì)未知非線性函數(shù).目前，自適應(yīng)控制器與通用逼近器的結(jié)合已廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制上，常用的逼近器如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]、自回歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]和模糊系統(tǒng)[4].在文獻(xiàn)[5]針對(duì)軌跡跟蹤精度受內(nèi)部摩擦和外部干擾的影響,提出一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制方法，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行辨識(shí)；在文獻(xiàn)[6] 針對(duì)存在外部擾動(dòng)及建模誤差的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題，提出基于模糊滑模的魯棒軌跡跟蹤控制器，模糊滑模控制器采用自適應(yīng)模糊邏輯修正指數(shù)滑模趨近律中的常數(shù)項(xiàng)；在文獻(xiàn)[7] 針對(duì)水下復(fù)雜工作環(huán)境下機(jī)械臂控制性能易受影響，提出基于模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能控制器,通過模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)水下機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程中的水動(dòng)力不確定項(xiàng)進(jìn)行總體識(shí)別并擬合.自1965年ZADEH提出模糊集理論以來，很多研究人員證明了模糊系統(tǒng)具有解決高度不確定性非線性系統(tǒng)問題的能力[8].相比于一型模糊系統(tǒng)的單值前件和后件，區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的區(qū)間前件和后件更適用于處理模糊信息，可看成是一型模糊系統(tǒng)的集合，這也說明了區(qū)間二型模糊系統(tǒng)處理非線性性能優(yōu)異于一型模糊系統(tǒng).但是，現(xiàn)有的區(qū)間二型模糊系統(tǒng)在尋找上下輸出的交叉點(diǎn)過程中常用KM算法，而KM算法存在計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)的問題，導(dǎo)致難以應(yīng)用于實(shí)際工程控制中.文獻(xiàn)[9]中，提出了用自適應(yīng)控制因子q1和q2替代KM算法.在文獻(xiàn)[10]中，提出了利用自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子在上輸出yr和下輸出yl之間進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié).與自適應(yīng)控制因子相比，自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子只需要更新一個(gè)自適應(yīng)參數(shù)，大大減少了計(jì)算量.因此，自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子在代替KM算法上有巨大的優(yōu)勢(shì).

本文將自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子應(yīng)用到區(qū)間二型模糊系統(tǒng)中，提出帶有自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子的區(qū)間而行模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器.實(shí)際上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)在面對(duì)非線性和不確定系統(tǒng)時(shí)各有優(yōu)缺點(diǎn).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的知識(shí)表示能力較差，模糊系統(tǒng)缺乏自學(xué)習(xí)能力.模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)的融合，擁有了專家經(jīng)驗(yàn)、模糊系統(tǒng)處理模糊信息的能力和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力.

基于以上討論，本文的主要貢獻(xiàn)是：(1)針對(duì)雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，提出帶有自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子的區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制方法，避免KM算法導(dǎo)致的計(jì)算量和耗時(shí)的問題，實(shí)現(xiàn)高精度、響應(yīng)快的軌跡跟蹤.(2)通過李雅普諾夫穩(wěn)定性分析，證明了系統(tǒng)的有界性，同時(shí)導(dǎo)出了自適應(yīng)律.(3)通過與一型模糊逼近器的自適應(yīng)反演控制方法，仿真結(jié)果證明了所提出的控制方法跟蹤性能更好.

1 改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器

本節(jié)介紹一個(gè)改進(jìn)的區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器，如圖1所示.在處理未知非線性函數(shù)上，區(qū)間二型模糊系統(tǒng)比一型模糊系統(tǒng)具有更好的逼近性能，有著明顯的優(yōu)勢(shì).相比于傳統(tǒng)的二型模糊尋找上下輸出的交叉點(diǎn)辦法，本文利用自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子代替KM迭代算法，在上輸出和下輸出建立自適應(yīng)調(diào)節(jié)，有效減小計(jì)算復(fù)雜度和耗時(shí).

圖1 改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器Fig.1 Improved interval type-2 fuzzy neural networks approximator

在改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的規(guī)則庫(kù)中，每條模糊規(guī)則是以下形式：

thenyisθkk=1,…,N

(1)

對(duì)于每一個(gè)輸入向量x1,x2,…,xn，第k條規(guī)則的激活區(qū)間φk的上下界如下：

(2)

(3)

利用中心降型方法將區(qū)間模糊集變成區(qū)間單值集，具體形式如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

KM算法常用于確定連接下輸出yl和上輸出yr的交叉點(diǎn)，但是一般需要迭代循環(huán)2到6次才能找到交叉點(diǎn)，不可避免地耗時(shí)高和計(jì)算量大.自適應(yīng)因子α在下輸出yl和上輸出yr中建立自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程，可以解決KM算法迭代計(jì)算過程的問題，提高算法實(shí)用性.

(8)

將式(5)和(6)代入(8)中，可得

(9)

從式(9)可知，改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的輸出由下輸出yl和上輸出yr兩部分組成，其中自適應(yīng)因子α在下輸出yl和上輸出yr中建立自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程，避免KM算法帶來的高計(jì)算復(fù)雜度和耗時(shí)的問題.

2 問題描述

考慮如下一類非線性雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)：

(10)

式中

(11)

(12)

假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)是未知但有界的，且系統(tǒng)具有如下特性：

(1)慣性矩陣M(q)是正定對(duì)稱矩陣并且有界，存在σ0>0，σ0∈R，則0

(13)

其中M-1(x1)和C(x1,x2)都是未知非線性函數(shù).

3 控制器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，針對(duì)不確定性參數(shù)的雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制器.自適應(yīng)反演控制器的設(shè)計(jì)思路分為兩步.

第一步：定義誤差z1=x1-yd，x1和yd分別為機(jī)械臂的角度和期望軌跡.

(14)

其中λ1是一個(gè)非負(fù)常數(shù).

由z1=x1-yd，求導(dǎo)可得

(15)

選擇如下Lyapunov函數(shù)

(16)

對(duì)其求導(dǎo)可得

(17)

(18)

選擇如下實(shí)際控制律：

τ=-λ2z2-z1-f

(19)

其中λ2是一個(gè)非負(fù)常數(shù).

選擇如下Lyapunov函數(shù)

(20)

對(duì)其求導(dǎo)可得

(21)

將控制律(19)代入上式中，可得

(22)

由于g包含了雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的慣性量以及向心力和哥氏力矩，這些屬于模型信息，在實(shí)際工程中難以準(zhǔn)確獲得.因此，使用改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器對(duì)未知非線性函數(shù)g進(jìn)行估計(jì).

根據(jù)所提的改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器，則非線性函數(shù)f(x)為以下形式：

(23)

(24)

(25)

定義如下自適應(yīng)參數(shù)的控制律

(26)

(27)

(28)

4 穩(wěn)定性分析證明

對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，選擇如下Lyapunov函數(shù)

(29)

對(duì)其求導(dǎo)可得

(30)

因此，可得

(31)

代入式(25)可得

(32)

則

(33)

將自適應(yīng)律公式(26)-(28)代入上式可得

(34)

其中

(35)

(36)

(37)

定義c0=min{2λ1,2(λ2-1)/σ0,k1,k2,k3}，則

(38)

假設(shè)外部干擾d∈Rn有界，因此存在D>0，滿足如下不等式：dTd≤D，則

(39)

其中

(40)

解方程式(39)，可得

(41)

其中V(0)為V的初始值.

由公式(41)可知，李雅普諾夫函數(shù)V(t)為非增函數(shù)，由于所有信號(hào)的有界性，根據(jù)Barbalat引理，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

5 仿真與結(jié)果

在這節(jié)中，為了驗(yàn)證基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制算法的可行性及跟蹤性能，與基于一型模糊逼近器的自適應(yīng)反演控制算法進(jìn)行對(duì)比.最后的仿真結(jié)果證明了所提控制算法的跟蹤性能更優(yōu)異，可實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤及快速穩(wěn)定.

對(duì)于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器，上下隸屬函數(shù)的選取如下

(42)

系統(tǒng)參數(shù)選取如下：m1=0.765，m2=0.765，l1=0.25，l2=0.25，r1=0.15，r2=0.15.

圖2 連桿一的跟蹤曲線Fig.2 Tracking trajectory of link 1

圖3 連桿二的跟蹤曲線Fig.3 Tracking trajectory of link 2

圖4 連桿一的跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of link 1

圖5 連桿二的跟蹤誤差Fig.5 Tracking error of link 2

為了更好直觀比較兩種控制算法的跟蹤性能，用以下性能指標(biāo)表示，分別是誤差平方積分(integrated square error，ISE)，誤差絕對(duì)值積分(integral of absolute error，IAE)和時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分(integrated time and absolute error，ITAE)，計(jì)算公式如下：

(43)

(44)

(45)

從以上仿真結(jié)果可以看出，基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制器在參考軌跡跟蹤上有著更好的跟蹤能力.即使存在外部干擾，跟蹤誤差也快速收斂到零的小鄰域.從圖4以及表1可以看出，一型模糊逼近器的跟蹤誤差較大，而改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器跟蹤誤差平穩(wěn)，超調(diào)小，穩(wěn)定時(shí)間快.以上仿真結(jié)果證明，基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)控制跟蹤性能優(yōu)于一型模糊逼近器，可以獲得更好的穩(wěn)態(tài)性能，提高逼近精度.

表1 性能指標(biāo)Tab.1 Performance Index

5 結(jié)束語(yǔ)

由于雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂是一個(gè)高度非線性系統(tǒng)，并且難以準(zhǔn)確獲取各個(gè)模型參數(shù)信息.針對(duì)雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制，本文提出基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制器，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)的融合，擁有了專家經(jīng)驗(yàn)、模糊系統(tǒng)處理模糊信息的能力和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力.利用區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器估計(jì)未知非線性函數(shù)，其中的自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子取代KM算法，有效減小降型過程中的計(jì)算復(fù)雜度和耗時(shí)，增加了算法的實(shí)用性.通過李雅普諾夫方法證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明，相比于基于一型模糊逼近器的自適應(yīng)反演控制器，所提基于改進(jìn)區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)反演控制器可實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)、更短的穩(wěn)定時(shí)間和更高的跟蹤精度.