激勵力幅值對非線性能量阱系統(tǒng)全局分岔特性的影響研究

李 爽，樓京俊，柴 凱，劉樹勇

（海軍工程大學(xué)a.動力工程學(xué)院；b.艦船與海洋學(xué)院，武漢430033）

0 引 言

線性吸振器具有吸振頻率固定且?guī)挊O窄的特點(diǎn),對于潛艇液壓泵、輔冷泵這一類激勵特性隨直流幅壓電機(jī)蓄電池電壓變化的機(jī)械設(shè)備而言,線性吸振器吸振效果有所退化,往往達(dá)不到工程要求[1]。在線性吸振器中加入非線性因素理論上能夠拓寬吸振頻帶[2],從而解決潛艇機(jī)械設(shè)備激勵特性變化時的振動控制難題。非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink,NES）正是一種引入本質(zhì)非線性剛度的動力吸振裝置[3],其能夠通過共振俘獲等非線性動力學(xué)行為在寬頻范圍內(nèi)靶向吸收和耗散主結(jié)構(gòu)的振動能量,從而達(dá)到抑制主結(jié)構(gòu)瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)振動的目的。正是由于這一特質(zhì),非線性能量阱技術(shù)近年來引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-8]。

最初,有關(guān)NES的研究工作主要集中于對瞬態(tài)振動的抑制,在此類系統(tǒng)中,關(guān)于靶能量傳遞、瞬態(tài)共振俘獲等原理研究已經(jīng)比較透徹。直至Starosvetsky、Gendelman 等[9-10]發(fā)現(xiàn)在耦合NES 子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動系統(tǒng)中,同樣存在一種類似于靶能量傳遞的響應(yīng)形式,并將其稱為強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)（strongly modu?lated response,SMR）,國外學(xué)者Gourc[11]、Kerschen 等[12],以及國內(nèi)學(xué)者孔憲仁等[13]、Zhang 等[14]也相繼開展了該領(lǐng)域的研究工作。強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)本質(zhì)上屬于非線性松弛振蕩運(yùn)動[15-17]（relaxation-type motion）,系統(tǒng)響應(yīng)存在快慢變化過程,同時與系統(tǒng)初始能量存在密切的關(guān)系。研究該響應(yīng)需要首先研究清楚系統(tǒng)平衡點(diǎn)類型,而折奇點(diǎn)這一類型平衡點(diǎn)通過局部分岔分析是觀察不到的[18]。這對研究NES 這一類高維非線性系統(tǒng)造成了很大的難度。

國內(nèi)劉良坤等[19]開展了NES 吸振系統(tǒng)受基底簡諧激勵時產(chǎn)生SMR 的充要條件研究,本文在此基礎(chǔ)上著重分析主系統(tǒng)受簡諧激勵力作用時,激勵力幅值對NES吸振系統(tǒng)全局分岔特性的影響,并用相軌跡法驗(yàn)證了周期吸引子與折奇點(diǎn)隨激勵力幅值的演變過程,不僅是對文獻(xiàn)[19]的拓展與創(chuàng)新,更是對后續(xù)研究NES吸振系統(tǒng)的全局性態(tài)奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)模型

本文所研究系統(tǒng)模型如圖1 所示。其中單自由度線性主系統(tǒng)受外界簡諧激勵作用,下端安裝在剛性基座上,上端與單自由度非線性能量阱耦合相連,且非線性能量阱滿足本質(zhì)非線性剛度特性。

根據(jù)牛頓第二定律,系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)方程為

圖1 非線性能量阱吸振系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the coupled NES absorption system

主要考慮激勵頻率接近主系統(tǒng)固有頻率時的1:1:1主共振情形,令ω = 1 + εσ,這里σ為激勵頻率失調(diào)參數(shù)。作坐標(biāo)變換u = z1+ εz2、v= z1- z2,并對系統(tǒng)進(jìn)行降維,引入復(fù)變量參數(shù)

式中j 為虛數(shù)單位,ψi是關(guān)于變量u、v 的慢變調(diào)制幅值,i=1,2。在不考慮主系統(tǒng)阻尼情況下,將式（3）代入式（2）中,通過平均化過程消除快變響應(yīng)部分,可得方程

2 系統(tǒng)全局分岔特性分析

引入新的時間尺度τk= εkt,k = 0,1,…,并令φ2= φ2( τ0,τ0,…),采用多尺度法展開

將式（7）代入到式（6）中,忽略高階項(xiàng),可得到關(guān)于ε的不同階次方程

首先考慮φ2在慢變時間τ1上的近似解,φ2關(guān)于快變時間τ0積分可得第一個積分方程

式中,R 是關(guān)于τ1的任意函數(shù)。令?φ2/?τ0= 0,由式（9）可知,系統(tǒng)平衡點(diǎn)Φ( τ1)只與慢變時間τ1有關(guān),滿足方程

圖2 不同阻尼系數(shù)下f ( Z )曲線Fig.2 Curves of f ( Z )under different damping ratios

圖3 系統(tǒng)慢不變流形Fig.3 Slow invariant manifold of the system

將式（16）寫成函數(shù)形式

由數(shù)學(xué)知識易知,式（17）具有兩類平衡點(diǎn),第一類是普通吸引子,對應(yīng)系統(tǒng)周期解；第二類是折奇點(diǎn)。其中普通吸引子滿足條件

而折奇點(diǎn)滿足條件

對于第一類平衡點(diǎn),由于g( N )≠0,可得α11α22- α12α21≠0,系數(shù)矩陣為滿秩矩陣,因此式（20）具有唯一解,且滿足如下表達(dá)式

由于N1≤N2,可得f1c≤f2c。由上述分析可知,當(dāng)激勵力幅值f ≤f1c,無折奇點(diǎn)出現(xiàn)；當(dāng)f1c≤f ≤f2c,僅有下折奇點(diǎn)出現(xiàn)；當(dāng)f ≥f2c上下奇點(diǎn)才能同時出現(xiàn)。

3 激勵力幅值對全局分岔特性的影響

參考文獻(xiàn)[19],選取系統(tǒng)參數(shù)C = 4/3,ξ2= 0.2,σ = 0,系統(tǒng)周期吸引子分岔情況如圖4所示。從圖中可知,激勵力幅值增加時,系統(tǒng)只存在一個周期解,其中黑色實(shí)線為穩(wěn)定周期解,黑色虛線為不穩(wěn)定周期解,不穩(wěn)定解區(qū)域位于折疊線N1、N2之間。另外,通過式（21）可求得折疊線N1、N2對應(yīng)的分岔點(diǎn)激勵力大小分別為fb1= 0.241 9,fb2= 0.989 2。

三維平面( N,θ,f )以及二維平面( N,θ )內(nèi)系統(tǒng)全局分岔圖如圖5 所示。圖中‘rp’代表周期吸引子,‘fs1’、‘fs2’分別代表上、下折奇點(diǎn),‘bp1’、‘bp2’為周期吸引子分岔點(diǎn),此外,通過式（23）可求得折奇點(diǎn)對應(yīng)的分岔點(diǎn)為fc1= 0.176 0、fc2= 0.984 4，因此有fc1＜fb1＜fc2＜fb2。從圖中可知，當(dāng)激勵幅值f ＜fc1時，系統(tǒng)只存在一個穩(wěn)定的周期吸引子；當(dāng)f = fc1，系統(tǒng)平衡點(diǎn)出現(xiàn)亞臨界分岔，在折疊線N1處產(chǎn)生一對不穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)，在fc1＜f ＜fb1范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在一對不穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)以及一個穩(wěn)定的周期吸引子；進(jìn)一步增大f，當(dāng)f = fb1時，周期吸引子由穩(wěn)定解退化為不穩(wěn)定解，同時下折奇點(diǎn)由不穩(wěn)定解變?yōu)榉€(wěn)定解，在fb1＜f ＜fc2范圍內(nèi)，此時系統(tǒng)存在一對穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)和一個不穩(wěn)定的周期吸引子；當(dāng)f = fc2時，系統(tǒng)平衡點(diǎn)再次出現(xiàn)亞臨界分岔，此時系統(tǒng)演變出一對穩(wěn)定的上折奇點(diǎn)，在fc2＜f ＜fb2范圍內(nèi)，此時系統(tǒng)存在一對穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)、一對穩(wěn)定的上折奇點(diǎn)以及一個不穩(wěn)定的周期吸引子；當(dāng)f = fb2時，上折奇點(diǎn)由穩(wěn)定解退化為不穩(wěn)定解，同時周期吸引子再次發(fā)生Hopf分岔，由不穩(wěn)定解變?yōu)榉€(wěn)定解，在f ＞fb2范圍內(nèi)，此時系統(tǒng)存在一對穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)，一個穩(wěn)定的周期吸引子以及一對不穩(wěn)定的上折奇點(diǎn)。

從上述分析可知，激勵力幅值對所述系統(tǒng)平衡點(diǎn)個數(shù)以及吸引子類型影響都比較顯著,隨著激勵幅值的變化，在fc1、fb1、fc2、fb2等分岔點(diǎn)處，系統(tǒng)平衡點(diǎn)會出現(xiàn)亞臨界分岔、Hopf分岔等復(fù)雜的非線性動力學(xué)現(xiàn)象。需要說明的是，文中有關(guān)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷可參考文獻(xiàn)[20]，這里不再贅述。

圖4 周期吸引子分岔情況Fig.4 Bifurcation diagram of the system periodic attractor

圖5 系統(tǒng)全局分岔圖Fig.5 The global bifurcation diagram of the system

4 相軌跡分析

保持參數(shù)C=4/3，ξ2= 0.2，σ = 0 不變，結(jié)合ode45 數(shù)值法與Matlab streamline 流形函數(shù)繪制不同激勵力幅值下系統(tǒng)響應(yīng)的相軌跡，如圖6 所示。圖中縱坐標(biāo)為響應(yīng)幅值N，橫坐標(biāo)為相位θ，θ ?( 0,2π )，藍(lán)色曲線為慢不變流形相軌跡，紅色曲線對應(yīng)折疊線N1和N2，N1～N2之間為系統(tǒng)響應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域，另外系統(tǒng)普通吸引子在圖中用紅色“□”標(biāo)注，折奇點(diǎn)用紅色“·”標(biāo)注。

從圖6（a）中可知，當(dāng)f=0 時，從折疊線N2上方出發(fā)的相軌跡都可以回到N2，然而從N1出發(fā)的相軌跡不能返回至N1。這意味著相軌跡從上穩(wěn)定分支出發(fā)時能跳躍至下穩(wěn)定分支，而從下穩(wěn)定分支出發(fā)的相軌跡不能跳躍至上穩(wěn)定分支。這與實(shí)際系統(tǒng)也是相符合的，因?yàn)椴淮嬖谕饨缂顣r，由于阻尼的存在，系統(tǒng)能量會逐漸被耗散，直至趨于穩(wěn)定。

從圖6（b）中可知，當(dāng)f=0.1 時，對應(yīng)f ＜fc1，此時系統(tǒng)只存在一個穩(wěn)定的周期吸引點(diǎn)，不存在折奇點(diǎn)，所有的相軌跡最終都流入至該吸引子。

從圖6（c）中可知,當(dāng)f=0.18時,對應(yīng)f略大于fc1,此時存在一個周期吸引子與一對下折奇點(diǎn)。另外通過相軌跡特性可知,左側(cè)下折奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),右側(cè)下折奇點(diǎn)為鞍點(diǎn),從鞍點(diǎn)右邊出發(fā)的相軌跡都被吸引至周期吸引子,結(jié)點(diǎn)左邊以及折疊線N1右邊部分相軌跡吸引至結(jié)點(diǎn),而結(jié)點(diǎn)與鞍點(diǎn)之間的相軌跡則有可能返回至折疊線N1。

從圖6（d）中可知,當(dāng)f=0.5 時,對應(yīng)fb1＜f ＜fc2,系統(tǒng)性態(tài)發(fā)生了非常顯著的變化。首先,和f=0.18相比,周期吸引子消失,同時鞍點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)沿著下折疊線往兩側(cè)移動,其中結(jié)點(diǎn)往左移動,而鞍點(diǎn)往右側(cè)移動,導(dǎo)致兩者之間距離擴(kuò)大,最終能夠回到N1的相軌跡區(qū)域也在增大。值得注意的是,在繪制相軌跡過程中,只取了一個周期（0,2π）,當(dāng)結(jié)點(diǎn)運(yùn)動超過最左側(cè)時,又重新在右端出現(xiàn)。另外,從相軌跡特征可知,折奇點(diǎn)性質(zhì)已經(jīng)由鞍結(jié)點(diǎn)通過碰撞演化成了穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

從圖6（e）中可知,當(dāng)f=0.987 時,對應(yīng)fc2＜f ＜fb2,此時在上折疊線N2上出現(xiàn)一對鞍結(jié)點(diǎn),而下折疊線N1上的一對穩(wěn)定焦點(diǎn)依然存在。進(jìn)一步增大激勵幅值,當(dāng)f=1時,對應(yīng)f ＞fb2,如圖6（f）所示,折疊線N2上鞍結(jié)點(diǎn)演化成了一對不穩(wěn)定的鞍點(diǎn),同時在折疊線N2上部分出現(xiàn)了穩(wěn)定的周期吸引子。

總結(jié)可得,激勵力幅值對系統(tǒng)全局分岔特性的影響規(guī)律如表1所示。

圖6 不同激勵力幅值下系統(tǒng)響應(yīng)相軌跡Fig.6 Phase trajectory of the system response under different excitation force amplitudes

表1 系統(tǒng)分岔點(diǎn)及分岔現(xiàn)象Tab.1 Bifurcation points and phenomenon of the system

5 結(jié) 語

在質(zhì)量比ε為小參數(shù)條件下,本文結(jié)合復(fù)變量平均法、多尺度法以及相軌跡法研究了激勵力幅值對單自由度非線性能量阱吸振系統(tǒng)的全局分岔特性的影響。由分析結(jié)果可知：激勵力幅值對所研究系統(tǒng)平衡點(diǎn)個數(shù)以及吸引子類型影響都比較顯著,除周期吸引子外,系統(tǒng)還可能存在折奇點(diǎn)這一類通過局部分岔觀察不到的平衡點(diǎn)類型；另外,隨著激勵力幅值的增加,系統(tǒng)將呈現(xiàn)亞臨界分岔、Hopf分岔等非常復(fù)雜的演變行為,系統(tǒng)相軌跡也會發(fā)生明顯的改變。這為后續(xù)全面研究非線性能量阱吸振系統(tǒng)的全局性態(tài)打下了理論基礎(chǔ)。