針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

張哲銘，馬清華，陳 韻，許 琛，王帥為

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

隨著現(xiàn)代武器的發(fā)展，在精確打擊目標(biāo)的設(shè)計(jì)中，除了命中精度的基本要求外，還要求以特定的落角來(lái)打擊目標(biāo)。例如，對(duì)于坦克來(lái)說(shuō)，落角約束能使導(dǎo)彈以期望的角度攻擊坦克的薄弱部位，實(shí)現(xiàn)更有效的毀傷。而且，隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的需求，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性越來(lái)越強(qiáng)，這就對(duì)制導(dǎo)律提出了一定的要求，因此，有必要研究以機(jī)動(dòng)目標(biāo)為對(duì)象的制導(dǎo)律。

近年來(lái)，具有落角約束的終端制導(dǎo)律引起了越來(lái)越多的關(guān)注，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者進(jìn)行了許多相關(guān)的研究。文獻(xiàn)[1]針對(duì)直升機(jī)載空地導(dǎo)彈配裝多種戰(zhàn)斗部時(shí)不同落角的需求，利用最優(yōu)控制理論研究了帶有落角控制的制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[2]研究了多約束條件下距離加權(quán)最優(yōu)滑模制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[3]研究了多約束條件下反演滑模制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，能有效實(shí)現(xiàn)期望落角和中靶精度；文獻(xiàn)[4]針對(duì)空地武器三維空間內(nèi)的制導(dǎo)模型，運(yùn)用二次型最優(yōu)推導(dǎo)出一種最優(yōu)制導(dǎo)律，在實(shí)現(xiàn)落角控制的基礎(chǔ)上，攻角、側(cè)滑角變化平穩(wěn)；文獻(xiàn)[5]將目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度看作未知有界的不確定性，基于非奇異終端滑模和自適應(yīng)滑模干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)了終端角度約束的制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[6]針對(duì)導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)要求限制終端攻擊角度的問(wèn)題，提出了一種基于擴(kuò)張干擾觀測(cè)器(EDO) 的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。

基于對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的需求，文中在最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了一種針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多約束制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤特性良好。

1 導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

建立二維縱向平面的導(dǎo)彈與目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行制導(dǎo)律的分析，同理可將該分析方法應(yīng)用于側(cè)向平面。

將導(dǎo)彈和目標(biāo)視為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分析導(dǎo)彈和目標(biāo)在縱向平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖如圖1所示。

圖1 彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖

由圖1可以得到以下彈目運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:wR，uR分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量；wq，uq分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度垂直于視線方向上的分量。

(5)

式中，aT和aM分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量，針對(duì)式(5)建立狀態(tài)方程：

(6)

2 最優(yōu)滑模制導(dǎo)律

2.1 帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律

對(duì)于各狀態(tài)變量，起始時(shí)刻有：

終端條件為：

x1(tf)=0x2(tf)=0

假設(shè)aT=0，選擇脫靶量和能量控制最小函數(shù)作為最優(yōu)性能指標(biāo)[8]。

(7)

這是一個(gè)典型的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，由最優(yōu)控制理論可知，最優(yōu)控制的解為：

u*=R-1BTPX*

(8)

選取R=1，u*=aM,式(8)變?yōu)椋?/p>

aM=-BTPX*

(9)

P為滿足以下逆黎卡提微分方程的解:

(10)

令：

則式(10)可以表示為：

(11)

(12)

由式(12)中第三式可得：

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)中第二式可得：

(15)

由式(15)可得：

(16)

其中dt=-dTg[8],故式(16)可解為：

(17)

將式(17)代入式(12)中第一式可得：

(18)

由上述推導(dǎo)過(guò)程可求得逆矩陣P-1的解：

(19)

從而可得到P的解：

(20)

將式(20)代入式(8)可以得到最優(yōu)控制：

(21)

令x1=q+θf(wàn)，其中θf(wàn)為期望落角，給定θf(wàn)>0，因?yàn)榻K端條件x1(tf)=0，最終落角為負(fù)值。式(21)可變?yōu)椋?/p>

(22)

式(22)即為帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，式中第二項(xiàng)為傳統(tǒng)比例導(dǎo)引，第一項(xiàng)為角度約束項(xiàng)，保證命中點(diǎn)的落角滿足期望值。

2.2 最優(yōu)滑模制導(dǎo)律

對(duì)于變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律而言，首先設(shè)計(jì)滑模超平面，使得系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)趨于穩(wěn)定，并滿足最優(yōu)制導(dǎo)律的性能指標(biāo)要求，首先定義滑模面：

(23)

(24)

將aT視為干擾項(xiàng)f(t)，把式(5)、式(21)代入式(24)中可得：

(25)

忽略干擾項(xiàng)，構(gòu)造最優(yōu)趨近律為:

(26)

結(jié)合式(5)，可以解得:

(27)

(28)

可以證明，對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，當(dāng)‖F(xiàn)(t)‖有界時(shí)，制導(dǎo)律(如式(28))可以保證制導(dǎo)過(guò)程中的穩(wěn)定性[11]。

考慮到干擾項(xiàng)F(t)難以直接測(cè)量，這里采用觀測(cè)器來(lái)補(bǔ)償該干擾項(xiàng)。

3 基于觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮如下單輸入單輸出系統(tǒng):

(29)

(30)

觀測(cè)器如下：

(31)

由此，式(28)可以表示為：

(32)

最終得到的觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)滑模制導(dǎo)律共有4項(xiàng)，第一項(xiàng)為k=4的比例導(dǎo)引，第二項(xiàng)為角度約束項(xiàng)，第三項(xiàng)為變結(jié)構(gòu)修正項(xiàng)，第四項(xiàng)為干擾項(xiàng)，即目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度。

4 仿真驗(yàn)證

對(duì)最優(yōu)制導(dǎo)律式(22)及最優(yōu)滑模制導(dǎo)律式(32)進(jìn)行仿真對(duì)比分析。由推導(dǎo)過(guò)程可知aM為導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量，而實(shí)際制導(dǎo)指令是針對(duì)導(dǎo)彈的法向過(guò)載給出的，因此對(duì)式(22)和式(32)進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得：

(33)

(34)

其中，aM1為最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)得出的導(dǎo)彈法向加速度，aM2是最優(yōu)滑模制導(dǎo)律推導(dǎo)得出的導(dǎo)彈法向加速度，式(33)和式(34)分別是仿真過(guò)程中采用的最優(yōu)制導(dǎo)律和最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。

仿真條件一：導(dǎo)彈初始位置(0 m，5 000 m)，速度900 m/s；目標(biāo)初始位置(15 000 m，1 000 m)，速度為-720 m/s；加速度aT=0 m/s。初始彈目視線角q=-arctan(4 000/15 000)，重力加速度g=9.81 m/s2，ε=0.01，δ=0.01。期望落角設(shè)置為θf(wàn)=20°，觀測(cè)器常數(shù)L=5 000,λ0=2L1/3,λ1=1.5L1/2,λ2=1.1L。

導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡、導(dǎo)彈落角、導(dǎo)彈加速度曲線及目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)器觀測(cè)值如圖2～圖6所示。

圖2 導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 導(dǎo)彈落角

圖4 視線角速度

圖5 導(dǎo)彈法向加速度

圖6 目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)器觀測(cè)值

仿真結(jié)果表明：針對(duì)靜止目標(biāo)，最優(yōu)制導(dǎo)律與最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的運(yùn)動(dòng)軌跡基本一致，但是最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的落角變化更加平滑，視線角速度能平穩(wěn)的收斂到0°/s附近，導(dǎo)彈的法向加速度的變化也十分平穩(wěn)，視線角速度與導(dǎo)彈法向加速度均未像最優(yōu)制導(dǎo)律那樣出現(xiàn)末段跳變現(xiàn)象。說(shuō)明針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，該制導(dǎo)律也要優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律。

導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡、導(dǎo)彈落角、導(dǎo)彈加速度及目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)器觀測(cè)值曲線見(jiàn)圖7～圖11所示。

圖7 導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8 導(dǎo)彈落角

圖9 視線角速度

圖10 導(dǎo)彈法向加速度

圖11 目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和觀測(cè)器觀測(cè)值

仿真結(jié)果表明：系統(tǒng)在大的時(shí)變干擾下，只要觀測(cè)器的增益選的足夠大，最優(yōu)滑模制導(dǎo)律可以保證觀測(cè)器觀測(cè)值有限時(shí)間收斂。與最優(yōu)制導(dǎo)律相比，該制導(dǎo)律的運(yùn)動(dòng)軌跡變化幅度要更加平滑，落角的收斂速度快且變化較平緩。視線角速度能夠平穩(wěn)的收斂到0°/s，且未發(fā)生大的跳變。最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的導(dǎo)彈法向加速度初始會(huì)產(chǎn)生一個(gè)比較大的變化(該變化為觀測(cè)器收斂到期望觀測(cè)值的過(guò)程中產(chǎn)生的震蕩)，之后平穩(wěn)變化直至末端收斂到50 m/s2左右(目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度)。最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的導(dǎo)彈法向加速度對(duì)于干擾(目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度)的跟蹤更好，跟蹤能力明顯優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律。

5 結(jié)論

在最優(yōu)控制理論基礎(chǔ)上結(jié)合滑膜變控制理論設(shè)計(jì)了最優(yōu)滑模制導(dǎo)律，設(shè)計(jì)有限時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤狀況優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律，視線角速度、落角的變化平滑，能有效跟蹤大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，保證精確命中的情況下各曲線保持平滑。該最優(yōu)滑模制導(dǎo)律可以滿足多約束對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤，滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的需求。