帶變號格林函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問題的正解的存在性

雷策宇， 韓曉玲

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

三階常微分方程邊值問題由于在工程、物理和流體力學(xué)等領(lǐng)域的顯著應(yīng)用而受到廣泛關(guān)注. 學(xué)者們運(yùn)用單調(diào)迭代法、上下解方法、Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理和 Leray-Schauder 非線性抉擇等,研究了三階三點(diǎn)邊值問題在格林函數(shù)非負(fù)的情況下的單個(gè)或多個(gè)正解的存在性[1-7]. 近年來,學(xué)者們在格林函數(shù)變號的情況下也得到了很多結(jié)果[8-17]. 如:LI等[9]使用Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理討論了變號格林函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性,其中,α[0,2),η

GAO和SUN[10]運(yùn)用Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理,在格林函數(shù)變號時(shí)討論了問題

正解的存在性,其中,α[0,2),η

ZHAO和LI[11]運(yùn)用迭代法討論了變號格林函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性, 其中,α[0,2),η[2/3,1).

受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā),本文將運(yùn)用迭代法,研究如下具有變號格林函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問題

(1)

正解的存在性,其中,α[2/3,1). 在本文中,總是假設(shè)fC([0,1]×[0,∞),[0,∞)),且f滿足下列2個(gè)條件:

(H1) 對于每一個(gè)u[0,+∞),映射tf(t,u)是遞減的；

(H2) 對于每一個(gè)t[0,1],映射uf(t,u)是遞增的.

1 預(yù)備知識

引理1 對任意的yC[0,1],邊值問題

(2)

有唯一解

其中:

G(t,s)=g1(t,s)+g2(t,s)+g3(η,t,s);

證明對u?(t)=y(t)在[0,t]上兩邊積分,得

由邊界條件可得

從而有

故邊值問題(2)的解為

證畢.

引理2G(t,s)具有如下性質(zhì):

(1)當(dāng)0≤s≤η時(shí),G(t,s)≥0;

(2)當(dāng)0≤η≤s時(shí),G(t,s)≤0.

證明當(dāng)0≤s≤η時(shí),有

G(t,s)=

分以下2種情況討論:

(1)當(dāng) 0≤t≤s≤1 時(shí),有

(2)當(dāng) 0≤s≤t≤1 時(shí),有

綜上可知,G(t,s)關(guān)于變量t單調(diào)遞減. 從而有

min{G(t,s),t[0,1]}=G(1,s)=0,

max{G(t,s),t

故當(dāng)0≤s≤η時(shí),G(t,s)≥0.

同理可證得:當(dāng)0≤η≤s時(shí),G(t,s)關(guān)于變量t單調(diào)遞增. 則有

max{G(t,s),t[0,1]}=G(1,s)=0,

min{G(t,s),t

從而G(t,s)≤0. 證畢.

設(shè)M=max{|G(t,s)||t,s[0,1]},則

設(shè)K={yE|y(t)在[0,1]上非負(fù)且遞減},則K是E中的一個(gè)錐,且在E中定義一個(gè)序關(guān)系“≤”,u≤ν當(dāng)且僅當(dāng)ν-uK.

定義算子T:K→E

顯然,若u是T中的不動(dòng)點(diǎn),則u是邊值問題(1)的遞減非負(fù)解.

引理3算子T:K→K是全連續(xù)的.

證明設(shè)uK,當(dāng)t[0,η]時(shí),有

f(s,u(s))ds.

由條件(H1)、(H2),可得

(Tu)′(t)=

當(dāng)t[η,1]時(shí),有

f(s,u(s))ds,

則

(Tu)′(t)=

綜上可知,(Tu)(t)在[0,1]上單調(diào)遞減. 又由于(Tu)(1)=0,故(Tu)(t)在[0,1]上非負(fù),從而TuK. 假設(shè)D?K是有界集,則存在一個(gè)常數(shù)C1>0,使得‖u‖≤C1(uD). 下證T(D)是相對緊的.

設(shè)C2=sup{f(t,u)|(t,u)[0,1]×[0,C1]}. 對?yT(D),?uD,使得y=Tu,則對?t[0,1],有

MC2,

(3)

因?yàn)镚(t,s)在[0,1]×[0,η-τ]和[0,1]×[η+τ,1]上一致連續(xù),故?δ>0,使得對?t1,t2[0,1],當(dāng)|t1-t2|<δ時(shí),有

(4)

(5)

由式(3)～(5)及對?yT(D),?t1,t2[0,1]和|t1-t2|<δ,有

|y(t1)-y(t2)|=|T(t1)-T(t1)|=

故T(D)是等度連續(xù)的,從而由Arzela-Ascoli定理[18]知T(D)是相對緊的. 因此,T是緊算子.

最后,證明T是連續(xù)的. 設(shè)un(n=1,2,…),u0K,‖un-u0‖→ 0(n→ 0),則?C3>0,使得對?n,‖u‖≤C3.

設(shè)C4=sup{f(t,u)|(t,u)[0,1]×[0,C3]}. 對?n,t[0,1],?s[0,1],有

G(t,s)f(s,un(s))≤MC4.

由Lebesgue控制收斂定理[19],對?t[0,1],有

(Tu0)(t),

這表明T是連續(xù)的. 因此,T:K→K是全連續(xù)的. 證畢.

2 主要結(jié)果及證明

定理1假設(shè)條件(H1)、(H2)成立,且對于f(t,0)≠0,?t[0,1],存在2個(gè)正實(shí)數(shù)a和b,滿足以下條件：

(H4)b(u2-u1)≤f(t,u2)-f(t,u1)≤2b(u2-u1) (0≤t≤1,0≤u1≤u2≤a).

證明設(shè)Ka={uK|||u||≤a}. 由引理3可知TuK,且由條件(H3)得到

從而有‖Tu‖≤a,故T:Ka→Ka.

事實(shí)上,對于ν0Ka和T:Ka→Ka,有νnKa,n=0,1,2,…. 由于集合是有界的且T是全連續(xù)算子,所以集合是相對緊的. 接下來,通過歸納法證明是單調(diào)的. 首先,很明顯有ν1-ν0=ν1K,這表明ν0≤ν1. 接下來,假設(shè)νk-1≤νk. 從而由條件(H4)可得

[f(s,νk(s))-f(s,νk-1(s))]ds≤b[νk(η)-νk-1(η)]×

[f(s,νk(s))-f(s,νk-1(s))]ds+

因此,

(6)

即νk+1(t)-νk(t)在[0,1]上單調(diào)遞減. 與此同時(shí),易得

(7)

從而νk+1(t)-νk(t)≥0(t[0,1]).

由式(6)和式(7)可知νk+1-νkK,則νk+1≤νk(n=0,1,2,…). 由于是相對緊集,并且是單調(diào)的,因此,必存在一個(gè)ν*Ka,使得再由T的連續(xù)性以及νn+1=Tνn可知ν*=Tν*. 這表明ν*是邊值問題(1)單調(diào)遞減的非負(fù)解. 此外,根據(jù)f(t,0)≠0 (t[0,1])知,0不是邊值問題(1)的解,從而ν*是邊值問題(1)的正解. 證畢.