基于邊界元法的壓裂液返排數(shù)值模擬

魏子俊， 程 萬， 蔣國盛， 周治東

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院， 武漢 430074)

中國非常規(guī)能源儲量極其豐富，有關(guān)資料表明，僅可開采頁巖氣中國約為25萬億 m3，和目前常規(guī)天然氣可采資源潛力相當(dāng)，基本證實(shí)與美國等同為頁巖氣資源大國[1]，大力發(fā)展非常規(guī)油氣資源已成為“十三五”規(guī)劃以來中國油氣行業(yè)必然的戰(zhàn)略選擇[2]。在頁巖油氣等非常規(guī)能源開采中，油氣井產(chǎn)能效率在很大程度上取決于返排后裂縫的導(dǎo)流能力[3-5]。壓裂液若不能及時返排，易在裂縫壁面和孔隙基質(zhì)中發(fā)生滯留，減小甚至堵塞流動通道[6-8]，對儲層造成二次傷害，這種情況對于壓力系數(shù)低、黏土礦物含量高、水敏性強(qiáng)的儲層尤為明顯[9]，影響后期生產(chǎn)效率。同時，壓裂液存留于地層中也會污染地下環(huán)境，不符合環(huán)保理念[10-11]。因此，無論從環(huán)保還是從提高生產(chǎn)效率的角度，合適的返排程序顯得尤為重要。

在壓裂液返排設(shè)計(jì)與施工中，生產(chǎn)中往往采用裂縫強(qiáng)制閉合技術(shù)，實(shí)施強(qiáng)制閉合技術(shù)的壓裂井約占70%以上[12]，因此需要構(gòu)建裂縫強(qiáng)制閉合模型。李勇明等[13]、汪翔[14]、Behr等[15]基于達(dá)西滲流原理建立了壓裂液濾失的二維模型，并依據(jù)物質(zhì)平衡原理建立了裂縫強(qiáng)制閉合模型，模擬了不同噴嘴尺寸下井口壓力的變化規(guī)律。胡景宏等[16-17]、趙英杰[18]對流體壓力沿程損失量加以考慮，取得了更為準(zhǔn)確的井口壓降曲線。Zhang等[19]針對多層裂縫性致密油藏地層，建立了相關(guān)理論預(yù)測模型，進(jìn)一步豐富了裂縫強(qiáng)制閉合模型。

但上述研究將水力裂縫假設(shè)為平直裂縫，采用平均寬度[20]來描述裂縫寬度變化并計(jì)算相關(guān)物理量，不能客觀反映裂縫實(shí)際形態(tài)，同時缺少壓裂液在裂縫內(nèi)部的流動描述，忽略了流體流動所需遵循的流動方程?；诖?，提供了一種新的計(jì)算方法，基于邊界元方法構(gòu)建返排模型，并結(jié)合流固耦合思想，將冪律流體平板流動方程與邊界元固體變形方程聯(lián)立求解，得到了返排過程中裂縫各處的寬度、流量、流體壓力的變化情況，以及相應(yīng)壓降曲線與規(guī)律，旨在豐富和完善裂縫強(qiáng)制閉合理論模型，為實(shí)際生產(chǎn)與設(shè)計(jì)提供參考與借鑒。

1 邊界元方法簡介

如圖1所示，一條有限長度直線裂縫可分為上表面y= 0+和下表面y= 0-，裂縫的位移不連續(xù)量可定義為上下兩面的位移之差。

Di=ui(x,0-)-ui(x,0+)，i=x,y

(1)

式(1)中：ux、uy分別為切向和法向位移，m；切向位移不連續(xù)量Dx表示裂縫上下表面相對滑移量，法向位移不連續(xù)量Dy表示裂縫寬度。

圖1 常位移直線裂縫示意圖Fig.1 Straight line crack with constant displacement

假設(shè)均勻各向同性無限彈性體中存在一條任意形狀裂縫，裂縫的平面投影如圖2所示。

圖2 裂縫單元離散示意圖Fig.2 Discrete fracture elements

(2)

當(dāng)張開的裂縫受到遠(yuǎn)場地應(yīng)力和裂縫內(nèi)部流體壓力共同作用時，根據(jù)應(yīng)力平衡方程，單元上應(yīng)力邊界條件[22]為

(3)

式(3)中：θi為裂縫單元i與坐標(biāo)系x軸正方向的夾角，rad；pi為作用在裂縫單元i上的流體壓力，Pa。

將式(3)代入式(2)，可得邊界元固體變形方程組式(4)為

(4)

當(dāng)已知地應(yīng)力及裂縫中流體壓力分布時，求解該方程組即可得到各單元的位移不連續(xù)量，從而得出整條裂縫寬度分布。

2 返排過程數(shù)值建模

2.1 幾何模型

裂縫形態(tài)采用KGD(khristianovic-Geertsma-deklerk)模型[23]，假設(shè)水力裂縫為等高裂縫，其水平橫截面滿足平面應(yīng)變條件。巖層經(jīng)水力壓裂后，所形成的裂縫空間分布形態(tài)如圖3所示。

根據(jù)圖3，截取裂縫橫截面進(jìn)行研究，考慮到問題的對稱性，選取半長裂縫作為研究對象，劃分單元如圖4所示。

2.2 數(shù)學(xué)模型與理論推導(dǎo)

根據(jù)第1節(jié)中邊界元理論，水力裂縫的寬度分布需滿足1對邊界元固體變形方程組式(4)。

另一方面，為確定流體流量、濾失量與裂縫體積增量之間的關(guān)系，從圖4中任取一裂縫單元i作為研究對象，如圖5所示。

圖3 返排模型示意圖Fig.3 Diagram of fracturing fluid flowback model

圖4 水力裂縫單元離散示意圖Fig.4 Diagram of hydraulic fracture discrete elements

圖5 裂縫單元物質(zhì)平衡過程Fig.5 Material balance process of a crack element

根據(jù)物質(zhì)平衡原理，針對任一單位長度裂縫單元，增量時間內(nèi)需滿足：流入該單元凈流量等于壓裂液濾失量與裂縫體積增量之和，即

(5)

(6)

式(6)中：CL為壓裂液濾失系數(shù)，m/s0.5；t0為壓裂液沿壁面初始濾失時間，s。

同時，壓裂液在裂縫中的流動需滿足流體流動Navier-Stokes方程，流體在一對表面光滑的平板中流動時，Navier-Stokes方程[25]簡化為

(7)

式(7)中：m為流體冪律指數(shù)；μ為壓裂液破膠黏度，Pa·s。

最后，返排模型需滿足以下邊界條件：

(8)

式(8)中：Q為壓裂液返排量，m3/s；R為井筒半徑，m；v1為井筒中流體流速，m/s；Pkou表示井口壓力，Pa；dp表示壓裂液在井筒中流動時的沿程損失，Pa；ρ為壓裂液密度，kg/m3。

式(8)中，為確定返排過程中不同時刻返排量Q(t)，可利用伯努利方程式(9)及連續(xù)性方程式(10)導(dǎo)出，即

(9)

(10)

(11)

式中：γ表示壓裂液的重度，N/m3；v2表示壓裂液在噴嘴處流速，m/s；Po表示大氣壓強(qiáng)，Pa；r為噴嘴半徑，m；ξ表示局部阻尼系數(shù)。

式(8)中，壓裂液在井筒中的流動可視為圓管流，沿程損失量dp為[26]

(12)

式(12)中：h為沿程路徑，即井深，m；λ為沿程阻力系數(shù)。

為確定沿程阻力系數(shù)λ，當(dāng)流體為牛頓流體時，λ的表達(dá)式[27]為

(13)

式(13)中：NRe表示流體雷諾數(shù)，用于判斷流體流態(tài)；D為井筒直徑，m。

將邊界元固體變形方程[式(4)]、體積平衡方程[式(5)]、流體流動方程[式(7)]與邊界條件[式(8)]聯(lián)立，構(gòu)成大型非線性方程組，并采用牛頓迭代法加以求解。

2.3 數(shù)值解法與方法驗(yàn)證

為采用牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，需確定方程組解的初值，初值恰當(dāng)與否會影響到后續(xù)迭代的收斂性?？紤]到停泵時裂縫的寬度、流體壓力及流量分布是后續(xù)迭代計(jì)算的初始條件，擬采用停泵時各變量分布作為初值解，并將停泵時裂縫寬度數(shù)值解與解析解進(jìn)行對比，以驗(yàn)證邊界元方法的可行性。

根據(jù)彈性力學(xué)理論，均衡受壓條件下的線裂縫寬度分布的解析解[22]為

(14)

式(14)中：E為巖石彈性模量，Pa；Pnet為流體凈壓力，即流體壓力與最小水平地應(yīng)力之差，Pa；a為裂縫半長，m。

根據(jù)邊界元理論式(4)，代入相關(guān)參數(shù)解得停泵時刻裂縫寬度數(shù)值解，并將此解與解析解進(jìn)行對比，如圖6所示。

圖6 裂縫寬度數(shù)值解與解析解對比Fig.6 Comparison of width numerical and analytical solutions

可見用邊界元方法求解得到的數(shù)值解與解析解吻合良好，保證了邊界元方法的可行性。數(shù)值計(jì)算中采用的各物理量及參數(shù)如表1所示。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 固定噴嘴返排過程描述

以噴嘴尺寸r=9 mm的情況為例，在固定時間間隔30 min下，裂縫閉合過程如圖7所示。裂縫寬度參量[圖7(a)]：藍(lán)色曲線為裂縫初始寬度分布，隨著壓裂液的排出，縫寬曲線逐漸下移，表明裂縫寬度逐漸減小，裂縫逐漸閉合；流體壓力參量[圖7(b)]：隨著壓裂液逐漸排出，裂縫內(nèi)部流體壓力隨時間整體降低，同時流體壓力從縫踵(近井筒處)至縫趾(縫尖處)呈現(xiàn)出逐漸上升的趨勢，如圖8所示，但由于裂縫寬度較寬，壓裂液在縫中流動相對容易，流動壓降并不明顯，該壓降改變與壓裂液本身流體壓力相比不在同一個數(shù)量級；流量參量[圖7(c)]：沿縫長方向，由于裂縫寬度越發(fā)狹窄，流量也越來越小，且隨著壓裂液的排出，流量分布隨時間整體降低。當(dāng)井口壓力減小為大氣壓時，意味著返排的結(jié)束，此時裂縫中及井筒內(nèi)的壓裂液不再流動，流量降為0，井底流體壓力保持不變，裂縫寬度不再變化。

表1 數(shù)值計(jì)算中采用的各物理量

圖7 裂縫閉合過程各變量變化情況Fig.7 Variation of variables in the whole flowing-back process

圖8 30 min時刻流體壓力沿縫長變化趨勢圖Fig.8 Trend of fluid pressure along fracture length at t=30 min

3.2 固定噴嘴返排過程壓降曲線

在生產(chǎn)實(shí)際中，對于壓裂液返排過程，獲取井口壓降曲線是關(guān)鍵性工作之一，準(zhǔn)確的壓降曲線對于判斷返排是否已完成以及確定切換噴嘴的時機(jī)都至關(guān)重要，多種噴嘴尺寸下的井口壓降曲線如圖9所示。圖9中各條壓降曲線形勢相似，曲線斜率逐漸減小，井口壓力在返排初期下降較快，返排后期降速減慢。且隨著噴嘴尺寸的增大，壓降曲線斜率明顯增大，返排的時間明顯縮短，最終均表現(xiàn)為當(dāng)井口壓力降為大氣壓時，返排結(jié)束，井口壓力維持不變。

圖9 不同噴嘴尺寸下井口壓降曲線Fig.9 Pressure curve at wellhead with different nozzle sizes

3.3 變動噴嘴返排過程描述

在返排作業(yè)中，往往需要針對返排進(jìn)程的不同，尋找合適的時機(jī)更換相應(yīng)的噴嘴尺寸。在返排初期，盡量使用小噴嘴返排，控制裂縫閉合速度，避免支撐劑因返排速度過大被攜出；至返排后期，裂縫寬度下降到一定程度時，可認(rèn)為支撐劑受到壁面約束，將不會再被壓裂液攜出，可用更大尺寸噴嘴加快返排，防止壓裂液對儲層的污染，降低儲層傷害。基于上述原則開展了相關(guān)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，以了解變噴嘴條件下井底裂縫閉合過程及各變量變化情況，以噴嘴尺寸從r=6 mm調(diào)整至r=12 mm為例，結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖10表示返排前期采用小噴嘴(r=6 mm)返排時的返排規(guī)律，以藍(lán)色曲線簇為代表。圖10(a)顯示，小噴嘴下裂縫閉合速度相對緩慢；圖10(b)顯示，小噴嘴下縫內(nèi)流體壓力下降相對緩慢；圖10(c)顯示，由于噴嘴尺寸有限，裂縫中總體流量不高。

圖10 小噴嘴返排過程(r=6 mm)Fig.10 Flowback process at small size nozzle(r=6 mm)

圖11 大噴嘴返排過程(r=12 mm)Fig.11 Flowback process at big size nozzle(r=12 mm)

圖11表示后期換用大噴嘴(r=12 mm)各變量的重新分布情況，以紅色曲線簇為代表。換用大噴嘴后，裂縫寬度[圖11(a)]在原來基礎(chǔ)上繼續(xù)下降，且下降幅度相比于小噴嘴更大，流體壓力[圖11(b)]的變化也呈現(xiàn)出相似規(guī)律，表明更換大噴嘴后，裂縫閉合得更快。但流量的變化有所差異，如[圖11(c)]所示，換用大噴嘴后，縫中各單元流量均產(chǎn)生了顯著上升，表明更換大噴嘴后，井筒中流速有所增加，造成了流量的增長，意味著更多的壓裂液被排出，此流量的增長也是能夠加速返排進(jìn)程的根本原因。且在大噴嘴尺寸下，縫中流量下降速率更大，隨著返排的后續(xù)進(jìn)行，流量開始減小，逐漸將小噴嘴流量曲線“覆蓋”，隨著井口壓力逐漸降為大氣壓，流量也逐漸減小為0。

3.4 變動噴嘴返排過程壓降曲線

相應(yīng)地，變噴嘴情況下井口壓降曲線如圖12所示。圖12中紅色曲線為參考基線，表示全程采用小噴嘴時井口壓降曲線，此時返排時間較長。分別模擬了噴嘴尺寸從r=6 mm調(diào)整至r=9 mm、r=12 mm、r=15 mm時的返排過程，前半部分曲線噴嘴尺寸較小時，井口壓力下降相對緩慢，曲線斜率較小，換用大尺寸噴嘴時，曲線產(chǎn)生了明顯拐點(diǎn)，曲線斜率顯著增大，返排速率大幅加快，既滿足返排初期返排速率不宜過大的要求，又滿足返排后期盡可能加速返排的要求，該模式下的壓降曲線對實(shí)際生產(chǎn)具有一定借鑒意義。

圖12 變噴嘴情況下井口壓降曲線Fig.12 Pressure curve at wellhead with variable nozzles

4 結(jié)論

以往壓裂液返排研究中，多假設(shè)裂縫寬度不隨縫長的延伸而變化，借助邊界元方法，綜合考慮了返排過程中的濾失量、沿程損失、返排終止判據(jù)、井底井口壓力之間的關(guān)系等因素，完成了數(shù)值建模，構(gòu)建了非線性方程組并完成了求解，對于裂縫寬度、縫內(nèi)流量及流體壓力的實(shí)際分布和變化過程進(jìn)行了量化計(jì)算與描述，得到了各變量變化規(guī)律及相應(yīng)壓降曲線，相比于傳統(tǒng)模型精度更高。

(1)裂縫延伸越深，裂縫寬度越窄，縫內(nèi)流量越小，且隨著壓裂液排出，裂縫逐漸發(fā)生閉合，裂縫寬度逐漸減小，縫內(nèi)流體壓力整體降低。在返排進(jìn)程中增大噴嘴尺寸，會加速裂縫閉合，單位時間內(nèi)裂縫寬度及流體壓力下降幅度更大，但此時縫中各單元流量均發(fā)生了顯著上升，這意味著更多的壓裂液被排出。

(2)對于固定尺寸噴嘴，井口壓降曲線表現(xiàn)為先陡后緩。返排初期壓裂液回流較快，壓降曲線下降較快，隨著返排進(jìn)行，壓裂液能量逐漸耗散，壓裂液回流減慢，壓降曲線斜率不斷減小，當(dāng)井口壓力降為大氣壓時，返排停止。同時，對比多種尺寸的固定噴嘴，噴嘴尺寸的些許改變對返排時間影響巨大，噴嘴尺寸增大將導(dǎo)致壓降曲線斜率明顯增大，返排時間明顯縮短。

(3)對于變動尺寸噴嘴，井口壓降曲線表現(xiàn)為先緩后陡。返排前期采用小噴嘴返排時，壓降曲線斜率相比于后期更小，單位時間內(nèi)壓力下降相對緩慢，此時返排速率得到了人為控制，避免了支撐劑因返排速度過大被攜出。后期換用大噴嘴時，壓降曲線產(chǎn)生了明顯拐點(diǎn)，曲線斜率顯著增大，返排速率明顯加快，人為加速了返排進(jìn)程，避免了壓裂液對儲層的污染。研究成果可供實(shí)際生產(chǎn)參考與借鑒。