三點(diǎn)法測(cè)直徑的誤差分析及方案優(yōu)化

梁 雄，賴國(guó)忠

(龍巖學(xué)院 福建龍巖 364000)

塞曼效應(yīng)為研究原子結(jié)構(gòu)提供了重要途徑[1]，橫向塞曼效應(yīng)被用于檢測(cè)大氣汞[2]和煙氣汞[3]，除此之外，塞曼效應(yīng)還可用于測(cè)量超強(qiáng)磁場(chǎng)[4]。近代物理實(shí)驗(yàn)課程常開設(shè)塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)，用于測(cè)量電子的荷質(zhì)比，測(cè)量過程有個(gè)主要任務(wù)就是測(cè)量干涉環(huán)的直徑，測(cè)量過程數(shù)據(jù)比較多，耗時(shí)長(zhǎng)。人們?yōu)榱吮阌谟^測(cè)或減輕觀測(cè)任務(wù)，提出了各種觀測(cè)方法：用阿貝比長(zhǎng)儀觀測(cè)分裂譜底片[5]，利用五點(diǎn)中心測(cè)量法[6]優(yōu)化了測(cè)量過程，基于CCD傳感器技術(shù)，結(jié)合數(shù)字圖像處理技術(shù)提出了半自動(dòng)[7-8]或自動(dòng)[9-10]測(cè)直徑，也有基于LabVIEW結(jié)合手動(dòng)取三點(diǎn)測(cè)直徑[11]。 雖然出現(xiàn)了全自動(dòng)測(cè)直徑的方法，但是在學(xué)生實(shí)驗(yàn)中采用手動(dòng)測(cè)直徑，一方面可以增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，另一方面可以加深對(duì)物理規(guī)律的理解。三點(diǎn)法還被應(yīng)用到19JPC微機(jī)型萬用工具顯微鏡測(cè)樣品上的圓斑或圓孔的直徑，其組成與工作原理可參見文獻(xiàn)[12]。在塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量過程中，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生使用FD-FZ-C法拉第效應(yīng)塞曼效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀時(shí)，常常按圖1 (a)或(b)所示的方式來選取A、B和C三點(diǎn)，只有少數(shù)學(xué)生采用如圖1(c)那種方式來取點(diǎn)。

圖1 三點(diǎn)取法對(duì)比示意圖

考慮到選點(diǎn)時(shí)受人眼(或儀器)分辨率的影響導(dǎo)致的位置誤差，這三種選點(diǎn)方式是否具有一樣的直徑測(cè)量精確度？本文從誤差傳遞公式及幾何知識(shí)來分析所取三點(diǎn)的連線構(gòu)成什么樣的三角形時(shí)，直徑測(cè)量誤差最小以及這三點(diǎn)選取誤差各自對(duì)直徑測(cè)量精確度有怎樣的影響,最后應(yīng)用Matlab軟件模擬干涉環(huán)的測(cè)量來驗(yàn)證討論所得的結(jié)論。

圖2 直角頂點(diǎn)偏離示意圖

1 三點(diǎn)法測(cè)直徑原理及其優(yōu)化

1.1 三點(diǎn)法測(cè)直徑原理

如圖1所示，在待測(cè)圓上任取三點(diǎn)A、B和C，該圓是三角形ABC的外接圓，弦AB的長(zhǎng)度設(shè)為l， ∠ACB=α(下文中α均指∠ACB)，容易由正弦定理將待測(cè)圓的直徑表示成：

d=l/sinα，

(1)

除了按式(1)計(jì)算直徑外，還可根據(jù)所取的三點(diǎn)要滿足圓的方程而列出三個(gè)方程，從該方程組可先求得圓心坐標(biāo)，再求出圓心到這三點(diǎn)中的任一點(diǎn)之間距離即可求得相應(yīng)環(huán)的半徑[11]。一旦從待測(cè)圓弧上選定三點(diǎn)，不同計(jì)算法求解的直徑結(jié)果是一樣的，即與真值之間的偏差也相同。估算誤差時(shí)，由于不同計(jì)算方法對(duì)應(yīng)的誤差傳遞公式不同，估算誤差也會(huì)不完全一致，但是它們估算的誤差水平應(yīng)是相當(dāng)?shù)模詾榱吮阌谟懻撨x點(diǎn)位置的誤差對(duì)直徑結(jié)果的影響，本文采用式(1)的誤差傳遞公式來討論三點(diǎn)應(yīng)該在圓上的什么位置選取可以將直徑的測(cè)量誤差最小化，而后一種方法便于在Matlab編程求解直徑，因此模擬測(cè)量過程將采用后面這種方法驗(yàn)證誤差分析所得的優(yōu)化方法。

1.2 三點(diǎn)法測(cè)直徑誤差及三點(diǎn)最佳取法

由誤差傳遞公式容易求出(1)式的直徑測(cè)量誤差為：

(2)

其中uc(l)和uc(α)分別代表測(cè)量弦長(zhǎng)l和α的綜合不確定度。結(jié)合圖1可知，弦長(zhǎng)l越大，角α就越接近90°，當(dāng)弦長(zhǎng)取最大值時(shí)，有l(wèi)=d和α=90°，在等精度測(cè)量的前提下，此時(shí)上式根號(hào)里頭兩項(xiàng)都達(dá)到最小。由此看來，三點(diǎn)法測(cè)直徑時(shí)A、B兩點(diǎn)應(yīng)盡可能選取在直徑端點(diǎn)位置，它們與另外一點(diǎn)C的連線構(gòu)成直角三角形，此時(shí)直徑的測(cè)量誤差最小。

為了便于討論直角頂點(diǎn)C的誤差對(duì)直徑的影響，假設(shè)AB準(zhǔn)確地落在半徑為R待測(cè)圓直徑的端點(diǎn)上(即AB=2R)，而選取頂點(diǎn)C受人眼分辨率或儀器分辨率的影響將會(huì)導(dǎo)致該點(diǎn)偏離待測(cè)圓，距離記作Δ(如圖2中線段CD)，因此選取C點(diǎn)誤差會(huì)導(dǎo)致角α與直角存在一定的偏差。

不妨假設(shè)圓上不同位置選取C點(diǎn)時(shí)不確定度Δ相當(dāng)，令∠BOC=θ，∠BCO=α1，OC記作r。 在三角形BOC中由正弦定理得：

可求得

r=Rsin(θ+α1)/sinα1，

兩邊取微分得(在此假設(shè)θ為常數(shù)),并令dr=Δ，α1≈(π-θ)/2，整理得：

(3)

在三角形AOC中,令∠ACO=α2，同理可求得：

(4)

考慮判斷誤差Δ通常較小，即R?Δ或Δ/R?1，此時(shí)角α與直角有一個(gè)較小的偏離ε1：

(5)

其中負(fù)號(hào)含義：當(dāng)Δ>0，即選取直角頂點(diǎn)C在圓外，則導(dǎo)致α略小于π/2；反之，導(dǎo)致α略大于π/2.由此可見：倘若在圓弧上A、B兩點(diǎn)鄰近區(qū)域選取直角頂點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)θ接近0°或180°，在同樣半徑偏離Δ情況下，將導(dǎo)致較大的角度誤差ε1。而在圓弧上θ=90°的位置選擇直角頂點(diǎn)C，結(jié)合圖2幾何關(guān)系可知：綜合誤差公式(2)的分析結(jié)果，所選三點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，此時(shí)由選點(diǎn)位置誤差造成α角的誤差最小：ε1=-Δ/R， 將其代入誤差傳遞公式(2)可得測(cè)量直徑的相對(duì)誤差：

(6)

式(6)推導(dǎo)中應(yīng)用了cotα=cot(π/2+ε1)≈-ε1。

圖3 直徑方向上點(diǎn)偏離圓對(duì)角度的影響

1.3 直徑兩端取點(diǎn)對(duì)直徑測(cè)量誤差的影響

在直徑端點(diǎn)處取兩點(diǎn)A、B，考慮這兩點(diǎn)在圓弧上位置具有對(duì)稱性，它們位置誤差相當(dāng)，在此僅以B點(diǎn)為例進(jìn)行說明。如圖3所示，假設(shè)A、C兩點(diǎn)準(zhǔn)確無誤地落在圓上，在待測(cè)圓上位置D選擇B時(shí)，由于判斷誤差將會(huì)沿著直徑方向偏離到B點(diǎn)(注：也有可能落在圓內(nèi))，偏離距離記作Δ，容易知道∠ACB比90°大，導(dǎo)致直角誤差ε2。

(7)

對(duì)式(7)取微分可得：

(8)

(9)

(10)

2 干涉環(huán)直徑測(cè)量模擬

由于實(shí)際的塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中無法事先確切地知道法布里—珀羅腔(F-P腔)干涉圖樣中干涉環(huán)的直徑真值，這將造成無法計(jì)算每次測(cè)量誤差，以及難以判斷多次測(cè)量算術(shù)平均值哪種取點(diǎn)方法更接近真值。為了克服這些不便，利用Matlab模擬塞曼效應(yīng)的干涉圖樣，各參數(shù)按照文獻(xiàn)[13]。具體選取情況：F-P腔的反射率設(shè)為90%，折射率n=1.5，腔厚d=5.55 mm，成像透鏡焦距f=200 mm，波長(zhǎng)λ=555 nm，模擬F-P干涉圖樣的結(jié)果如圖4所示。測(cè)量過程選取圖4中最接近中央亮斑的干涉環(huán)，其直徑可由理論計(jì)算得：d0=3.266 mm(將它視作真實(shí)值，即可求出測(cè)量誤差)，應(yīng)用軟件中g(shù)input命令按圖1中三種采點(diǎn)方式取點(diǎn)，按從左到右將這三種方式簡(jiǎn)稱M1、M2和M3，每種方法取30組(其中每組數(shù)據(jù)由三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)組成)，即每種方法測(cè)量圓直徑30次。

圖4 F-P腔干涉模擬圖

將相應(yīng)的直徑測(cè)量值減去理論值即可求得每次測(cè)量誤差，以數(shù)據(jù)編號(hào)i為橫坐標(biāo)，將三種取點(diǎn)方式的直徑測(cè)量誤差繪制成曲線(見圖5(a))：M1測(cè)量誤差曲線對(duì)應(yīng)左側(cè)縱坐標(biāo)軸u(d)，另外兩種方式M1、M3測(cè)量誤差曲線對(duì)應(yīng)右側(cè)縱坐標(biāo)軸u1(d)。

從圖5(a)中可以看出，M1和M2方式測(cè)量結(jié)果誤差的波動(dòng)幅度都比較大，而M3方式取點(diǎn)每次測(cè)得直徑與理論值之間的偏差都比較小。這三種取點(diǎn)方法測(cè)得直徑的平均值分別為3.371 mm、3.272 mm和3.270 mm，其中M3平均值最接近待測(cè)干涉環(huán)直徑的真值(3.266 mm)。此外用標(biāo)準(zhǔn)偏差來衡量波動(dòng)幅度，它們分別為： 0.730 mm(M1)、0.007 mm(M2)和0.004 mm(M3)。這是因?yàn)椋篗1取點(diǎn)所測(cè)的弦長(zhǎng)比直徑小得多，按照式(1)可知測(cè)得直徑必須按某個(gè)比1大得多的因子(1/sinα)放大后求得，放大過程同樣將弦長(zhǎng)l的測(cè)量誤差進(jìn)行了放大，而M2與M3雖然都有較大的弦長(zhǎng)(甚至接近直徑)，但由于方式2中直角頂點(diǎn)非?？拷睆蕉它c(diǎn)，此時(shí)由于直角頂點(diǎn)選取誤差導(dǎo)致α偏離90°較大，導(dǎo)致M2的直徑測(cè)量誤差要大于M3的誤差，這與前面誤差分析所得的結(jié)論完全一致。

三種方式檢測(cè)的圓心坐標(biāo)情況，用測(cè)量所得的圓心坐標(biāo)與實(shí)際圓心坐標(biāo)(0,0)之間的距離e衡量圓心的檢測(cè)誤差，如圖5(b)所示，對(duì)比后容易發(fā)現(xiàn)：采用等腰直角三角形的方式取點(diǎn)，M3的圓心檢測(cè)誤差e要比其他兩種方式取點(diǎn)所得的結(jié)果要小得多。

(a) 直徑測(cè)量誤差曲線 (b) 圓心測(cè)量誤差曲線

3 結(jié)論

應(yīng)用三點(diǎn)法測(cè)量待測(cè)圓(例如干涉環(huán))的直徑或圓心，采用等腰直角三角形的選點(diǎn)方式具有較高的精確度。此外，建議用FD-FZ-C法拉第效應(yīng)塞曼效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀做塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先在干涉圖樣中選取較大的干涉環(huán)，按照優(yōu)化后的方法測(cè)定環(huán)心坐標(biāo)，再沿著垂直直徑AB方向在每個(gè)待測(cè)環(huán)上選取一個(gè)點(diǎn)，這樣可以比較精確地測(cè)定相應(yīng)待測(cè)環(huán)直徑，同時(shí)也有利于減小電子的荷質(zhì)比測(cè)量誤差。順便提一下，在估算選點(diǎn)的誤差對(duì)直徑測(cè)量影響時(shí)，按照優(yōu)化取點(diǎn)方式，直徑測(cè)量誤差主要來源于直徑端點(diǎn)處所取兩點(diǎn)的位置誤差，而直角頂點(diǎn)的位置誤差對(duì)直徑測(cè)量精確度影響比較小，基本可以忽略。