弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)的隔離分析求解

文嘉意，謝 強(qiáng)

(同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092)

弱耦聯(lián)體系多見于能源電力領(lǐng)域，通常由若干支柱式設(shè)備以及連接它們的柔性連接件構(gòu)成，如圖1 中實(shí)例所示。由于近年來地震災(zāi)害對電力系統(tǒng)造成了較嚴(yán)重的損失[1-3]以及我國特高壓等重要電力設(shè)施在高地震烈度地區(qū)的廣泛建設(shè)[4-5]，弱耦聯(lián)設(shè)備體系的抗震研究日益受到關(guān)注[6-7]。

圖 1 弱耦聯(lián)體系實(shí)例Fig.1 Examples of weakly-coupled system

在建筑工程領(lǐng)域，目前有許多針對連體結(jié)構(gòu)、相鄰結(jié)構(gòu)振動特性的研究[8-10]。弱耦聯(lián)體系雖在直觀上類似于連體結(jié)構(gòu)，但其主要區(qū)別在于：1)研究表明，耦聯(lián)作用對體系地震響應(yīng)有明顯影響，不可忽略[11-12]。但柔性連接件約束作用弱，體系的結(jié)構(gòu)整體性差、整體振型不明顯[13]。地震作用下各設(shè)備的響應(yīng)仍由其自身動力特性主導(dǎo)[14]。建筑結(jié)構(gòu)通常要求整體性良好，子結(jié)構(gòu)間具有協(xié)同性，一般在概念設(shè)計(jì)階段便回避了這一問題；2)體系中設(shè)備與連接件材料的阻尼特性差異大。例如，圖1 中支柱設(shè)備通常為陶瓷或復(fù)合絕緣材料[15]，而連接件則為金屬導(dǎo)電材料。這意味著目前抗震計(jì)算中常用的比例阻尼[16](即通過整體質(zhì)量、剛度矩陣線性組合生成的阻尼矩陣)難以兼顧體系各部分的實(shí)際阻尼特性。

目前弱耦聯(lián)設(shè)備體系抗震基本沿用了建筑抗震規(guī)范中的通用計(jì)算方法[17-18]，即基于整體振型與比例阻尼的疊加法和作為補(bǔ)充計(jì)算的時(shí)程法。在采用前者進(jìn)行計(jì)算時(shí)，上述兩個(gè)問題的存在有可能造成一定的系統(tǒng)誤差；而時(shí)程法由于弱耦聯(lián)體系體量較大且同一體系中設(shè)備、連接件的形式多樣，無標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)型，建模與計(jì)算成本往往偏高。

目前有學(xué)者研究了考慮非比例阻尼的耦聯(lián)體系抗震計(jì)算方法，但其求解仍然依靠于體系的整體振型[19]。本文則從隔離體分析出發(fā)，充分考慮體系各子結(jié)構(gòu)自身動力特性，并在頻域進(jìn)行求解，從而避免了對體系整體振型以及比例阻尼的使用。

1 基于隔離體的理論分析模型

1.1 整體求解思路

根據(jù)弱耦聯(lián)體系的結(jié)構(gòu)特征，理論分析基于如下幾條主要假定：

① 由于連接件彎曲剛度遠(yuǎn)小于支柱設(shè)備，因此連接件作用于支柱的彎矩忽略不計(jì)；

② 實(shí)際中的弱耦聯(lián)體系一般在兩個(gè)水平正交方向進(jìn)行布置。由于連接件柔度很大，難以傳遞體系的整體扭轉(zhuǎn)，因此本文理論模型忽略水平雙向地震的扭轉(zhuǎn)耦合作用，將空間體系在兩水平正交方向上拆解為平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用中，將不同方向上的地震響應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加即可；

③ 當(dāng)體系中支柱存在高度差或者非等張拉連接時(shí)，耦聯(lián)作用力將產(chǎn)生豎向分量。但一方面，由于弱耦聯(lián)體系中耦聯(lián)作用力以及連接件質(zhì)量均較小，豎向分量對工程中實(shí)際關(guān)注的水平地震響應(yīng)的影響可忽略。另一方面，由于本文在廣義線性框架內(nèi)構(gòu)建支柱以及連接件的隔離體運(yùn)動方程，高度差以及非等張拉連接均不改變最終求解式的形式。因此為了表達(dá)的簡潔性，本文按照等高度、等張拉連接這一實(shí)際中更為普遍的情況進(jìn)行理論建模與推導(dǎo)。

采用如圖2 所示的簡化模型進(jìn)行理論求解。圖2 中第i 號支柱式設(shè)備(以下簡稱“支柱i”)的線密度與剛度分別為mi(y) 與EIi(y)，受到地震作用x¨ig(t)，其位移為υi(y,t)。因?yàn)楸苊馐褂媒Y(jié)構(gòu)整體振型，因此不直接建立整體結(jié)構(gòu)矩陣，而采用隔離體分析。支柱i 及其兩側(cè)連接件進(jìn)行隔離可由圖3 表示。

圖 2 弱耦聯(lián)體系理論計(jì)算簡圖Fig.2 Analytical diagram of a weakly-coupled system

圖 3 弱耦聯(lián)體系隔離體圖Fig.3 Free-body diagram of a weakly-coupled system

對任意類型的支柱以及連接件，上述作用力與支座激勵間必定滿足如下的映射關(guān)系：

式中，H (ω)為廣義傳遞矩陣，具有如式(5)所示的表達(dá)式(式中(ω)已省略)：

1.2 支柱隔離體分析

隔離后的支柱i 在如圖3 所示的支座激勵下，可利用結(jié)構(gòu)動力學(xué)經(jīng)典彎曲梁動力理論進(jìn)行推導(dǎo)，得到其頂端支座反力-位移控制方程為：

需要特別提到的是，振型函數(shù)φij(y)并非采用體系整體的結(jié)構(gòu)特性矩陣求得的整體振型，而是指圖3 中支柱i 隔離體的第j 階振型函數(shù)。而對廣義坐標(biāo)zij(t)，容易推導(dǎo)其滿足如下的運(yùn)動方程：

圖 4 線性連接件傳遞函數(shù)示例Fig.4 Transfer functions of exampled linear connections

至此即完成了對支柱以及連接件隔離體力-支座激勵控制方程的推導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了式(3)的顯式化表達(dá)，理論上可對弱耦聯(lián)設(shè)備體系的地震響應(yīng)進(jìn)行求解。接下來通過實(shí)例對理論推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證。

2 弱耦聯(lián)設(shè)備體系實(shí)例驗(yàn)證

上面基于隔離分析，推導(dǎo)了弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)的解法。下面擬通過典型弱耦聯(lián)設(shè)備體系實(shí)例的振動臺試驗(yàn)驗(yàn)證該解法，并與振型疊加法求解進(jìn)行對比，進(jìn)一步研究弱耦聯(lián)特性的影響。

2.1 試驗(yàn)對象及試驗(yàn)概述

試驗(yàn)對象為變電站常見的采用滑動管母線連接的支柱絕緣子體系，如圖5(a)所示，并規(guī)定水平平面內(nèi)、外方向分別為X 向、Y 向，豎直方向?yàn)閆 向。兩支柱絕緣子安裝在兩個(gè)6 m×3 m 的振動臺組成的臺陣上，間距為8.5 m。振動臺包括兩個(gè)水平正交方向以及豎直方向上的三個(gè)自由度，輸入頻率范圍為0.1 Hz ～50 Hz。

圖 5 滑動管母線連接的支柱絕緣子振動臺試驗(yàn)Fig.5 Shaking table test of post insulators connected by slidable busbar

支柱1、2 結(jié)構(gòu)上完全相同，包括底部5 m 高的格構(gòu)式鋼支架(Q235 材質(zhì))以及上部五段復(fù)合材料絕緣子(實(shí)心圓截面，直徑280 mm)。每段絕緣子均由兩側(cè)金屬法蘭以及中間雙層玻璃鋼芯棒組成。芯棒內(nèi)、外兩層玻璃鋼彈性模量分別為53.95 GPa、15.63 GPa，結(jié)構(gòu)總高度為17.27 m，總重為4055 kg。支柱在頂端通過金具與滑動管母線連接。另外，為了模擬電氣元件等非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的慣性作用，支柱1、2 頂部分別附有集中配重198 kg、147 kg。

滑動管母線為空心鋁制圓管(φ 300×12 mm)，重347 kg，其左側(cè)與支柱1 頂端固定，右側(cè)與支柱2 頂端之間采用如圖5(b)所示的滑動金具連接?；瑒咏鹁邽橐讳X制圓環(huán)，安裝時(shí)管母線自由插入，與圓環(huán)之間無預(yù)緊及嵌固。這樣的連接方式僅約束Y 向、Z 向運(yùn)動，管母線可沿X 向自由滑動，因此實(shí)際連接剛度遠(yuǎn)小于管母線截面剛度，為典型柔性連接?；瑒庸苣妇€在如圖5(b)所示滑動端伸出了1.3 m 的冗余距離，以保證其自由滑動，不發(fā)生脫出。

主要通過試驗(yàn)加速度及位移響應(yīng)對本文解法進(jìn)行驗(yàn)證，因此在各段絕緣子端部均布置了三向加速度傳感器(圖5 中A1～A12)。由于試驗(yàn)對象高達(dá)17.3 m，難以通過位移計(jì)對位移進(jìn)行實(shí)測，因此通過實(shí)測加速度的逐步積分計(jì)算位移響應(yīng)。另外，在兩支柱根部均布置了應(yīng)變計(jì)測量絕緣子應(yīng)變響應(yīng)。

根據(jù)白噪聲掃頻結(jié)果，未連接管母線以及頂部配重的支柱在X 向、Y 向的前兩階頻率均為0.659 Hz 以及4.370 Hz。組成耦聯(lián)體系后，支柱1、2 在X 向基頻均為0.641 Hz，而二階頻率出現(xiàn)了差異，分別為4.311 Hz 以及4.143 Hz。在Y 向，兩支柱絕緣子前兩階頻率均為0.649 Hz 以及4.260 Hz。耦聯(lián)體系兩支柱X 向二階頻率的差異說明在此頻率附近兩支柱的振動并不協(xié)同，整體的二階振型響應(yīng)不明顯，體現(xiàn)了弱耦聯(lián)特性，因此主要從X 向響應(yīng)對理論計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 輸入地震動

試驗(yàn)工況如表1 所示，輸入地震動包括2 條天然波：El-centro 波、Taft 波以及1 條人工波。地震動輸入前后均進(jìn)行了白噪聲掃頻測試。試驗(yàn)中振動臺三向激振，以X 向(平面內(nèi)方向)為主振方向，峰值地面加速度(PGA)在X 向、 Y 向和 Z 向之比為1∶0.85∶0.65。試驗(yàn)強(qiáng)震工況下，X 向PGA 為0.4 g；強(qiáng)震工況前，在X 向PGA 大約為0.2 g 的水平下進(jìn)行了地震動迭代輸入，以校準(zhǔn)振動臺輸入?yún)?shù)。在2%阻尼比下，三條地震波X 向反應(yīng)譜以及電力設(shè)施抗震規(guī)范[15]給出的目標(biāo)譜如圖6 所示。為方便參考，耦聯(lián)體系中支柱1 的前兩階自振頻率也在圖6 中標(biāo)出。

對于地震波的選取，一方面由于試驗(yàn)支柱絕緣子的柔性較大，基頻在1 Hz 以下，地震動中的低頻成分對其影響較大。所選人工波在平臺段以外的低頻區(qū)也能較好地覆蓋目標(biāo)譜。另一方面，耦聯(lián)體系在二階振型表現(xiàn)出弱耦聯(lián)的特點(diǎn)，Taft波以及人工波反應(yīng)譜在該二階頻率處均有明顯峰值，可充分考察弱耦聯(lián)特性。

表 1 試驗(yàn)工況Table 1 Scenarios of testing

圖 6 試驗(yàn)輸入地震波反應(yīng)譜Fig.6 Test response spectra of input ground motions

2.3 模型參數(shù)確定

注意到，1.3 節(jié)在建立連接件在頻域的力-位移控制方程時(shí)，對連接件提出了“線性或可等效為線性”這一先決條件。而滑動管母線無法直觀判斷可否等效為線性連接，首先需要進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證手段即通過試驗(yàn)中支柱的實(shí)際頂端位移以及耦聯(lián)作用力反推出二者在頻域的傳遞函數(shù)。如果其形式與圖4 中曲線一致，且能用式(14)的理論曲線進(jìn)行有效擬合，則說明試驗(yàn)對象可等效為線性耦聯(lián)。同時(shí)，這一驗(yàn)證流程也可確定理論模型計(jì)算中所需參數(shù)。

雖然在試驗(yàn)中無法直接測量管母線作用力，仍可通過試驗(yàn)的加速度及應(yīng)變響應(yīng)近似計(jì)算出耦聯(lián)作用力。例如對支柱1，其根部彎矩M1(t)近似滿足：

對勻質(zhì)的線性連接件，容易證明：

圖 7 |的試驗(yàn)及理論計(jì)算結(jié)果Fig.7 Experimental and analytical results of

2.4 結(jié)果對比

在確定了模型參數(shù)后，采用本文方法計(jì)算體系的X 向地震反應(yīng)。計(jì)算得到的支柱頂端對地相對位移d 與試驗(yàn)結(jié)果擬合度高，例如圖8 展示了人工波輸入下本文方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)程對比。

圖 8 人工波輸入下支柱頂部相對位移試驗(yàn)及理論結(jié)果Fig.8 Experiment and analytical relative displacement at top of post insulators with the artificial wave

同時(shí)，也采用基于整體振型的振型疊加法(以下簡稱“疊加法”)進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算除采用比例阻尼外其余模型參數(shù)均與本文方法相同?；隗w系整體的前兩階自振頻率以及實(shí)測的1.5% 阻尼比，可求得比例阻尼參數(shù)。三條地震動輸入下，本文方法與疊加法計(jì)算的支柱頂部相對位移誤差Δd 如圖9 所示。本文方法計(jì)算的誤差顯著小于疊加法，且誤差在整個(gè)地震持時(shí)內(nèi)都較為穩(wěn)定，無明顯突出。

圖 9 本文法與疊加法頂部相對位移誤差Fig.9 Errors of the relative top displacement with the proposed method and the superposition method

由于電氣設(shè)備對位移響應(yīng)十分敏感，因此需關(guān)注體系的最大位移。表2 列出了兩種計(jì)算方法下支柱頂部沿X 向(即平面內(nèi)方向)的最大相對位移和誤差。在所有情況下本文法結(jié)果均略高于實(shí)際；而疊加法結(jié)果則表現(xiàn)出系統(tǒng)性誤差，即任一地震輸入下均高估一支柱響應(yīng)而低估另一支柱響應(yīng)。尤其是Taft 波及人工波，最大誤差均超過-10%，在表2 中進(jìn)行了加粗表示。這主要是因?yàn)榀B加法無法考慮體系在二階振型處出現(xiàn)的弱耦聯(lián)特性，而圖6 中Taft 波以及人工波恰好在體系二階頻率處有明顯峰值，因此高估了連接件耦聯(lián)作用，這將在下一節(jié)展開探討。

表 2 不同方法下支柱絕緣子頂部最大相對位移Table 2 Maximum relative displacement at top of insulator posts with different methods

3 弱耦聯(lián)特性的進(jìn)一步探討

圖11 為人工波輸入下本文法與疊加法支柱頂部加速度的傅里葉幅值譜，二者主要存在兩大差別。第一，本文法結(jié)果在2 Hz～10 Hz 成分并不明顯，僅在第二振型，即4.3 Hz 處有一較小峰值。而疊加法在2 Hz～10 Hz 有顯著成分，反映了對弱耦聯(lián)體系采用整體振型進(jìn)行計(jì)算，會高估某些振型響應(yīng)。由于連接件的約束弱，在實(shí)際地震作用下，一些振型響應(yīng)并不會被明顯激發(fā)；第二，本文法中兩支柱頻譜在基頻處峰值不同，反映了兩支柱頂端的實(shí)際運(yùn)動并不一致。而疊加法中兩曲線基本吻合，這說明疊加法高估了實(shí)際耦聯(lián)作用，強(qiáng)化了兩支柱間的約束使得二者運(yùn)動協(xié)調(diào)一致。這也是表2 中疊加法總是高估一支柱位移而低估另一支柱位移的原因。

圖12 中兩支柱頂部絕對位移d1、d2的散點(diǎn)圖可進(jìn)一步證明。由于試驗(yàn)對象采用滑動管母線，自由滑動下兩支柱位移散點(diǎn)圖應(yīng)呈現(xiàn)出平滑曲線。未采用整體振型而基于隔離體分析的本文法在圖12(a)中體現(xiàn)了這一點(diǎn)。而圖12(b)中疊加法曲線的波折以及整體輪廓的萎縮則明顯反映出疊加法高估了實(shí)際耦聯(lián)作用，兩支柱間相對滑動的約束作用明顯。

圖 11 人工波下支柱頂部加速度傅里葉幅值譜Fig.11 Fourier amplitude spectra of top accelerations of post 1 and post 2 with the artificial wave

圖 12 人工波下支柱1、2 頂部絕對位移散點(diǎn)圖Fig.12 Scattering of the absolute top displacement of post 1 and post 2 with the artificial wave

本文解法前提為式(2)右邊均為或可近似為位移及其高階導(dǎo)數(shù)的線性組合。弱耦聯(lián)體系支柱及大部分連接件在地震下均可視為線性構(gòu)件，故滿足該條件。但仍有一部分非線性連接件，如軟導(dǎo)線連接，不能直接采用本文解法。尤其對于分裂軟導(dǎo)線，在動力作用下的變形可使其剛度可發(fā)生明顯變化[20]，另外導(dǎo)線初始位型或者兩端的非等張拉連接對動剛度特性也會產(chǎn)生顯著影響。但注意到，本文解法不依托整體結(jié)構(gòu)矩陣，連接件潛在的非線性也被局部化在其隔離體控制方程中，避免了非線性的擴(kuò)散。因此基于此線性求解框架進(jìn)一步研究非線性連接件的解法是合理的，這也是后續(xù)研究的重點(diǎn)方向。即對不同形式的軟導(dǎo)線，尋求式(2)中力-位移控制方程在非線性形式下的等價(jià)線性化方法。

4 結(jié)論

本文基于弱耦聯(lián)體系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究了采用隔離體建立控制方程并在頻域進(jìn)行求解的地震響應(yīng)計(jì)算方法。通過實(shí)例的振動臺試驗(yàn)驗(yàn)證并與疊加法的對比分析，得到如下結(jié)論：

(1) 采用滑動管母線連接的弱耦聯(lián)體系可等效為線性體系，合理選用模型參數(shù)后，采用本文方法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)吻合良好，頂端相對位移的最大誤差在1.2%～5.8%；而疊加法則表現(xiàn)出系統(tǒng)性誤差，最大誤差在-14.1%～7.3%。

(2) 計(jì)算弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)時(shí)，采用比例阻尼進(jìn)行計(jì)算，連接件的力-位移傳遞關(guān)系可能不符合實(shí)際情況，從而造成誤差。有必要采用非比例阻尼，差異化考慮支柱與連接件的阻尼特性。

(3)地震作用下，弱耦聯(lián)體系支柱間的運(yùn)動并不協(xié)同。采用基于整體振型的方法計(jì)算弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)，會高估連接件的約束作用，同時(shí)過度激發(fā)某些實(shí)際中并不明顯的振型反應(yīng)。