圓助攻,巧解三角形最值問題

廣東省佛山市第四中學(xué)(528000) 黃 儀

解三角形中的最值問題,一般是利用正余弦定理,結(jié)合基本不等式,或三角函數(shù)的有界性,二次函數(shù)的最值等方法求解,但通常會推導(dǎo)過程繁冗,計(jì)算量大,容易出錯(cuò),尤其是選擇填空題,做題耗時(shí)過多,得不償失.三角形中角度和邊長的變化,其實(shí)就是平面幾何中點(diǎn)和線的變化,能否跳出知識的局限,利用平面幾何輔助解題? 平面幾何中的圓,由于其半徑和圓心角,圓周角的特性,往往成為一個(gè)很好的解題助力工具.

一、角的轉(zhuǎn)化

三角形中,當(dāng)點(diǎn)動而角不變時(shí),如果定角所對的邊也是定值,求最值問題時(shí),可將角轉(zhuǎn)化為同圓中同弧所對的圓周角或圓心角, 利用同弧所對的圓周角或圓心角不變的性質(zhì),化動為靜.

例1(2014 高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科) 已知a,b,c分別為ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,a= 2 且(2 +b)(sⅰnA ?sⅰnB) = (c ?b)sⅰnC, 則ΔABC的面積的最大值為____.

解由正弦定理, (2 +b)(sⅰnA?sⅰnB)=(c?b)sⅰnC即(2+b)(a?b)=c(c?b),將a=2代入整理得b2+c2?a2=bc,所以cosA=邊a為定長2,角A為定值, 構(gòu)造ΔABC外接圓O, 則點(diǎn)A可看作圓O中所對的圓周角∠BAC的頂點(diǎn),由垂徑定理易知當(dāng)AO⊥BC時(shí),ΔABC的面積最大,為

圖1

評析這是一道求面積最值的經(jīng)典題目,方法多樣.構(gòu)造圓,利用幾何輔助解題是最靈活,計(jì)算量最少的解法.通過角度不變,點(diǎn)A可看作在圓周上運(yùn)動,角A兩邊長的變化轉(zhuǎn)化為三角形高的變化,求面積的最值即求高的最值.

例2ΔABC中, ∠ABC= 90°,AC= 2BC=P是ΔABC內(nèi)一動點(diǎn),∠BPC= 120°,則AP的最小值為____.

解以BC為x軸,BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系, 構(gòu)造圓O, 使BC為圓O的弦, ∠BPC為優(yōu)弧BC所對的圓周角恒為120°, 則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為弧BC.線段AP的最小值就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到弧BC的距離的最小值.由BC=圓心角∠BOC= 120°易知O點(diǎn)坐標(biāo)為, 圓O半徑為2, 則AP的最小值=|OA|?|OP|=

圖2

評析此處巧妙地用了平面幾何與解析幾何中圓的性質(zhì).首先由動點(diǎn)P形成的角為定值,將點(diǎn)動轉(zhuǎn)化為角動,根據(jù)角度不變構(gòu)造出同弧所對的圓周角,再將AP的值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的位置關(guān)系求解,利用坐標(biāo)系大大簡化了計(jì)算量.

二、邊的轉(zhuǎn)化

三角形中,點(diǎn)動,角變,而邊不變,結(jié)合圓中的定長為半徑或直徑,可將三角形中的一條動邊構(gòu)造為圓的半徑或直徑,將點(diǎn)動轉(zhuǎn)化為圓中半徑位置的轉(zhuǎn)動,進(jìn)而引起其他頂點(diǎn)或角度的變化,再結(jié)合圓的性質(zhì),求出相應(yīng)的取值范圍.

例3在ΔABC中,AB= 1,BC= 2,求角C的取值范圍.

解以B為圓心,AB= 1 為半徑構(gòu)造半圓, 當(dāng)頂點(diǎn)A從點(diǎn)M沿著半圓弧運(yùn)動到點(diǎn)N的過程中, 角C從零開始, 先逐漸增大,當(dāng)CA與半圓B相切時(shí),角C最大,為30°,然后又逐漸減小至零,得出角C的取值范圍是(0,30°].

圖3

評析本題中角C的對邊為定值,以定長為半徑構(gòu)造圓,當(dāng)角C變化時(shí),點(diǎn)A在半圓周上運(yùn)動,角C的值隨著角A的變化而變化,由角A的取值范圍得出角C的取值范圍.這一招可謂“動中求變化,變中有方法”!

三、三角形的轉(zhuǎn)化

平面四邊形中,某動點(diǎn)在變化,帶動其它的點(diǎn)也在對應(yīng)變化(這兩個(gè)稱之為對應(yīng)點(diǎn)),相當(dāng)于整個(gè)圖形在變化,其中蘊(yùn)含著變化的三角形與不變的對應(yīng)關(guān)系,將其中變化的三角形構(gòu)造圓,對應(yīng)點(diǎn)利用其對應(yīng)關(guān)系也構(gòu)造出相應(yīng)的圓,兩圓相結(jié)合輔助解題,事半功倍.

例4在平面四邊形ABCD中,AD= 2,CD= 4,ΔABC為正三角形,則ΔBCD面積的最大值為____.

圖4

解以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系, 則D(4,0), 由AD= 2,CD= 4 可知點(diǎn)A在圓D: (x ?4)2+y2= 4 上, 因?yàn)槭屈c(diǎn)A繞原點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B,所以點(diǎn)A的軌跡圓D繞原點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得點(diǎn)B的軌跡圓E,可求得所以點(diǎn)B(x,y)在圓E: (x ?2)2+= 4 上,易知|y|≤所以有ymax=所以ΔBCD面積的最大值為

評析本題中點(diǎn)A,C在變化,帶動點(diǎn)B也在動,其不變關(guān)系是等邊ΔABC.構(gòu)造出動點(diǎn)A作圓周運(yùn)動的圓D,再根據(jù)等邊三角形中的定角∠ACB及等邊,得出動點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡圓E,相當(dāng)于把ΔACD旋轉(zhuǎn)到ΔBCE,動點(diǎn)B的的運(yùn)動過程,就是ΔBCD高的變化過程,從而確定面積的變化.本題是“點(diǎn)(A)動——點(diǎn)(B)動——線(高)動”的變化過程,構(gòu)思巧妙,技巧性強(qiáng).

例5如圖5 在凸四邊形ABCD中,AB=1,BC=√AC⊥CD,AC=CD,當(dāng)∠ABC變化時(shí),對角線BD的最大值為____.

解以B為圓心,AB半徑構(gòu)造圓B,以C為圓心,將圓B旋轉(zhuǎn)90°得到圓E,則∠BCE= 90°,BC=CE=BE=當(dāng)點(diǎn)A在圓B上運(yùn)動時(shí),點(diǎn)D在以E為圓心,1為半徑的半圓上運(yùn)動,由圖得BD的最大值即BE的長加圓E的半徑,即√

圖5

評析本題與例4 異曲同工,也是構(gòu)造雙圓輔助解題.將ΔABC旋轉(zhuǎn)變換到ΔDEC,即圓B變換到圓E,即利用點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡求出點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡,此時(shí),即可眼前一亮,豁然開朗,進(jìn)而結(jié)合圓的性質(zhì)解出此題.

三角形的轉(zhuǎn)化,其實(shí)就是邊和角的轉(zhuǎn)化,歸根到底還是根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動、點(diǎn)和線的變化,把點(diǎn)、線的運(yùn)動與圓相結(jié)合,構(gòu)造圓解題.借助圓這個(gè)工具,解題跳出知識的局限,回歸平面幾何與解析幾何的本質(zhì)時(shí),則可以從幾何要素點(diǎn)、線、角、三角形等角度,將問題轉(zhuǎn)化為觀察變化規(guī)律的幾何問題,避免大量的三角運(yùn)算,縮短解題時(shí)間,化繁為簡.

在教學(xué)中,要求學(xué)生有較強(qiáng)的抽象思維能力以及平面幾何,空間幾何的想象能力,平時(shí)多觀察,多思,多練,多畫(圖),跳出思維的框架,發(fā)揮想象的空間;還要善于將知識點(diǎn)融會貫通,綜合運(yùn)用,將三角函數(shù)與平面幾何、解析幾何綜合運(yùn)用,靈活轉(zhuǎn)換,學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng);最后要有模型意識,善于建立數(shù)學(xué)模型.與圓相結(jié)合的解三角形問題具有較高的特定性和技巧性,需要在實(shí)際解題過程中多體會模型的特征,提高解三角形問題的幾何意識.