拋物線中兩條垂直的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)優(yōu)美結(jié)論

南京市棲霞中學(xué)(210046) 劉建國

近期,筆者整理有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的問題時(shí),拜讀文[1]后通過類比聯(lián)想,將橢圓的有關(guān)兩條垂直焦點(diǎn)弦的問題推廣到拋物線中,得出了一系列結(jié)論,并對(duì)其進(jìn)行整理.

結(jié)論1已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中經(jīng)過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦, 拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)Q, 則直線CD必過Q點(diǎn).

圖1

證明如圖1 所示: 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1＜0,y2＞0),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

x2=設(shè)直線AB的方程為:y=則直線CD的方程為:y=;在x軸上方所對(duì)應(yīng)的拋物線方程為:y=則y′=在x軸下方所對(duì)應(yīng)的拋物線方程為:y=?則y′=?則在A點(diǎn)的切線方程為:lA:y?y1=(x?x1),將①代入化簡(jiǎn)可得:lA:y=同理可得:B處的切線方程為:lB:y=將lA、lB聯(lián)立的:解得:即將直線AB與拋物線E聯(lián)立得:整理得:k2x2?(pk2+2p)x+=0,根據(jù)韋達(dá)定理可知:

將③代入Q點(diǎn)坐標(biāo)得則點(diǎn)Q滿足直線CD的方程,所以直線CD必過Q點(diǎn).

結(jié)論2已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中經(jīng)過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦, 拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)Q, 令s=則s+t=2u.

圖2

證明如圖2 所示, 設(shè)直線CD的方程為:y=C(x1,y1)、D(x2,y2),由結(jié)論1 可知:且C,D,Q三點(diǎn)共線, 所以:|QF|?|QC|=|CF|,|QD|?|QF|=|DF|,則:

同理可得:

因?yàn)镃,D滿足直線CD的方程, 所以:y1=且將y1、y2代入④⑤可得:s ?u=u ?t=所 以s ?u=u ?t,即s+t=2u.

結(jié)論3已知AB、CD是拋物線E:y2=2px(p ＞0)中經(jīng)過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦,則(即為定值).

證明如圖3,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1＜0,y2＞0), 直線AB的方程為:因?yàn)锳B⊥CD,則直線CD的方程為:y=所以|AB|=將②代入得:

圖3

結(jié)論4已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),則直線MN恒過定點(diǎn)

證明如圖4, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 直線AB的方程為:y=k(x ?則直線CD的方程為:y=由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:由結(jié)論1 的證明中②式和③式可知:將直線CD與拋物線E聯(lián)立得:整理得:x2?(p+2pk2)x+

圖4

根據(jù)韋達(dá)定理可得:x3+x4=p+2pk2,所以y3+y4=(x3+x4?p)=?2pk,所以當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí), 滿足:所以k=±1, 直此時(shí)直線MN的方程為:直線MN過定點(diǎn)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí), 即:k /=±1, 由M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線MN的方程為:y+pk=化簡(jiǎn)得:即直線MN過定點(diǎn)綜上所述:直線MN恒過定點(diǎn)

結(jié)論5已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦,|AB|+|CD|存在最小值,且最小值為8p.

證明由結(jié)論3 的證明中⑥式可知:|AB|+|CD|=+2p(1+k2) = 4p+2p(k2+) ≥4p+2p×= 8p(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1 時(shí)等式成立), 所以|AB|+|CD|的最小值為8p.

結(jié)論6已知AB、CD是拋物線E:y2= 2px(p ＞0)中過焦點(diǎn)F的兩條相互垂直的弦, 則四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.

圖5

證明如圖5,因?yàn)锳B⊥CD,由結(jié)論3 的證明中⑥式可知四邊形ACBD的面積為:

(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1 時(shí)等式成立),所以四邊形ACBD的面積的最小值為8p2.