利用“齊次化法”求多元函數(shù)最值問(wèn)題

北京市日壇中學(xué)(100020) 李妍華 徐小花 王樹文

2020年高考、強(qiáng)基、競(jìng)賽中多元函數(shù)最值問(wèn)題高頻出現(xiàn),多元函數(shù)問(wèn)題形式復(fù)雜,解法靈活,能有效考察學(xué)生轉(zhuǎn)化構(gòu)造創(chuàng)新的能力.多元函數(shù)最值問(wèn)題我們常用消元、重要不等式、三角換元等方法完成.“齊次化法”也是解答多元函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略之一, 此法有其普適性和廣泛的應(yīng)用性,筆者以2020年幾個(gè)考題為例,將其“齊次化法”求解與讀者交流.

例1(2020年北大強(qiáng)基計(jì)劃第9 題)使得5x+a(x+y)對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,y都成立的實(shí)數(shù)a的最小值為( )

A.8 B.9 C.10 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

解析由于x,y為正實(shí)數(shù),且5x+≤a(x+y),參變分離得√

設(shè)f=則fmax≤a.因此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)最大值問(wèn)題.對(duì)f進(jìn)行變形,得f=設(shè)=t,(t ＞0),則f=于是,我們可以利用Δ 判斷法求f的最大值.

由f的表達(dá)式得到: (5?f)t+?f= 0.我們可以把該式看成是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)一元二次方程.由Δ ≥0,得122+4(5?f)f≥0,得f2?5f ?36 ≤0,解得?4 ≤f≤9.因?yàn)閠 ＞0,f ＞0,所以0＜f≤9.當(dāng)t=時(shí)(滿足t ＞0),f取得最大值9.故選B.

點(diǎn)評(píng)參變分離是求參數(shù)取值范圍的有效方法也是常規(guī)方法.本題困難的地方是參變分離后對(duì)二元函數(shù)求最大值.在本文我們利用“齊次化法”巧妙地將兩個(gè)變量x,y整合為一個(gè)新變量將二元函數(shù)最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最大值問(wèn)題,再利用Δ 判斷法求得f的最大值為9,問(wèn)題得到圓滿解決.

例2(2020年復(fù)旦大學(xué)自主招生第2 題)已知實(shí)數(shù)x、y,滿足x2+2xy ?1=0,求x2+y2的最小值.

解析因?yàn)閤2+2xy ?1=0,所以x2+2xy=1,依題

點(diǎn)評(píng)“齊次化法”往往適用于分式結(jié)構(gòu),高中生比較熟悉的是此法在三角函數(shù)中的應(yīng)用,例如: 已知tanα= 2,求的值.在本題中x2+y2是一個(gè)整式,先要對(duì)式子進(jìn)行恒等變形轉(zhuǎn)化成分式結(jié)構(gòu)再“齊次化”,最后應(yīng)用基本不等式、Δ 判定、換元求導(dǎo)方法快速解答.在這里我們給出的是利用基本不等式解答,讀者也可以試一試Δ 判定、換元求導(dǎo)方法.

例3(2020年高考江蘇卷第12 題)已知5x2y2+y4=1(x,y ∈R),則x2+y2的最小值是____.

解析設(shè)f=x2+y2,則

又

點(diǎn)評(píng)例3 和例2 有相同的地方也有區(qū)別,都可以將整式利用除“1”(在例2 中1=x2+2xy,例3 中1=5x2y2+y4)轉(zhuǎn)化為分式, 但是例3 不能直接除“1”.這也是使用“齊次化法”需要注意的另外一個(gè)點(diǎn), 分子分母次數(shù)要一致.分子f=x2+y2是二次齊次式,分母5x2y2+y4是四次齊次式,要想次數(shù)一致,首先要對(duì)分子進(jìn)行平方.這種轉(zhuǎn)化齊次式的構(gòu)造方法,看似形式變復(fù)雜,實(shí)則巧妙地找到了解題途徑,可謂獨(dú)具匠心.

例4(2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川預(yù)賽)第6 題)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足:= 1,則x+y的最小值是____.

解析依題

設(shè)x+3y=m,2x+y=n,則x+y=所以

點(diǎn)評(píng)齊次轉(zhuǎn)化、分母置換后,將其轉(zhuǎn)化為應(yīng)用不等式求最值的目標(biāo)形式快速獲解.由上述例題知,齊次“降元”轉(zhuǎn)化改變函數(shù)結(jié)構(gòu)后,易找到解題途徑.

例5(2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(甘肅賽區(qū))預(yù)賽第2題)設(shè)x,y均為正數(shù),則的最小值為____.

解析設(shè)x+3y=m,則

評(píng)析例5 的解法和例4 如出一轍,都利用到了將分母“簡(jiǎn)化”巧妙地將其轉(zhuǎn)化為應(yīng)用不等式求最值的目標(biāo)形式快速獲解.

許多重要不等式如基本不等式、柯西不等式自身就是齊次不等式,所以證明一些帶條件的非齊次不等式時(shí),利用所給條件對(duì)原不等式的結(jié)論進(jìn)行恒等變形,轉(zhuǎn)化為齊次不等式,最終化為易于證明的形式.