有心圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)

陜西省西安市臨潼區(qū)教學(xué)研究室(710600) 王江河

題目1(2017年廣東揭陽(yáng)一模文數(shù)第20 題.) 已知橢圓= 1(a ＞的離心率為,點(diǎn)M、N是橢圓C的點(diǎn),且直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON斜率之積為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)滿(mǎn)足是否存在常數(shù)λ,使得點(diǎn)P是橢圓=λ上的點(diǎn)?

反思解題過(guò)程略,此題第二問(wèn)結(jié)論是存在常數(shù)的,那么這個(gè)常數(shù)與題中那個(gè)量關(guān)系密切呢? 第二問(wèn)能做一般化考慮嗎? 經(jīng)過(guò)筆者探求發(fā)現(xiàn)有心圓錐曲線(xiàn)一個(gè)完美的結(jié)論.

性質(zhì)1已知點(diǎn)M、N在有心圓錐曲線(xiàn)C:1(m,n至少一個(gè)為正數(shù),m·n /= 0) 上, 若點(diǎn)P滿(mǎn)足當(dāng)直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON斜率之積為定值時(shí),則點(diǎn)P落在圓錐曲線(xiàn)上.

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由設(shè)點(diǎn)P(x0,y0), 得x0=λx1+μx2,y0=λy1+μy2, 點(diǎn)M、N在橢圓C:= 1 上, 所以=mn.設(shè)

當(dāng)且僅當(dāng)nx1x2+my1y2=0 時(shí),有

性質(zhì)2已知點(diǎn)M、N在有心圓錐曲線(xiàn)C:1(m,n至少一個(gè)為正數(shù),m·n /= 0) 上, 若點(diǎn)P滿(mǎn)足且點(diǎn)P在圓錐曲線(xiàn)=λ2+μ2上,則直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON斜率之積為定值

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 點(diǎn)M、N在橢圓C:=1 上,所以設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由得

得到nx1x2+my1y2= 0.即有從而直線(xiàn)OM,ON斜率之積為定值

題目2已知點(diǎn)M、N是橢圓C:=1 上的點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)滿(mǎn)足是否存在常數(shù)λ,使得點(diǎn)P在橢圓=λ上.

解由性質(zhì)1 得存在常數(shù)λ= 5, 使得點(diǎn)P, 在橢圓=5 上,此時(shí)M,N滿(mǎn)足kOM ·kON=