表面損傷衍射雙向反射分布函數(shù)模型建立及分析

陸 敏，王治樂，張樹青

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院空間光學(xué)工程研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)必須考慮雜散光存在時(shí)的整體性能裕度。為了獲得高的信噪比，必須控制外輻射源到達(dá)焦平面產(chǎn)生的散射量。在許多系統(tǒng)中，光學(xué)元件表面損傷的散射是場外雜散光傳輸?shù)浇蛊矫娴闹匾窂?。在?shí)際工作中，對光學(xué)元件表面損傷進(jìn)行檢測以及提供合理的表面損傷檢測標(biāo)準(zhǔn)是確保高功率激光裝置、精密光學(xué)系統(tǒng)及紅外光學(xué)探測系統(tǒng)等有效運(yùn)行的基礎(chǔ)和關(guān)鍵[1]?，F(xiàn)在光學(xué)元件表面損傷的非接觸檢測方法主要為人工目視檢測法。此外，還有人采用暗場顯微散射法、自適應(yīng)濾波成像法、全內(nèi)反射顯微法、激光共聚焦顯微檢測法以及光切斷法對光學(xué)元件的表面損傷進(jìn)行檢測[2-3]。當(dāng)前利用放大鏡或顯微鏡對表面損傷進(jìn)行目視檢測仍是最為普遍的方法，這種方法對檢測人員的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)要求較高、主觀性強(qiáng)、費(fèi)時(shí)費(fèi)力、工作強(qiáng)度大?，F(xiàn)有的檢測方法也不能應(yīng)對不同的檢測標(biāo)準(zhǔn)，存在儀器指標(biāo)開發(fā)過?；虿蛔愕膯栴}，無法實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程中的自動(dòng)化檢測。此外，表面損傷檢測標(biāo)準(zhǔn)也沒有科學(xué)的依據(jù)，損傷標(biāo)準(zhǔn)與損傷產(chǎn)生的散射量沒有用量化關(guān)系來描述。

當(dāng)前已經(jīng)發(fā)展出一些基于實(shí)驗(yàn)直接測量的表面損傷散射研究，但是基于模型的研究方法較少，Germer T A 利用幾何光學(xué)理論和菲涅耳方程計(jì)算了在瑞利極限下反射面內(nèi)外（表面臟污和表面損傷）一定距離的小粒子散射光的角度依賴性和偏振度[4]。Peterson 將劃痕或坑點(diǎn)所散射的光分成兩部分：劃痕或坑點(diǎn)內(nèi)表面的幾何折射或反射，以及穿過劃痕或坑點(diǎn)周圍的光的衍射。他直接應(yīng)用標(biāo)量衍射理論和理想化的形狀、入射方向，研究了劃痕和坑點(diǎn)的不同量級對表面散射的影響[5]。雖然到目前為止已經(jīng)有學(xué)者對表面損傷的散射理論進(jìn)行了研究，但是卻沒有采用相應(yīng)散射理論來研究多參數(shù)條件下的損傷散射情況，并且也沒有充足的模型數(shù)據(jù)分析用于研究當(dāng)前損傷檢測標(biāo)準(zhǔn)的適用范圍與表面損傷的最佳探測條件、方法。

本文提出了表面損傷的衍射BRDF 模型，能夠仿真表面損傷產(chǎn)生的無法用幾何光學(xué)解釋的波動(dòng)效應(yīng)，分析中考慮了光源的相干性，更加接近物理現(xiàn)實(shí)，提出的模型能夠應(yīng)用于表面損傷散射的相關(guān)研究中。本文提出的表面損傷散射模型能夠簡單、準(zhǔn)確地模擬仿真損傷產(chǎn)生的散射特性，為設(shè)計(jì)檢測方法、制定特定應(yīng)用條件下的檢測標(biāo)準(zhǔn)提供理論依據(jù)。

2 表面損傷的衍射BRDF 模型

2.1 非相干光的衍射BRDF 模型

微觀尺度的表面散射需要考慮光的波動(dòng)效應(yīng)影響，無法直接使用幾何光學(xué)模型進(jìn)行解釋。雙向反射分布函數(shù)(BRDF)是表征材料表面散射特性的最常用方法。BRDF 描述了在入射方向(θi,φi)和給定波長 λ條件下由表面材料反射，在反射方向(θr,φr)的輻射強(qiáng)度的變化。本文使用波動(dòng)光學(xué)中的非傍軸標(biāo)量衍射理論分析表面損傷的BRDF 模型，標(biāo)量衍射理論中平面波分量用方向余弦表示，其傳播矢量與常規(guī)球坐標(biāo)中角度變量的關(guān)系為：

用特定波長下的反射輻亮度Lr(ωr)與入射輻照度Ei(ωi)的比值表示衍射BRDF：

其中As為入射光源覆蓋的陰影面積，如圖1 所示。其中Uo(x,y)為z=0平面上p(x,y)處的表面衍射光波。

如圖1（a）所示，衍射的出射波平面由入射波平面受劃痕表面?zhèn)鬟f函數(shù)調(diào)制后得到，可以表示為：

圖1 非相干輻射原理Fig.1 Incoherent illumination theory

劃痕表面的傳遞函數(shù)表示的是材料高度變化引起的振幅和相位的改變，組成為：

現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，光在空間上是不相干的，因?yàn)楣庠床幌抻谝粋€(gè)點(diǎn)，而是具有一個(gè)區(qū)域，并且可以被視為由多個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)光源組成。到達(dá)表面的照明來自光源區(qū)域的一個(gè)小的對邊角 ?α。van Cittert-Zernike 定理通過傅立葉變換將光源照明表面的角度擴(kuò)展與表面空間濾波器聯(lián)系起來[7]。非相干反射是通過在?c=λ/?α尺寸的相干窗口上應(yīng)用相干反射原理（Fourier 變換），對區(qū)域As內(nèi)所有相干區(qū)域的反射率進(jìn)行平均，形成非相干反射光。

Werner 等人使用標(biāo)量基爾霍夫理論預(yù)測特定光刻結(jié)構(gòu)表面的BRDF。他們首先引入了相干窗口，并考慮了光源空間相干的影響[7-9]。本文將相干函數(shù)定義為高斯空間核G(p?p0)，它用于控制待測表面上的點(diǎn)相對于面上光線的交點(diǎn)p0的相對權(quán)重。類似于短時(shí)傅立葉變換，高斯核G(p?p0)提供執(zhí)行此選擇的窗口函數(shù)。本文使用高斯空間核：

其中 σ為高斯濾波核大小，σ=?c/4。這個(gè)相干函數(shù)定義了相應(yīng)的空間權(quán)重，得到非相干光的衍射BRDF 模型為

2.2 表面損傷的衍射BRDF 模型

假設(shè)材料是由一種均勻的基底材料組成，忽略其空間變化，因此，表面反射率是恒定的，表面損傷引起的振幅改變僅取決于其表面形狀。在此條件下，假設(shè)高斯濾波器只影響空間相位。這使得可以分離每個(gè)表面損傷的振幅（僅受損傷表面形狀影響）和相位（僅受表面深度影響）分量。最后，得到單個(gè)損傷傳遞函數(shù)的傅立葉變換

其中Fscratch為菲涅爾反射系數(shù)，坑點(diǎn)的響應(yīng)函數(shù)是

2.3 表面損傷的散射特性

圖2（彩圖見期刊電子版）顯示了在光源立體角?α=2.8、入射角為45°的不同波長的光照射下的10μm×10μm 劃痕散射結(jié)果，色階表示BRDF數(shù)值。本文的仿真公式能夠仿真更加接近實(shí)際情況的空間、角度和光譜變化，表現(xiàn)出多尺度行為，并且該模型能夠再現(xiàn)劃痕散射的整體外觀以及在實(shí)際測量中觀察到的散射特征細(xì)節(jié)效果。

圖2 波長為（a）0.3μm，（b）0.5μm 及（c）0.8μm 的劃痕仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of scratches with a wavelength of(a)0.3μm,(b)0.5μm and(c)0.8μm

3 損傷衍射BRDF 模型的應(yīng)用

3.1 研究損傷對系統(tǒng)影響的雜光分析模型

對于成像光學(xué)系統(tǒng)，元件表面的總散射是影響系統(tǒng)雜散抑制的一個(gè)更重要的衡量指標(biāo)。可以使用本文提出的模型對表面損傷進(jìn)行TIS 數(shù)值仿真，并在參考表面的“光滑”部分進(jìn)行類似的仿真，然后將直徑為20 mm 的檢測標(biāo)準(zhǔn)的影響標(biāo)準(zhǔn)化為表面損傷散射影響的下限。

元件表面的BRDF 確定后，可以計(jì)算得到元件表面的角分辨散射（Angle Resolution Scatter,ARS）

全積分散射（Total Integral Scatter,TIS）定義為半球空間內(nèi)的總散射量，能夠表示物體表面的總反射率，當(dāng)入射光垂直入射時(shí)，TIS 定義為表面元件上散射到半球空間的功率Ps與入射功率Pi的比值，即

式中θs為散射角。

表面的粗糙程度取決于兩個(gè)參數(shù) δ和lc，δ越大，lc越小，則表面越粗糙；反之則越光滑。表面粗糙度為δ、相關(guān)長度為lc的 干凈鏡面BRDF 的經(jīng)驗(yàn)公式表示為[10]：

其中k=2π/λ為波矢，β=sin θs，β0=sin θ0。

當(dāng)材料的表面粗糙度 δ已知時(shí)，可以直接使用Harvey-Shack 理論得到表面粗糙度引起的總散射：

3.1.1 光學(xué)零件表面疵病國家標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GBT1885-2006，可用級數(shù)表示疵病的等級。級數(shù)G 是以mm 為單位且表征表面疵病大小的數(shù)值分級，級數(shù)值為疵病面積的平方根，也是該級表面疵病的最大值。

式中A為疵病面積。

表面疵病公差由基本級數(shù)G及其個(gè)數(shù)Nn組成，一般將表面疵病公差表示為Nn×G。在疵病總面積不變的前提下，表面疵病公差的基本級數(shù)可通過換算系數(shù)分解成若干個(gè)較小級數(shù)或折算成不同長寬比的短擦痕。

可以使用本文提出的表面損傷BRDF 模型來仿真分析表面疵病公差下的表面損傷總積分散射，通過模型確定特定應(yīng)用下元件能夠容限的總積分散射值，從而確定應(yīng)用于加工生產(chǎn)中的檢測公差標(biāo)準(zhǔn)。

3.1.2 檢測標(biāo)準(zhǔn)理論依據(jù)

以任意一個(gè)表面疵病基本級數(shù)G=0.10 mm為例，可直接換算成一個(gè)直徑為0.11 mm 的麻點(diǎn)或一條尺寸分別為0.16 mm×0.063 mm、0.25 mm×0.040 mm、0.40 mm×0.025 mm 的擦痕。根據(jù)黃聰在文獻(xiàn)[11]中得到的，同一疵病級數(shù)下的散射特性與疵病類型、數(shù)量幾乎無關(guān)，因此本文在分析中都使用表面疵病級數(shù)中代表的麻點(diǎn)尺寸來進(jìn)行坑點(diǎn)散射模型仿真。

實(shí)際TIS 測量中，均勻光照下的表面散射是基底區(qū)域和較小部分損傷區(qū)域的散射之和，通過實(shí)驗(yàn)測量得到的BRDF 是散射的輻射除以撞擊表面的輻照度[11]。考慮一個(gè)分為兩部分的表面，區(qū)域Adefect（損傷區(qū)域）和A?Adefect（照明區(qū)域減去損傷區(qū)域）的總照明輻照度Ei均勻照射在表面上

其中下標(biāo)表示除劃痕外的底面。從區(qū)域散射的光類似于：

式中i 和o 分別表示光的入射和發(fā)射。

直接測量得到的帶損傷表面的BRDF 是：

仿真使用無劃痕的參考表面粗糙度為δ=0.6 nm，lc=10μm，表面粗糙程度是相對于入射波長的一個(gè)值，根據(jù)參考文獻(xiàn)[12-13]，g=δ/λ，g?1為非常粗糙表面，g≈1為中度粗糙表面，g?1為略粗糙表面。為證明本文提出模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，選擇仿真波段從0.5μm 到0.9μm 的TIS 結(jié)果以證明不同等級表面損傷對不同粗糙度表面的影響。TISrou使用公式(16)計(jì)算，假設(shè)TIS 測量的光源直徑為1 mm，光源立體角?α=2.8，根據(jù)以上公式推導(dǎo)得到帶有不同等級損傷的表面TIS 仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 不同級數(shù)表面損傷的TISFig.3 TIS with different defect grade numbers

根據(jù)圖3（彩圖見期刊電子版）的仿真結(jié)果曲線可知，不同等級表面損傷對不同粗糙表面的影響不同，表面損傷對相對波長更粗糙表面的影響較小，相對波長越光滑，損傷產(chǎn)生的影響越嚴(yán)重，并且損傷等級越大，損傷面積越大，損傷產(chǎn)生的散射越大。可以根據(jù)本文的仿真結(jié)果，或者針對不同使用條件下的元件表面進(jìn)行仿真，設(shè)定表面散射閾值，從而可以確定符合某特定系統(tǒng)要求的表面損傷檢測標(biāo)準(zhǔn)。

3.2 檢測方法理論依據(jù)

現(xiàn)有的檢測方法也不能適用于不同的檢測標(biāo)準(zhǔn)，存在儀器指標(biāo)開發(fā)過?；虿蛔愕膯栴}，無法實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程中的自動(dòng)化檢測。針對不同的材料，以及不同的表面損傷檢測標(biāo)準(zhǔn)來制定相應(yīng)的檢測方法能夠解決以上問題。檢測方法的提出是為了區(qū)分基底背景下的表面損傷，因此本文使用公式(15)仿真基底材料散射（在圖中用BRDF_B表示），結(jié)合式(10)和式(15)使用公式(21)對比分析了表面損傷材料的散射。在光源立體角?α=2.8、入射角為45°、波長為0.65μm 條件下，仿真了長×深為20μm×0.3μm，寬度分別為1 0μm 和1 00μm 的劃痕在粗糙材料表面（δ=0.6 nm，lc=1μm）和光滑材料表面（δ=0.6 nm，lc=10μm）的理論BRDF測量結(jié)果，在圖中用BRDF_10和B RDF_100表示。

對圖4（彩圖見期刊電子版）進(jìn)行分析，對比不同寬度劃痕對散射造成的影響，損傷尺寸越大，對散射的影響越大，但是在粗糙表面，劃痕主要影響散射的主峰，光滑材料表面，劃痕主要影響散射的旁瓣。因此對于光滑材料樣品，最好采用間接成像原理，如暗場顯微成像法。樣品表面粗糙度較小時(shí)，直接成像時(shí)基底背景引起的強(qiáng)鏡面反射會(huì)嚴(yán)重干擾表面的識(shí)別，使用暗場成像方法能夠通過獲得表面損傷的小衍射副瓣識(shí)別目標(biāo)。對于粗糙材料樣品，最好采用直接成像原理，直接接收表面損傷的最大衍射強(qiáng)度，濾除基體表面的漫射光。

圖4 粗糙材料表面（a）和光滑材料表面（b）劃痕的BRDF影響Fig.4 BRDF effect of a scratch on a rough material surface(a)and a smooth material surface(b)

本文提出的表面損傷衍射BRDF 模型可以為制定不同標(biāo)準(zhǔn)表面損傷的檢測方案提供理論依據(jù)。為了獲得更好的觀測數(shù)據(jù)，在間接成像方法中可以選擇較大的波長進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以使衍射更強(qiáng)，衍射旁瓣更容易探測；在直接成像方法中可以選擇較小的波長進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以使衍射現(xiàn)象弱化，避免衍射旁瓣產(chǎn)生的成像干擾；也可以根據(jù)入射光源的價(jià)格、穩(wěn)定性和最佳視角等因素結(jié)合BRDF 模型進(jìn)行合理的分析選擇。在進(jìn)一步的工作中，將使用文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)的BRDF 測試儀進(jìn)行模型的驗(yàn)證。

3.3 圖像渲染技術(shù)理論依據(jù)

金屬、玻璃和塑料物體的表面通常以制造或磨損引起的微觀劃痕為主。仔細(xì)觀察這些劃痕，會(huì)發(fā)現(xiàn)彩虹色，這與觀看和照明條件有著復(fù)雜的關(guān)系。這一現(xiàn)象是由于入射光在光波長量級上受到表面特征的影響而引起的。例如光盤和類似材料的彩虹狀外觀這一類的圖像渲染問題，一般用高度復(fù)雜的光波傳輸模擬來解釋空間分辨劃痕的外觀。本文提出了一個(gè)基于非傍軸標(biāo)量衍射理論的波光學(xué)BRDF 模型，這種模型可以用來呈現(xiàn)這類效應(yīng)。本文的模型可以對表面某個(gè)點(diǎn)進(jìn)行單色BRDF 模型分析，可以分析計(jì)算產(chǎn)生劃痕段的各個(gè)差異模式，并進(jìn)行相干疊加。這一方法提供了從局部閃爍的彩虹色到幾何平滑的BRDF 的自然過渡。這一模型的建立和分析方法能夠重現(xiàn)真實(shí)世界中觀察到的整體外觀和特征細(xì)節(jié)效果。

4 結(jié)論

本文使用了一個(gè)高斯空間核函數(shù)濾波的方法定義了非相干光的衍射BRDF 模型，并將其運(yùn)用到了表面損傷BRDF 建模分析上。本文提出的模型能夠很好地模擬表面劃痕和坑點(diǎn)損傷的散射特性。在模型的基礎(chǔ)上，本文分析了模型的相關(guān)應(yīng)用，模型能夠?yàn)樘岢霰砻鎿p傷方法提供理論依據(jù)。同時(shí)本文證明了該模型能夠很好地分析損傷對系統(tǒng)的雜光影響，并為制定檢測表面損傷標(biāo)準(zhǔn)提供理論依據(jù)。由于本模型能夠仿真更加接近實(shí)際情況的空間、角度和光譜變化，表現(xiàn)出多尺度行為，并且該模型能夠再現(xiàn)劃痕散射的整體外觀以及在實(shí)際測量中觀察到的散射特征細(xì)節(jié)效果，在未來的應(yīng)用中可以為圖像渲染中更好的模擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境提供仿真和分析的方法。