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    理論模型分析卡爾曼濾波在航空全張量磁力梯度測(cè)量中的應(yīng)用效果

    2021-04-17 05:46:50孟慶奎周堅(jiān)鑫舒晴高維徐光晶王晨陽
    物探與化探 2021年2期
    關(guān)鍵詞:球體磁力張量

    孟慶奎,周堅(jiān)鑫,舒晴,高維,徐光晶,王晨陽

    (1.自然資源部 航空地球物理與遙感地質(zhì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083; 2.中國自然資源航空物探遙感中心,北京 100083)

    0 引言

    實(shí)驗(yàn)室條件下,基于超導(dǎo)量子干涉器(superconducting quantum interference device,SQUID)的全張量磁力梯度測(cè)量系統(tǒng)的靈敏度可以達(dá)到幾個(gè)fT的量級(jí),能實(shí)現(xiàn)對(duì)微弱磁性目標(biāo)體的定位與識(shí)別[1-2],為目標(biāo)探測(cè)提供有效手段。21世紀(jì)以來,航空全張量磁力梯度測(cè)量系統(tǒng)研發(fā)及配套數(shù)據(jù)處理解釋理論是國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者研究的熱點(diǎn),德國、美國、澳大利亞等發(fā)達(dá)國家對(duì)全張量磁力梯度測(cè)量技術(shù)開展了大量探索研發(fā)工作。目前,國際上僅德國光學(xué)分子研究中心擁有實(shí)用化水平的航空全張量磁力梯度測(cè)量系統(tǒng)[3],且該技術(shù)屬于西方國家限制出口的尖端技術(shù),公開的文獻(xiàn)資料也非常有限。面對(duì)技術(shù)封鎖,我國自力更生,在“國家重大科研裝備研制項(xiàng)目”和“國家863計(jì)劃”支持下,中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所及吉林大學(xué)研發(fā)團(tuán)隊(duì)分別研制出基于低溫和高溫SQUID的航空全張量磁力梯度測(cè)量系統(tǒng),研發(fā)團(tuán)隊(duì)攻克了串?dāng)_、平臺(tái)震動(dòng)監(jiān)測(cè)、磁張量補(bǔ)償?shù)榷囗?xiàng)技術(shù)難關(guān)[4-9],取得了長(zhǎng)足進(jìn)步,但離實(shí)用化還存在一定的差距。我國學(xué)者在全張量磁力梯度數(shù)據(jù)處理[10-11]、正反演[12-15]、綜合應(yīng)用[16-19]等方面也取得了系列成果。

    航空全張量磁力梯度測(cè)量數(shù)據(jù)中包含非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)噪聲,在頻譜圖中從低頻至高頻均有分布,并以白噪聲為主,如何有效壓制運(yùn)動(dòng)噪聲是一個(gè)較大的挑戰(zhàn)[3]。Stolz R總結(jié)了運(yùn)動(dòng)噪聲來源,包括儀器本身幾何位置變化、外部環(huán)境噪聲、飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲以及儀器本證噪聲[3],航磁軟補(bǔ)償技術(shù)可以去除運(yùn)動(dòng)載體在地磁場(chǎng)中產(chǎn)生的恒定磁場(chǎng)、感應(yīng)磁場(chǎng)和渦流磁場(chǎng)等干擾場(chǎng)[20],對(duì)于白噪聲卻是無能為力。傳統(tǒng)的數(shù)字濾波只能濾除指定頻段的噪聲,對(duì)于混疊在全張量磁力梯度有用信號(hào)中的噪聲不能有效分離??柭鼮V波技術(shù)在航空重力測(cè)量中得到了應(yīng)用,實(shí)踐表明,該方法可以有效提取淹沒在載體高頻振動(dòng)噪聲中的有用信號(hào)[21-23],將其推廣應(yīng)用到航空全張量磁力梯度數(shù)據(jù)處理中十分必要。張興東將卡爾曼濾波應(yīng)用到全張量磁力梯度數(shù)據(jù)處理中[9],但是沒有明確狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的搭建方式,而不合理的狀態(tài)方程會(huì)直接影響到卡爾曼濾波效果。筆者借鑒時(shí)間序列分析思想,基于最小差分方差建立狀態(tài)方程,并將卡爾曼濾波與數(shù)字濾波相結(jié)合,通過模型計(jì)算驗(yàn)證了方法的有效性,全區(qū)噪聲衰減因子優(yōu)于0.92,即能夠去除92%以上噪聲成分,全區(qū)均方誤差優(yōu)于10 pT/m,滿足航空全張量磁力梯度測(cè)量精度要求??柭鼮V波是一種快速、高效的遞推算法,利用實(shí)時(shí)測(cè)量信息對(duì)估計(jì)值進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),可直接應(yīng)用于航空全張量磁力梯度測(cè)量實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理。

    1 卡爾曼濾波方程建立

    1.1 卡爾曼濾波基本理論

    濾波估計(jì)經(jīng)歷了最小二乘、溫納濾波和卡爾曼濾波的發(fā)展而不斷完善。1960年,卡爾曼提出離散系統(tǒng)卡爾曼濾波,次年與布西合作,將這種濾波方法推廣到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中,從而形成了卡爾曼濾波設(shè)計(jì)理論[24]??柭鼮V波是一種時(shí)間域?yàn)V波方法,采用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng),算法采用遞推形式,數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小,不僅可以處理平穩(wěn)隨機(jī)過程,也可以處理多維和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。

    卡爾曼濾波采用如下空間模型描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng):

    X(k)=ΦX(k-1)+ΓW(k-1),

    (1)

    Y(k)=HX(k)+V(k),

    (2)

    式中:k為離散時(shí)間,系統(tǒng)在時(shí)刻k的狀態(tài)為X(k);Y(k)為對(duì)應(yīng)狀態(tài)的觀測(cè)信號(hào);W(k)為輸入的白噪聲;V(k)為觀測(cè)噪聲;Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Γ為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣;H為觀測(cè)矩陣。式(1)為狀態(tài)方程,式(2)為觀測(cè)方程。

    (3)

    P(k,k-1)=ΦP(k-1)ΦT+ΓQΓT,

    (4)

    K(k)=P(k,k-1)HT[HP(k,k-1)HT+R]-1,

    (5)

    (6)

    P(k)=[I-K(k)H]P(k,k-1),

    (7)

    1.2 全張量磁力梯度數(shù)據(jù)卡爾曼濾波方程建立

    全張量磁力梯度儀在每個(gè)采樣點(diǎn)測(cè)量6個(gè)梯度值,定義卡爾曼濾波器的狀態(tài)序列為:

    X=(Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz,Bzz)T,

    (8)

    各個(gè)測(cè)量時(shí)刻的測(cè)量序列為:

    Z=(Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz,Bzz)T,

    (9)

    因?yàn)闇y(cè)量序列與狀態(tài)序列變量相同,所以可以容易的定義觀測(cè)矩陣為:

    H=diag(1,1,1,1,1,1),

    (10)

    式中:diag表示對(duì)角矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ的定義是一個(gè)難點(diǎn),因全張量磁力梯度儀測(cè)量的數(shù)據(jù)是隨時(shí)間變化的變量,故可借鑒時(shí)間序列分析思想,計(jì)算包含白噪聲的梯度測(cè)量值的各階次差分方差,方差最小的階次差分的殘差可視為白噪聲,根據(jù)該階次差分方程可構(gòu)建狀態(tài)方程。經(jīng)大量模型計(jì)算,一階差分方差最小,故可定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

    Φ=diag(1,1,1,1,1,1)。

    (11)

    本文中卡爾曼濾波進(jìn)行迭代的本質(zhì)是利用兩個(gè)正態(tài)分布的融合仍是正態(tài)分布的特性而進(jìn)行的,所指的兩個(gè)正態(tài)分布分別為系統(tǒng)輸入噪聲和測(cè)量噪聲的正態(tài)分布,系統(tǒng)輸入噪聲是指我們建立的系統(tǒng)狀態(tài)方程本身存在的系統(tǒng)誤差,測(cè)量噪聲是指測(cè)量?jī)x器精度、外界溫度變化等因素產(chǎn)生的測(cè)量誤差。融合后的正態(tài)分布所選擇的權(quán)值是指卡爾曼增益矩陣,其計(jì)算公式可參見式(5)。

    2 模型算例分析

    2.1 球體模型正演

    自然界中存在諸多尺度有限的磁性地質(zhì)體,當(dāng)其中心埋深遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其直徑時(shí),地質(zhì)體所引起的磁異常特征與球體磁場(chǎng)特征基本吻合,所以研究球體的磁場(chǎng)特征具有一定的實(shí)際意義。根據(jù)重磁位泊松公式,由引力位計(jì)算磁場(chǎng)三分量,進(jìn)而對(duì)磁場(chǎng)三分量在3個(gè)不同方向(X、Y、Z)求導(dǎo)便可得到球體的全張量梯度。

    模型參數(shù):測(cè)區(qū)范圍2 000 m×2 000 m,測(cè)量間距5 m,球心位置(1 000 m,1 000 m,550 m),球體半徑500 m,總磁化強(qiáng)度傾角65°,偏角11°,總磁化強(qiáng)度0.5 A/m。正演模擬結(jié)果見圖1所示。

    2.2 卡爾曼濾波效果

    在上述正演結(jié)果中加入高斯白噪聲V(k),視為觀測(cè)噪聲,V(k)均值為零,標(biāo)準(zhǔn)差為0.032 nT/m。加入噪聲的球體模型全張量磁力梯度視為測(cè)量值,如圖2所示,可見測(cè)量結(jié)果全區(qū)域都受到高斯白噪聲影響,且較嚴(yán)重。遵循以上卡爾曼濾波狀態(tài)方程和測(cè)量方程,建立遞推公式,對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行卡爾曼濾波。在具體操作中,為模擬航空全張量磁力梯度實(shí)時(shí)測(cè)量與實(shí)時(shí)處理,從第1條測(cè)線(即剖面Y=0)的第1個(gè)測(cè)點(diǎn)開始,隨著數(shù)據(jù)的采集,時(shí)間的推移,逐點(diǎn)進(jìn)行卡爾曼濾波處理,直到全部數(shù)據(jù)采集完畢,同時(shí)完成濾波處理,體現(xiàn)了濾波技術(shù)的實(shí)時(shí)性。在不改變異常形態(tài)的前提下,為得到更加光滑的濾波效果,卡爾曼濾波后進(jìn)行小尺度中值濾波,最終的濾波結(jié)果見圖3~6所示。

    為了定量評(píng)價(jià)本文所提出方法的濾波效果,進(jìn)一步評(píng)價(jià)卡爾曼濾波的降噪性能,引入Pajot等[25]定義的噪聲衰減因子β來估計(jì)噪聲衰減量:

    β=[var(Bzs-B)-var(Bkf-B)]/var(Bzs-B),

    (12)

    式中:Bzs表示含噪聲測(cè)量值,B表示理論值,Bkf表示卡爾曼濾波后的值。計(jì)算6個(gè)梯度張量的全區(qū)噪聲衰減因子,計(jì)算結(jié)果見圖6a所示,可見β值優(yōu)于0.92,即能夠去除92%以上噪聲成分。同時(shí),計(jì)算6個(gè)梯度張量的全區(qū)均方誤差,結(jié)果見圖6b所示,均優(yōu)于10 pT/m。另外,計(jì)算了典型剖面(Y=500 m)上6個(gè)梯度張量的噪聲衰減因子(0.921 2~0.966 8)和均方誤差(6.2~8.5 pT/m),具體結(jié)果見表1所示。以上定量評(píng)價(jià)結(jié)果表明,本文所提方法的濾波效果能夠滿足當(dāng)前航空全張量磁力梯度測(cè)量精度要求。

    圖1 球體模型全張量磁力梯度Fig.1 Full tensor magnetic gradient of sphere model

    圖2 加噪球體模型全張量磁力梯度Fig.2 Full tensor magnetic gradient of noisy sphere model

    圖3 濾波后全張量磁力梯度立體圖Fig.3 Filtered full tensor magnetic gradient of sphere model

    圖4 Bxx、Byy和Bzz濾波前后對(duì)比(剖面Y=500 m)Fig.4 Comparison of Bxx ,Byyand Bzz with before and after filtering(profile Y=500 m)

    表1 典型剖面(Y=500 m)卡爾曼濾波效果定量統(tǒng)計(jì)

    圖5 Bxy和Bxz和Byz濾波前后對(duì)比(剖面Y=500 m)Fig.5 Comparison of Bxy ,Bxz and Byzwith before and after filtering (profile Y=500 m)

    圖6 全區(qū)噪聲衰減因子及全區(qū)均方誤差Fig.6 Full area noise-reduction factor and mean square error

    3 結(jié)論

    1) 本文通過理論模型驗(yàn)證了卡爾曼濾波方法在航空全張量梯度測(cè)量數(shù)據(jù)中的有效性,結(jié)果顯示全區(qū)噪聲衰減因子優(yōu)于0.92,全區(qū)均方誤差優(yōu)于10 pT/m。

    2) 由于因卡爾曼濾波對(duì)數(shù)據(jù)的使用率低及噪聲隨機(jī)特征影響,單純應(yīng)用卡爾曼濾波不能得到平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果,需要串聯(lián)其他適合的平滑濾波方法,達(dá)到更好的濾波效果。

    3) 卡爾曼濾波可以利用實(shí)時(shí)測(cè)量信息對(duì)估計(jì)值進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),具備快速、高效的遞推特性,建議應(yīng)用于航空全張量磁力梯度實(shí)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)處理,也可為其他航空地球物理實(shí)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)處理提供參考。

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