混合系數(shù)線(xiàn)性模型參數(shù)的廣義Liu估計(jì)

蔡擇林,陳金陽(yáng),江秉華

(1.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石435002;2.重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶404130)

1.引言

考慮如下混合系數(shù)線(xiàn)性模型

其中x(t)=(x1(t),x2(t),...,xp(t))T,y(t)=(y1(t),y2(t),...,yq(t))T是t的已知向量函數(shù),a是p×1的固定系數(shù)向量,β是q×1的隨機(jī)系數(shù)向量,且β ～(b,Σ).

現(xiàn)對(duì)m個(gè)樣品,分別在tij(ti1p+q)時(shí)測(cè)得以下數(shù)據(jù),

這里的βi和εij分別是每個(gè)樣品的隨機(jī)系數(shù)和每次測(cè)量的誤差,βi與εij獨(dú)立,且

若記zi=(zi1,zi2,··· ,zini)T,εi=(εi1,εi2,··· ,εini)T,

則可得

設(shè)Ci=(Xi,Yi),d=(aT,bT)T,ei=Yi(βi ?b)+εi,則式(1.3)變?yōu)?/p>

進(jìn)一步,記z= (zT1,zT2,··· ,zTm)T,e= (eT1,eT2,··· ,eTm)T,C= (CT1,CT2,··· ,CTm)T,D=diag(D1,D2,··· ,Dm),其中Di=YiΣYTi+σ2Ini.則可將式(1.4)寫(xiě)成

這里還要求rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,

混合系數(shù)線(xiàn)性模型在經(jīng)濟(jì)分析、可靠性退化分析以及生物學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,許多學(xué)者研究了該模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題[3?10].基于模型(1.5),莊東辰等給出了d的LS估計(jì)[3],LS估計(jì)雖然無(wú)偏,但當(dāng)系數(shù)陣接近病態(tài)時(shí),LS估計(jì)的均方誤差過(guò)大,穩(wěn)定性不好.針對(duì)此情況,郭金亞等提出了一種有偏估計(jì),即Liu估計(jì)[4].本文改進(jìn)Liu估計(jì)后給出了廣義Liu估計(jì),并證明了在均方誤差意義下,此類(lèi)估計(jì)分別優(yōu)于最小二乘估計(jì)、Liu估計(jì),最后討論了參數(shù)的選取問(wèn)題.

本文符號(hào)說(shuō)明:對(duì)于矩陣A和B,A ≥0表示A為半正定矩陣;A >0表示A為正定矩陣;A ≥B表示A ≥0,B ≥0且A ?B ≥0;A>B表示A ≥0,B ≥0且A ?B >0.

2.廣義Liu估計(jì)

模型(1.5)的典則形式為

其中L=CQ,r=QTd,QTCTCQ=Λ=diag(λ1,λ2,...,λg).

莊東辰等給出了d的LS估計(jì):=(CTC)?1CTZ,其典則形式為=Λ?1LTZ.

郭金亞等給出了d的Liu估計(jì):

本文將Liu估計(jì)(2.1)做如下拓廣,稱(chēng)

為d的廣義Liu估計(jì).其典則形式為= (Λ+I)?1(Λ+W),其中W為對(duì)角矩陣且滿(mǎn)足0≤W= diag(w1,w2...,wg)≤I.顯然,當(dāng)W=wI,0≤w ≤1時(shí)即為普通Liu估計(jì)(2.1).特別地,當(dāng)W=I時(shí)即為L(zhǎng)S估計(jì).

3.廣義Liu估計(jì)的性質(zhì)

定理3.1估計(jì)的期望向量和協(xié)方差矩陣分別為

定理3.2估計(jì)是有偏、壓縮估計(jì)，即等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)W=I.

證因?yàn)楣视?

定理3.3存在0≤W?

證顯然,

其中M= diag(M1,M2,...,Mm)= diag(Y1ΣYT1,Y2ΣYT2,...,YmΣYTm),lj= (LTML)jj ≥0,

對(duì)二次函數(shù)fj(wj)=(1+kjλj)w2j+2(1?kj)λjwj+λ2j+kjλj,容易解得wj的最優(yōu)值為

顯然0≤W?=diag(w?1,w?2,...,w?g)

于是定理得證.

定理3.4設(shè)Liu估計(jì)的均方誤差

當(dāng)w=w0時(shí)達(dá)到最小,則存在0≤W?

證如下選取參數(shù)w?j

顯然0≤W?= diag(w?1,w?2,...,w?g)

從而

所以定理得證.

4.參數(shù)的選取

此處介紹極小化均方誤差的無(wú)偏估計(jì)法,由

可得

可構(gòu)造均方誤差

的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)如下：

5.模擬算例

模擬中,取p=q= 1,m= 1,n1= 2.假設(shè)時(shí)刻tij服從[0,1]上的均勻分布,由MATLAB生成隨機(jī)數(shù)t11= 0.8147,t12= 0.2785.取(1,2)T,β1～N(2,1),ε1～N(0,I2).

當(dāng)W=I時(shí),=67.6274,當(dāng)W=diag(0.1,0.2)時(shí),比較知:即廣義Liu估計(jì)優(yōu)于LS估計(jì).

當(dāng)0≤w ≤1時(shí),通過(guò)對(duì)w的取值得到下表:

w 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 MSE(dw)30.0399 34.4668 39.2080 44.2634 49.6331 55.3170