有限域2n上一類(lèi)二項(xiàng)式的密碼學(xué)性質(zhì)

王一博，夏永波

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

1 基礎(chǔ)知識(shí)

實(shí)際應(yīng)用中，若Δf越小，函數(shù)的抗差分攻擊能力就越強(qiáng).注意到，若x是方程f(x+a)+f(x)=b的一個(gè)解，顯然有x+a也是方程的解，從而該方程的解成對(duì)出現(xiàn).于是f(x)可能取到最小的差分一致性為2.當(dāng)Δf=2時(shí)，稱(chēng)f(x)為幾乎完全非線性函數(shù)(almost perfect nonlinear function)，簡(jiǎn)稱(chēng)為APN函數(shù)[6].

Ωf={ω0,ω1,…，ωk},

另外，在文[8]中有如下等式成立：

(1)

n-j.

注意到：

上式表明Qλ(x)的秩總是一個(gè)偶數(shù)2h，滿足2≤2h≤n.

下面的引理給出一類(lèi)特殊二次型的秩的取值范圍.

為了方便后續(xù)結(jié)論的證明，給出如下定理.

上述兩個(gè)函數(shù)有以下性質(zhì)：

利用上述記號(hào)，下面的引理給出Ni與nj的關(guān)系,為后續(xù)的計(jì)算提供已知條件.

特別地，當(dāng)n為奇數(shù)且L(F)=2(n+3)/2時(shí)，有n1≠0，同時(shí)有N2=3n3成立.

1+A1z+A2z2+…+Anzn,

并稱(chēng)序列(1,A1,A2,…,An)為碼C的重量分布.

2 主要結(jié)果及證明

F(x)=x22t+1+x2t+1,

(2)

由以上引理，可得出F(x)的差分一致性和非線性度.

定理2令F(x)為式(2)中定義的函數(shù)，則F(x)是四差分一致的函數(shù)，其差分譜如下：

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ΩF={ω0=5·22n-3-3·2n-2,ω2=22n-2,ω4=22n-3-2n-2}；

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，ΩF={ω0=5·22n-3-2n,

ω2=22n-2+2n-1,ω4=22n-3-2n-1}.

F(x+a)+F(x)+b=ax22t+ax2t+(a22t+a2t)x+F(a)+b,由于a≠0，因而F(x+a)+F(x)+b=0等價(jià)于x22t+x2t+cx+d=0,其中：

注意到c=0當(dāng)且僅當(dāng)a=1.下面先考慮如下線性化多項(xiàng)式：

x22t+x2t+cx=0.

(3)

x22t-1+x2t-1+c=0,

(4)

由于c的特殊性，x=a必然是方程(4)的解.令y=x2t-1，則上式等價(jià)轉(zhuǎn)化為：

y2t+1+y+c=0.

(5)

表1 F(x)的Walsh譜

證明當(dāng)a=0時(shí)，容易得出：

WF(a,b)=

由引理3知，2n-2-|M2|=3n3，再結(jié)合n1+n3=

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，存在3個(gè)變量n0,n2,n4，然而目前只得到兩個(gè)相關(guān)條件：

(1)n0+n2+n4=2n-1;

ΩF={ω0=616,ω2=256,ω4=120},

其Walsh變換的分布為：

非線性度NL(F)=8，以上數(shù)值結(jié)果分別與定理2和定理3的結(jié)論一致.

ΩF={ω0=2496,ω2=1056,ω4=480},

其Walsh變換的分布為：

非線性度NL(F)≥16，以上數(shù)值結(jié)果分別與定理2和定理3的結(jié)論一致.

注1 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，目前無(wú)法得出Walsh譜.倘若利用F(x)去構(gòu)造線性碼，碼的參數(shù)未知.因而下面的應(yīng)用主要是基于n為奇數(shù)的前提條件.

3 實(shí)際應(yīng)用

當(dāng)密碼函數(shù)具有較好的密碼學(xué)性質(zhì)時(shí)，常可以用來(lái)構(gòu)造性能優(yōu)異的編碼.下面利用F(x)，構(gòu)造出如下兩種不同的二元線性碼.

定理4令F(x)為式(2)中定義的函數(shù).設(shè)n為奇數(shù)，定義二元線性碼

A2n-1=3·2n-2+9·22n-3-2,

A2n=1,

對(duì)其他的i，有Ai=0.

定理5令F(x)為式(2)中定義的函數(shù).設(shè)n為奇數(shù)，定義二元線性碼

A2n-1=3·2n-3+9·22n-4-1,

對(duì)其他的i，有Ai=0.

例3 令n=5,t=3，則式(2)中的函數(shù)F(x)=x65+x9.定義二元線性碼

則C1(F)的參數(shù)[32,11,8].進(jìn)一步地，利用Magma軟件，可得C1(F)的重量分布如下：

A24=A8=20,A20=A12=416,A16=1174,A32=1,

對(duì)其他的i，有Ai=0.以上數(shù)值結(jié)果與定理4的結(jié)論一致.

例4 令n=7,t=5，則式(2)中的函數(shù)F(x)=x1025+x33.定義二元線性碼

則C2(F)的參數(shù)為[127,14,48].利用Magma軟件，可得C2(F)的重量分布如下：

A48=210,A56=3816,A64=9263,

A72=2968,A80=126,

對(duì)其他的i，有Ai=0.以上數(shù)值結(jié)果與定理5的結(jié)論相符.

4 結(jié)語(yǔ)