基于橢圓擬合的隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)去噪方法

李先帥，武斌

基于橢圓擬合的隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)去噪方法

李先帥，武斌

(天津城建大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津 300384)

針對地鐵隧道這一狹長密閉環(huán)境，激光雷達(dá)相較于傳統(tǒng)隧道形變檢測方法具有顯著優(yōu)勢。由于受環(huán)境以及隧道中安裝的大量設(shè)備的影響，數(shù)據(jù)中會包含大量噪聲點(diǎn)，無法得到隧道完整內(nèi)表壁數(shù)據(jù)，從而影響到數(shù)據(jù)在形變檢測及三維建模等方面的應(yīng)用。結(jié)合最小二乘法和拉格朗日乘數(shù)法對隧道點(diǎn)云模型進(jìn)行橢圓擬合，并將其應(yīng)用于圓形隧道點(diǎn)云濾波，利用各區(qū)域數(shù)據(jù)對隧道形變進(jìn)行檢測。對濾波結(jié)果的精度評定及其有效性分析表明，此算法針對隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)的濾波具有良好效果及穩(wěn)定性。

橢圓擬合；最小二乘法；拉格朗日乘數(shù)法；點(diǎn)云濾波；形變檢測

隨著城市交通的發(fā)展，交通的安全問題成為人們?nèi)找骊P(guān)注的焦點(diǎn)問題。地鐵作為城市交通的重要組成部分，對其日常的安全檢測不容忽視。地鐵隧道因受到地質(zhì)運(yùn)動以及人為活動的影響，會發(fā)生一定程度的形變，當(dāng)形變超過一定限度便會造成巨大的安全事故，相較于傳統(tǒng)的全站儀對隧道形變的檢測方式，激光雷達(dá)[1?2]因具有精度高、速度快、操作簡單等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于精密工程測量領(lǐng)域。然而由于隧道內(nèi)部環(huán)境復(fù)雜，有大量支架，電纜，供配電裝備、信號設(shè)備、照明設(shè)備等，以及隧道管片的安裝偏差，導(dǎo)致激光雷達(dá)檢測得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)中包含大量非隧道壁點(diǎn)(噪聲點(diǎn))，對后期形變分析、隧道建模等造成干擾。一些常用的濾波算法無法滿足精度要求，因此如何在保留隧道內(nèi)壁點(diǎn)云數(shù)據(jù)的同時最大限度地剔除噪聲點(diǎn)成為了急需解決的關(guān)鍵問題。DU等[3]提出一種利用高密度點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行隧道變形監(jiān)測方法，通過K-Nearest算法計(jì)算每個橫截面的緩沖區(qū)，并通過投影方法快速構(gòu)造初始橫截面點(diǎn)集的方式將截面去噪。KANG等[4]通過RANSAC算法和曲線擬合確定地鐵隧道的中心軸, 然后使用RANSAC優(yōu)化提取的垂直截面，以濾除噪聲。XU等[5]基于隧道結(jié)構(gòu)的對稱性和圓形形狀，在消除大部分噪聲同時避免許多低效的迭代，提高了檢測效率。程效軍等[6]介紹了基于中軸線擬合的方式，通過雙向投影提取隧道點(diǎn)云中軸線并設(shè)定距離閾值進(jìn)行濾波。Delaloye等[7]通過分析LiDAR掃描相關(guān)的精度問題，完成了收斂測量技術(shù)的靈敏度測試，證明了橢圓擬合的方法在隧道形變檢測中的有效性。Walton等[8]通過優(yōu)化橢圓擬合算法，提高了橢圓擬合算法對于形變檢測的能力，并將其應(yīng)用于圓形隧道及豎井的形變檢測中。ZHU等[9?11]都采用了橢圓擬合的方式進(jìn)行點(diǎn)云數(shù)據(jù)濾波，分別基于最小二乘法的不同優(yōu)化進(jìn)行橢圓擬合，通過計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，剔除掉誤差較大的點(diǎn)，取得了較好的濾波效果。張立朔等[12]提出一種以殘差１范最小為平差準(zhǔn)則的橢圓擬合方法方式，通過分析圓心角，將隧道曲線分割為5段圓弧進(jìn)行分段去噪。本文通過移動LiDAR采集點(diǎn)云數(shù)據(jù)，針對橢圓隧道模型點(diǎn)云分布特點(diǎn)，提出一種結(jié)合最小二乘法和拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行橢圓擬合的隧道點(diǎn)云去噪方法，本算法通過提高曲線擬合精度從而在保證點(diǎn)云數(shù)據(jù)完整的基礎(chǔ)上提高去噪精度，經(jīng)過濾波結(jié)果分析，證明本文算法具有較好的有效性和魯棒性，得到的完整的隧道內(nèi)壁點(diǎn)云濾波結(jié)果可為形變分析、斷面擬合等提供高質(zhì)量的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。

1 隧道點(diǎn)云去噪方法

通過激光雷達(dá)獲取隧道三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，首先提取隧道中軸線，然后沿中軸線方向等間距劃分提取隧道截面，將點(diǎn)云坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到載體坐標(biāo)系中，最后利用本文算法對各區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，去除非隧道內(nèi)壁噪聲點(diǎn)，從而得到完整隧道內(nèi)壁數(shù)據(jù)。

1.1 隧道中軸線提取及點(diǎn)云斷面提取

由于提取到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)量較大，進(jìn)行直接擬合影響計(jì)算效率，所以濾波前必須進(jìn)行區(qū)域劃分，其中中軸線的走向準(zhǔn)確的反應(yīng)了隧道的姿態(tài)，所以首先依據(jù)中軸線進(jìn)行區(qū)域劃分。綜合考慮隧道點(diǎn)云特點(diǎn)，本文采用雙向投影法提取隧道中軸線，對數(shù)據(jù)分別投影至(水平)面和(豎直)面，其中軸方向?yàn)樗淼雷呦?，軸方向?yàn)樨Q直向上，，和構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖1所示。

沿中軸線方向進(jìn)行點(diǎn)云斷面提取，計(jì)算中軸線上任意一點(diǎn)的法平面，其中，Pn和Pn+1為中軸線上2點(diǎn)，其間隔為d，過兩點(diǎn)的法平面ln，ln+1可實(shí)現(xiàn)對區(qū)域點(diǎn)云的分割，同理可實(shí)現(xiàn)對整體隧道橢圓柱面的點(diǎn)云劃分，如圖2所示。

1.2 載體坐標(biāo)系坐標(biāo)獲取

由于隧道走向并非直線，導(dǎo)致點(diǎn)云分割后的斷面隨隧道走向確定方向，無法直接應(yīng)用于連續(xù)斷面點(diǎn)云濾波，需經(jīng)過載體坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，本文以斷面切片中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)重新構(gòu)建坐標(biāo)系，平臺前進(jìn)方向?yàn)樽鴺?biāo)系軸，軸豎直向上，，和構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖3所示，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后隧道點(diǎn)云坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的坐標(biāo)，用于之后點(diǎn)云數(shù)據(jù)濾波。

圖3 載體坐標(biāo)系定義

1.3 橢圓隧道柱面模型點(diǎn)云濾波

經(jīng)過橢圓隧道模型中軸線提取、點(diǎn)云斷面提取及坐標(biāo)重建后的點(diǎn)云切片數(shù)據(jù)為橢圓柱面分布且與軸平行的離散點(diǎn)集，坐標(biāo)和構(gòu)成二維橢圓平面上的點(diǎn)，其中含有大量噪聲點(diǎn)，需使用點(diǎn)云濾波算法對噪聲點(diǎn)進(jìn)行濾除，從而得到隧道內(nèi)壁完整數(shù)據(jù)。

目前在橢圓擬合中應(yīng)用最廣泛的最小二乘 法[13]，通過計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)到橢圓曲線的距離，并最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，以下是以代數(shù)距離作為距離度量的最小二乘法橢圓擬合方法。

空間中，橢圓的一般方程為：

若要橢圓函數(shù)滿足當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)需要滿足目標(biāo)函數(shù)：

其中，為當(dāng)前界面數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)，取函數(shù)極值，令：

由此可得線性方程組：=，通過求解此方程組可得橢圓方程參數(shù)，設(shè)定擬合誤差閾值，并淘汰數(shù)據(jù)點(diǎn)中距離大于閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，經(jīng)過多次迭代，當(dāng)方程參數(shù)不再變化，則認(rèn)為完成對點(diǎn)云數(shù)據(jù)的濾波。

在最小二乘法擬合橢圓濾波的實(shí)驗(yàn)過程中，數(shù)據(jù)表明濾波結(jié)果會有誤差，誤差主要來源于2方面，一方面來自橢圓曲線擬合過程中產(chǎn)生的誤差，此誤差相對于點(diǎn)云較復(fù)雜以及非完整截面較為明顯；另一方面來自噪聲剔除過程中標(biāo)準(zhǔn)差閾值選擇時的誤差。本文算法針對第一種情況進(jìn)行改進(jìn)，由于橢圓曲線屬于圓錐曲線，而圓錐曲線根據(jù)判別式的不同，還包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。從而導(dǎo)致迭代過程中由于數(shù)據(jù)點(diǎn)復(fù)雜程度不同，單純的求取距離平方和的最小值，并不能保證每一次都能擬合出橢圓函數(shù)曲線，當(dāng)?shù)^程中出現(xiàn)一次非橢圓曲線擬合時，會導(dǎo)致計(jì)算的擬合誤差均值并不準(zhǔn)確，以至于出現(xiàn)噪聲點(diǎn)無法濾除，而非噪聲點(diǎn)被濾除的情況，影響算法的穩(wěn)定性及濾波精度。針對此問題，本文通過添加約束條件：

確保迭代過程中的每一次擬合都為橢圓曲線，由于添加了約束條件，所以在計(jì)算目標(biāo)函數(shù)(3)時，通過引入拉格朗日乘數(shù)法[14]對其進(jìn)行求解，獲得等式組，然后求解等式組得到最優(yōu)的橢圓曲線。算法原理如下：

1) 由橢圓一般方程(2)，令：

橢圓方程可表示為：

令：

擬合橢圓的最優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為優(yōu)化目標(biāo)：

其中：

2) 引入拉格朗日因子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

對其求導(dǎo)數(shù)得：

令：

則：

通過求取特征向量可得6個，由于滿足：

要使得：

則：

便可篩選出一個。

因?yàn)?0，所以計(jì)算此時的特征向量及縮放系數(shù)，可得到擬合曲線的方程解。根據(jù)擬合曲線方程可進(jìn)行隧道點(diǎn)云濾波，具體步驟如下：

1) 由本文算法可得當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)云擬合曲線方程參數(shù)，，，，，。

2) 計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)在擬合中的誤差以及平均誤差：

其中為數(shù)據(jù)點(diǎn)編號，為當(dāng)前截面中點(diǎn)云數(shù)據(jù)個數(shù)。

5) 確定最終橢圓曲線方程參數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為驗(yàn)證本文算法在橢圓柱面模型隧道中的濾波效果，采用三維激光掃描儀，選取一處地鐵隧道進(jìn)行隧道三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)采集。選取20 m長隧道作為數(shù)據(jù)采集區(qū)域，此區(qū)域共采集859 291個數(shù)據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)云數(shù)據(jù)中噪聲點(diǎn)主要包含軌道、線纜、照明設(shè)施及管道附著的支架等。本文算法在MATLAB 2014a環(huán)境下進(jìn)行點(diǎn)云濾波實(shí)驗(yàn)。提取的隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)如圖4所示。

(a) 側(cè)視圖；(b) 正視圖

2.2 中軸線提取及點(diǎn)云切片生成

采用本文1.1中的方法，通過計(jì)算邊緣點(diǎn)均值來進(jìn)行隧道點(diǎn)云中軸線提取，中軸線長20 m，切片間隔設(shè)置為0.2 m，并將切片進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，圖中展示其中連續(xù)提取的10個截面，如圖5所示。

圖5 隧道點(diǎn)云切片

2.3 濾波結(jié)果分析對比

為證明本文算法的可行性及濾波精確度，在提取的10個隧道截面中隨機(jī)選取一個截面，首先剔除粗差點(diǎn)(殘差大于0.1 m)，然后使用本文算法進(jìn)行擬合中誤差分別為，2，3時濾波并進(jìn)行濾波效果對比，從濾波效果圖中可以看出，算法在擬合中誤差為時濾波效果最明顯，但是會造成較多數(shù)據(jù)的缺失，造成過度濾波，在擬合中誤差為2時既能保留完整隧道壁數(shù)據(jù)，同時對噪聲點(diǎn)進(jìn)行濾除，擬合中誤差為3時對于一些距離較近的噪聲點(diǎn)濾除效果不理想，仍有較多噪聲點(diǎn)存在，由此可以證明，其噪聲分布符合統(tǒng)計(jì)學(xué)特征，假設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)差為高斯分布[15]，可通過本文算法隨噪聲進(jìn)行濾除，如圖6所示。

(a) σ濾除結(jié)果；(b) 2σ濾除結(jié)果；(c) 3σ濾除結(jié)果

為證明本文算法對于濾波精度的提升，選取同一截面分別使用RANSAC算法、最小二乘法、法向偏差法與本文算法進(jìn)行濾波效果對比，如表1所示。

表1 不同算法濾波效果對比

法向偏差法4 811點(diǎn)2 085點(diǎn) 本文算法5 481點(diǎn)2 503點(diǎn)

表中統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)濾波中，針對斷面(1)，RANSAC算法在大尺度噪聲的濾除中有較好的效果，且較好地保留了非噪聲點(diǎn)，但對于距離隧道內(nèi)壁較近的小尺度噪聲并不能很好的濾除，而最小二乘法相較于RANSAC算法在小尺度噪聲濾除中有顯著優(yōu)勢，本文算法相較于最小二乘法，同以2倍中誤差(2)作為去噪準(zhǔn)則，去噪精度提升約2%，在去噪效果圖中可以觀察出，在最小二乘法濾波過程中會出現(xiàn)個別噪聲點(diǎn)無法濾除，而誤將非噪聲點(diǎn)濾除的情況。同樣被應(yīng)用于點(diǎn)云數(shù)據(jù)濾波的法向偏差法是利用點(diǎn)云法向量與隧道軸線方向的偏差提取出噪聲點(diǎn)，在濾波效果對比圖中可以看出，其對于噪聲點(diǎn)的抑制效果與本文算法相近，但由于法向量對噪聲的敏感特性導(dǎo)致算法在濾除噪聲點(diǎn)的同時丟失了大量的隧道壁點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)無法準(zhǔn)確計(jì)算隧道形變量，而本文算法在抑制噪聲點(diǎn)的同時對隧道壁點(diǎn)進(jìn)行了較好的保留。

針對斷面(2)，由于此斷面為非完整斷面，傳統(tǒng)最小二乘法無法根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出橢圓曲線，而擬合出拋物線、雙曲線或其他函數(shù)模型，導(dǎo)致噪聲點(diǎn)無法完全去除，其濾波精度與RANSAC算法相近，只能濾除掉一些大尺度噪聲，而本文算法由于添加約束條件，依然可以根據(jù)非完整斷面數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出橢圓曲線，并根據(jù)當(dāng)前曲線完成濾波，具有較好的穩(wěn)定性，去噪精度相較于傳統(tǒng)最小二乘法提升約18%，效果提升較為明顯。在法向偏差法的濾波結(jié)果中，同樣因其法向量對噪聲的敏感特性，導(dǎo)致了非噪聲點(diǎn)的丟失，因此，在隧道形變分析、模型重建等領(lǐng)域，本文算法可以提供更高質(zhì)量的數(shù)據(jù)支持。

(a) 斷面長半軸提??；(b) 斷面短半軸提??；(c) 斷面偏心率

2.4 形變分析

本次采樣隧道襯砌外徑為6.2 m，內(nèi)徑5.5 m，通過本文介紹的提取點(diǎn)云切片的方法，在選取的20 m隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，以間隔0.2 m連續(xù)提取100個切片進(jìn)行隧道形變分析，經(jīng)本文算法進(jìn)行濾波處理后的點(diǎn)云切片提取軸長及偏心率，如圖7所示，結(jié)果表明長、短半軸均穩(wěn)定在2.75 m，偏心率均值為0.004 4，共剔除噪聲點(diǎn)549 946個，且本區(qū)域內(nèi)隧道形變量均在最大形變限度內(nèi)。

3 結(jié)論

1) 根據(jù)隧道點(diǎn)云噪聲分布特點(diǎn)，提出一種結(jié)合最小二乘法和拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行橢圓擬合的濾波算法，保證了橢圓擬合的穩(wěn)定性及濾波精度。

2)相較于被廣泛應(yīng)用于曲線擬合的其他算法，本算法在非完整斷面或者數(shù)據(jù)點(diǎn)信息較為復(fù)雜的情況下，均可得到較為有效擬合結(jié)果，具有較好的穩(wěn)定性，且對于噪聲具有較好的魯棒性。

3) 隨著三維掃描技術(shù)的發(fā)展及其在地鐵隧道中的應(yīng)用，此濾波算法既可以應(yīng)用于隧道施工質(zhì)量檢查、竣工驗(yàn)收等，也可為隧道建模，形變檢測等應(yīng)用提供高效的數(shù)據(jù)支持。

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Denoising method of tunnel point cloud data based on ellipse fitting

LI Xianshuai, WU Bin

(School of Computer and Information Engineering, Tianjin Chengjian University, Tianjin 300384, China)

In view of the narrow and closed environment of subway tunnels, lidar has significant advantages over traditional tunnel deformation detection methods. Due to the influence of the environment and the large number of equipment installed in the tunnel, the data will contain a lot of noise points, and the data of the complete inner wall of the tunnel cannot be obtained, thus affecting the application of the data in deformation detection and 3D modeling. This paper combined the least square method and Lagrange multiplier method to ellipse fit the tunnel point cloud model, and applied it to the circular tunnel point cloud filtering, and used the data of each region to detect the tunnel deformation. The accuracy evaluation and effectiveness analysis of the filtering results show that the algorithm has good filtering effect and stability for the tunnel point cloud data.

ellipse fitting; least square method; Lagrange multiplier method; point cloud filtering; deformation detection

U456.3+3

A

1672 ? 7029(2021)03 ? 0703 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200403

2020?05?12

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2015BAF09B02-3)

武斌(1966?)，男，天津人，教授，從事嵌入式系統(tǒng)及FPGA邏輯前段研究和智能信息處理等方向的研究；E?mail：wubin@tjuci.edu.cn；

(編輯 涂鵬)