立體幾何中與球有關(guān)的問題探究

湖北 王 晶

幾何體的外接球和內(nèi)切球問題是學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),也是高考和聯(lián)考的命題熱點(diǎn),重在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力;此類問題的實(shí)質(zhì)是解決球的半徑或確定球心的位置問題,其中球心位置的確定是關(guān)鍵.筆者在多年教學(xué)中把有關(guān)球的問題大致分為下面幾個(gè)類型.

類型一:與球有關(guān)的截面問題

【例1】棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,E,F分別是棱AA1,DD1的中點(diǎn),則直線EF被球O截得的線段長為

( )

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球與正方體相“接”的問題,利用球的截面性質(zhì),轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑.

【聯(lián)考真題1】(2019·武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知平面α截一球面得圓M,過圓M的圓心的平面β與平面α所成二面角的大小為60°,平面β截該球面得圓N,若該球的表面積為64π,圓M的面積為4π,則圓N的半徑為________.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的截面圓與二面角的交匯問題,利用球的截面性質(zhì),巧妙地找出二面角的平面角,最后利用垂徑定理求出圓N的半徑,屬于中檔題.

【聯(lián)考真題2】如圖,已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O的截面面積為

( )

【答案】C

【解析】平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓.

【課本真題】(必修2第37頁習(xí)題B第2題)一個(gè)長、寬、高分別是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3,現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50 cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否會(huì)從水槽中流出？

【答案】水不會(huì)從水槽中流出.

【分析】根據(jù)長方體的體積公式求出水槽的體積,再根據(jù)球的體積公式求出木球的體積,結(jié)合題意,根據(jù)水槽中水的體積與木球在水中部分的體積之和與水槽的體積比較,即可確定答案.

所以V

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長方體和球的體積公式,解題關(guān)鍵是抓住水槽中水的體積與木球在水中部分的體積之和與水槽的容積之間的關(guān)系,屬于中檔題.

類型二:求幾何體外接球,內(nèi)切球的半徑、表面積、體積

【方法點(diǎn)撥】1.一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)在球上,此球即為外接球.確定其半徑的方法主要有如下四種:

A:根據(jù)球的定義及已知結(jié)論確定簡單多面體的外接球的球心,確定簡單多面體外接球的球心的結(jié)論如下:

結(jié)論1:正方體或長方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).

結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).

結(jié)論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).

結(jié)論4:正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過計(jì)算找到.

結(jié)論5:若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

B:將幾何體補(bǔ)為長方體或正方體,化為這兩種特殊幾何體的外接球問題.常用的補(bǔ)形途徑與方法如下:

途徑1:正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體.

途徑2:同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體.

途徑3:若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系,則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.

途徑4:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.

C:由球的性質(zhì)確定球心.利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì),確定球心.

D:利用外接球的球心的特點(diǎn)(考慮建立空間直角坐標(biāo)系,球心到幾何體所有頂點(diǎn)的距離相等,先確定球心的軌跡,再列等量關(guān)系,解得半徑).

2.球在幾何體內(nèi)部,與其所有側(cè)面均相切,此球即為內(nèi)切球,這種球的半徑多用等體積法來確定;特別需要注意內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等;正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合;正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不重合;構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理是基本方法;體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.

【例2】直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于________.

【解析】欲求球的表面積,歸根結(jié)底求球半徑R,與R相關(guān)的是重要性質(zhì)R2=r2+d2.

現(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化到求⊙O2的半徑,

因?yàn)椤鰽BC是⊙O2的內(nèi)接三角形,又知AB=AC=2,∠BAC=120°,三角形可解.

所以R2=r2+d2=4+1=5.所以S=4πR2=20π.

【聯(lián)考真題1】(2019·武漢市部分中學(xué)高二期中考)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為

( )

【答案】A

【解析】根據(jù)題意作出圖形,如圖所示,設(shè)球心為O,過A,B,C三點(diǎn)的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,延長CO1交球面于點(diǎn)D,則SD⊥平面ABC.

( )

【答案】B

所以S=4πR2=6π,故選B.

【高考真題】(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為

( )

【答案】D

類型三:與球的組合體有關(guān)的最值問題

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵：1.根據(jù)題目條件,畫出正確的截面,把空間“切”或者“接”問題轉(zhuǎn)化為“平面”問題處理;2.此類問題大部分是立體幾何與函數(shù)相結(jié)合的習(xí)題,根據(jù)題意得到函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

【例3】在棱長為1的正方體內(nèi)有半徑分別為R和r的兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.(1)則R+r=________;(2)R=________,r=________時(shí),兩球體積之和最小.

【分析】此題的關(guān)鍵在于作截面,一個(gè)球在正方體內(nèi),學(xué)生一般知道作對(duì)角面,而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上,故仍需作正方體的對(duì)角面,得如圖的截面圖,在圖中,觀察R與r和棱長間的關(guān)系即可.

【解析】(1)如圖,球心O1和O2在AC上,過O1,O2分別作AD,BC的垂線交于點(diǎn)E,F.

(2)設(shè)兩球體積之和為V,

【點(diǎn)評(píng)】本題充分利用軸截面,將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題,應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系,建立與球半徑r,R的聯(lián)系,將球的體積之和用r或R表示,應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其最小值.本題綜合性較強(qiáng),是函數(shù)與立體幾何相結(jié)合的典例.

【聯(lián)考真題】(2018·吉林長春高三質(zhì)檢)已知三棱錐S-ABC,滿足SA,SB,SC兩兩垂直,且SA=SB=SC=2,Q是三棱錐S-ABC外接球上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為________.

( )

【答案】B

【分析】作圖,D為MO與球的交點(diǎn),點(diǎn)M為三角形ABC的重心,判斷出當(dāng)DM⊥平面ABC時(shí),三棱錐D-ABC體積最大,然后進(jìn)行計(jì)算可得.

因?yàn)辄c(diǎn)M為三角形ABC的重心,

所以DM=OD+OM=4+2=6,