淺談函數(shù)的連續(xù)性

趙雪蕾 韓 嬌

（商丘工學(xué)院，河南 商丘 476000）

在現(xiàn)實(shí)世界中，植物的生長，氣溫的變化等許多現(xiàn)象不僅是運(yùn)動變化的而且運(yùn)動變化的過程都是連續(xù)不間斷。這種現(xiàn)象反應(yīng)在函數(shù)上，就是函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。函數(shù)的連續(xù)性對于后續(xù)研究函數(shù)的可導(dǎo)性，可積性有著重要的作用。我們知道可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)一定是可積的，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值與最小值。從幾何角度看，函數(shù)圖像是連綿不間斷的，我們就說函數(shù)是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的特征是，當(dāng)自變量變化趨向于零時(shí)，因變量的變化也趨向于零。根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義，又可以得到左連續(xù)和右連續(xù)的概念。我們知道連續(xù)的對立面是不連續(xù)，或稱為間斷的。對于不連續(xù)的函數(shù)，我們稱函數(shù)是不連續(xù)的，或者稱函數(shù)是間斷的。導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)，稱為間斷點(diǎn)或者不連續(xù)點(diǎn)。根據(jù)左右極限是否都存在，間斷點(diǎn)又分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。

一元函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性是研究二元函數(shù)連續(xù)性和一致連續(xù)性的基礎(chǔ)。函數(shù)的一致連續(xù)性相對于連續(xù)性而言是一個(gè)整體的概念，連續(xù)性相對于一致連續(xù)性而言是一個(gè)局部的概念。數(shù)學(xué)分析，高等數(shù)學(xué)等各教材都給出了函數(shù)連續(xù)性和一致連續(xù)性的定義。對于一元函數(shù)，我們可以用定義判斷函數(shù)的一致連續(xù)性，在有限閉區(qū)間上也可以用康拓定理來判斷函數(shù)的一致連續(xù)性。但是用定義判斷函數(shù)一致連續(xù)性有時(shí)候會太過復(fù)雜，而康拓定理又有一定的局限性。這里對于各種區(qū)間總結(jié)給出了函數(shù)一致連續(xù)性的判定方法。并且給出了二元函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的概念，總結(jié)了判斷二元函數(shù)一致連續(xù)的定理和需要注意的地方。

1 函數(shù)連續(xù)性的定義

設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，對于任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)，使對任意x0∈I，當(dāng)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。

2 函數(shù)一致連續(xù)的定義

設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得區(qū)間I內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2，只要都有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

3 函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系

連續(xù)與一致連續(xù)有著緊密地聯(lián)系，又有著本質(zhì)的區(qū)別。函數(shù)連續(xù)是考察函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的ε與δ有關(guān)還與x0有關(guān)，對于不同的x0，δ的大小會不一樣（一般在圖形較陡的地方，δ就越小）。一致連續(xù)是整體概念，定義中的δ對定義域內(nèi)所有的x都成立。我們可以得到只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。但是對于一致連續(xù)性不僅要求函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)，還要求函數(shù)的連續(xù)性是“一致”的。在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)一定連續(xù)，反之在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù)。例如反比例函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是連續(xù)的，但是不一致連續(xù)的。

對一致連續(xù)性概念的理解要注意以下兩點(diǎn)：

1）函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系；

2）函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)，是區(qū)間上任意兩個(gè)充分靠近的點(diǎn)的函數(shù)值的差可以任意小。

4 函數(shù)一致連續(xù)性的判定

4.1 有限區(qū)間上

命題1：康拓定理（又稱一致連續(xù)性定理）：函數(shù)在有界閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。

命題2：定義在區(qū)間上的函數(shù)一致連續(xù)的充分必要條件是區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)數(shù)列，兩個(gè)數(shù)列差的極限為零則作用在這兩個(gè)數(shù)列上的函數(shù)值差的極限為零。

命題3：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足利普希茨條件，則在區(qū)間上一致連續(xù)。

命題4：函數(shù)在有限開區(qū)間上一致連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間端點(diǎn)是單側(cè)連續(xù)的。

總結(jié)：判斷一元函數(shù)一致連續(xù)性可以用定義，也可以用康托定理，但是很多時(shí)候要判斷一個(gè)一元函數(shù)是否一致連續(xù)用定義是很麻煩的，而康托定理的局限性是只能用在閉區(qū)間上，對有限開區(qū)間和無數(shù)開區(qū)間都無法判斷。阻礙一元函數(shù)連續(xù)性變?yōu)橐恢逻B續(xù)性的情況有以下兩種：

1）對于有限開區(qū)間，這時(shí)區(qū)間的端點(diǎn)可能破壞一元函數(shù)的一致連續(xù)性。

2）對于無限區(qū)間，這時(shí)在區(qū)間無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一元函數(shù)的一致連續(xù)性。

即使這樣，只要我們在區(qū)間的端點(diǎn)和區(qū)間無窮遠(yuǎn)處附加一定的條件也可以把函數(shù)的一致連續(xù)性推廣到有限開區(qū)間和無限區(qū)間。下面我們來討論在無窮區(qū)間上一元函數(shù)的一致收連續(xù)。

4.2 無窮區(qū)間上

命題4.2.1 若函數(shù)在無限區(qū)間上滿足利普希茨條件，那么在區(qū)間上一致連續(xù)。

命題4.2.2 若函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的連續(xù)周期函數(shù)，那么該函數(shù)在區(qū)間實(shí)數(shù)域上一致連續(xù)。

命題4.2.3 若果函數(shù)在實(shí)數(shù)域上連續(xù)，且在正負(fù)無窮大處函數(shù)的極限都存在，那么該函數(shù)在實(shí)數(shù)域上一致連續(xù)。

命題4.2.4由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)復(fù)合得到的函數(shù)，在相應(yīng)點(diǎn)也是連續(xù)的。

命題4.2.5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間[b,∞]上連續(xù)，此函數(shù)在區(qū)間[b,∞]上一致連續(xù)的充要條件是區(qū)間[b,∞]上存在一個(gè)另一個(gè)一致連續(xù)的函數(shù)，且兩個(gè)函數(shù)的差在無窮遠(yuǎn)處極限為零。

命題4.2.6 若函數(shù)在區(qū)間[a,∞]上連續(xù)，在無窮遠(yuǎn)處有漸進(jìn)線，則函數(shù)在區(qū)間[a,∞]上一致連續(xù)。

命題4.2.7 函數(shù)在區(qū)間[a,∞]上可導(dǎo)，且函數(shù)值的絕對值不大于1，則在此區(qū)間上一致連續(xù)。

由4.2.7知正弦函數(shù)在實(shí)數(shù)集上一致連續(xù)。同理可證余弦函數(shù)、冪小于1的冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反正切函數(shù)都在實(shí)數(shù)集上一致連續(xù)。

命題4.2.8函數(shù)在[a,∞]上連續(xù)，且在無窮遠(yuǎn)處極限存在，則函數(shù)在[a,∞]上一致連續(xù)。

以上我們總結(jié)了一元函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別與聯(lián)系，總結(jié)論述了一元函數(shù)一致連續(xù)性在有限閉區(qū)間、有限開區(qū)間、無限區(qū)間的判定方法。下面我們就一元函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性推廣到二元函數(shù)上來。

5 二元函數(shù)的連續(xù)性的定義

二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)辄c(diǎn)集是點(diǎn)集D聚點(diǎn)或孤立點(diǎn)，動點(diǎn)p(x,y)∈D;如果任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)有兩點(diǎn)的函數(shù)值差任意小，成立則稱函數(shù)f關(guān)于集合D在點(diǎn)p0連續(xù)。（相對連續(xù)），特別的當(dāng)點(diǎn)p0是內(nèi)點(diǎn)時(shí)，稱函數(shù)f在點(diǎn)p0連續(xù)（全面連續(xù)）。

6 二元函數(shù)的一致連續(xù)性定義

二元函數(shù)的一致連續(xù)性定義：設(shè)f是定義在點(diǎn)集二維實(shí)數(shù)域內(nèi)某點(diǎn)集上的二元函數(shù)，任意小的正數(shù)ε，存在正數(shù)，使得點(diǎn)集內(nèi)的任意兩點(diǎn)p,q，只要ρ(p,q)＜δ,就有則稱函數(shù)f在D上是一致連續(xù)的。

注：設(shè)函數(shù)是定義在二維實(shí)數(shù)域內(nèi)某點(diǎn)集上的二元函數(shù)，如果函數(shù)在該點(diǎn)集上一致連續(xù)，那么其一定在該點(diǎn)集上一致連續(xù)。

7 二元函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理

7.1 二元函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理

引理7.1.1 設(shè)函數(shù)在凸區(qū)域上偏導(dǎo)數(shù)有界，則函數(shù)在凸區(qū)域上一致連續(xù)。

引理7.1.2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么函數(shù)在區(qū)間上一定一致連續(xù)。

引理7.1.3 設(shè)函數(shù)在有界開區(qū)域一致連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在區(qū)域內(nèi)上連續(xù)，當(dāng)兩個(gè)自變量趨于區(qū)域邊界上的任意兩點(diǎn)，都有函數(shù)的極限存在。

引理7.1.5 兩個(gè)在其各自定義域上一致連續(xù)的函數(shù)，它們的和在兩個(gè)定義域的交集上也一致連續(xù)。

推論 設(shè)有有限個(gè)函數(shù)在它們各自的定義域上一致連續(xù)，則在這些定義域的交集上，這有限個(gè)函數(shù)的線性組合也一致連續(xù)。

命題7.1.1 兩個(gè)在其各自定義域上一致連續(xù)的函數(shù)，它們的差在兩個(gè)定義域的交集上也一致連續(xù)。

命題7.1.2兩個(gè)在其各自定義域上一致連續(xù)并且有界的函數(shù)，它們的乘積在兩個(gè)定義域的交集上也一致連續(xù)。

7.2 二元函數(shù)一致連續(xù)性幾個(gè)需要注意的地方

注1 引理1 強(qiáng)調(diào)一定要在凸區(qū)域上，否則函數(shù)在區(qū)域上導(dǎo)數(shù)有界不一定在此區(qū)域上一致連續(xù)。

注2 設(shè)函數(shù)在無限區(qū)間二維實(shí)數(shù)域上連續(xù)且有界，函數(shù)在二維實(shí)數(shù)域不一定一致連續(xù)；函數(shù)在二維實(shí)數(shù)域一致連續(xù)，函數(shù)在二維實(shí)數(shù)域上不一定有界。

注3 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的方向?qū)?shù)有界，則函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)；反之若函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)，方向?qū)?shù)不一定有界。

連續(xù)函數(shù)結(jié)論的幾點(diǎn)補(bǔ)充：

1）對于在一點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)，它們的和、差、積、商（分母不為0）都在這一點(diǎn)連續(xù)。

2）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)區(qū)間上都是連續(xù)的。

3）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有零點(diǎn)定理與介值定理。

4）一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，如果是單調(diào)的，則這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也是連續(xù)的并且具有相同的單調(diào)性。