基于Gabor框架的線性調(diào)頻信號(hào)壓縮采樣與重構(gòu)

孟 晨, 王 強(qiáng),*, 王 成, 李一寧

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)導(dǎo)彈工程系, 河北 石家莊 050003;2.國(guó)民核生化災(zāi)害防化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102205)

0 引 言

線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)信號(hào)又稱Chirp信號(hào),是信號(hào)處理領(lǐng)域中常用的信號(hào)形式,在雷達(dá)、聲吶等探測(cè)系統(tǒng)中,均得到廣泛應(yīng)用[1-3]。該類信號(hào)頻帶較寬,在Nyquist采樣定理下,要保證信號(hào)的精確重構(gòu),采樣頻率至少是信號(hào)最高頻率的兩倍。因此,傳統(tǒng)A/D轉(zhuǎn)換器需要工作在極高的采樣頻率下,以保證信號(hào)在采樣過程中不造成信息丟失。

壓縮感知理論的產(chǎn)生,為寬帶LFM信號(hào)的采集問題提供了一種新的思路[4-7]。在壓縮感知理論框架下,信號(hào)的采集過程不再依賴于Nyquist采樣定理,而是基于信號(hào)本身所具有的信息量,在信號(hào)采集的同時(shí),實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮?；趬嚎s感知理論,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)壓縮采樣的具體實(shí)現(xiàn)方式進(jìn)行了研究,主要包括調(diào)制帶寬轉(zhuǎn)換器(modulated wideband converter, MWC)壓縮采樣系統(tǒng)[8-9]、隨機(jī)解調(diào)(random demodulation, RD)壓縮采樣系統(tǒng)[10-11]以及Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)[12-13]。相比于MWC以及RD壓縮采樣系統(tǒng),Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)能夠利用信號(hào)在時(shí)頻域所具有的稀疏性,實(shí)現(xiàn)較低的采樣頻率以及采樣點(diǎn)數(shù)。因此,在LFM信號(hào)壓縮采樣中,具有極大的應(yīng)用前景。

Gabor框架壓縮采樣本質(zhì)上是對(duì)LFM信號(hào)時(shí)頻系數(shù)的壓縮采樣。在重構(gòu)過程中,首先利用采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)頻系數(shù)的重構(gòu),再利用時(shí)頻系數(shù)完成對(duì)LFM信號(hào)的重構(gòu),因此時(shí)頻系數(shù)的精確重構(gòu)是原始信號(hào)精確重構(gòu)的先決條件。在Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)下,時(shí)頻系數(shù)的重構(gòu)過程是一個(gè)多觀測(cè)向量(multiple measurement vectors, MMV)的重構(gòu)問題[14-15]。目前,求解這一問題的典型算法包括:多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[16-17]、同步正交匹配追蹤(simultaneous orthogonal matching pursuit, SOMP)[18-19]、同步壓縮傳感匹配追蹤(simultaneous compressive sampling matching pursuit, SCoSaMP)[20]以及多維擴(kuò)展的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法(multiple response extension of sparse bayesian learning, M-SBL)[21-23]等。MUSIC算法能夠以較低的采樣率取得良好的重構(gòu)效果,因此得到廣泛應(yīng)用,但是該算法要求原始信號(hào)稀疏矩陣非零行子矩陣為行滿秩。而對(duì)于LFM信號(hào),其時(shí)頻系數(shù)矩陣非零行之間具有一定的相關(guān)性,因此時(shí)頻系數(shù)的精確重構(gòu)得不到保證。SOMP以及SCoSaMP算法是對(duì)單觀測(cè)向量(single measurement vector, SMV)模型中,正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)以及壓縮傳感匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)算法的擴(kuò)展,該類算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、運(yùn)算量少,但是在低采樣率下極易陷入局部最優(yōu),重構(gòu)誤差較大。M-SBL是對(duì)SMV模型中稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(sparse Bayesian learning, SBL)算法[24-25]的擴(kuò)展,該算法假設(shè)不同觀測(cè)向量之間具有相同的稀疏分布模型,利用概率推理的方式估計(jì)模型參數(shù)。相比于SOMP以及SCoSaMP算法,M-SBL算法重構(gòu)精確較高,重構(gòu)效果較好。

鑒于M-SBL算法在求解MMV重構(gòu)問題中所表現(xiàn)的優(yōu)勢(shì),本文將M-SBL算法用于LFM信號(hào)時(shí)頻系數(shù)的壓縮采樣重構(gòu)過程中。在M-SBL算法下,稀疏矩陣的重構(gòu)精度依賴于矩陣不同列向量之間的相關(guān)性。而對(duì)于LFM信號(hào),其時(shí)頻系數(shù)矩陣,相鄰列向量之間具有一定的相關(guān)性,非相鄰列向量之間相關(guān)性較差。因此,若直接采用M-SBL算法對(duì)LFM信號(hào)時(shí)頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),則需要較高的采樣點(diǎn)數(shù)來保證信號(hào)的重構(gòu)精確,嚴(yán)重影響系統(tǒng)的壓縮采樣效果。

針對(duì)上述問題,本文研究了LFM信號(hào)壓縮采樣與精確重構(gòu)方法。利用Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的壓縮采樣,以降低采樣頻率;引入M-SBL算法,求解重構(gòu)過程中存在的MMV重構(gòu)難題;針對(duì)LFM信號(hào)時(shí)頻系數(shù)矩陣非相鄰列向量之間相關(guān)性較差的問題,提出基于優(yōu)化分類的信號(hào)重構(gòu)方法,保證在較低的采樣點(diǎn)數(shù)下,實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的精確重構(gòu)。

1 Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)

1.1 Gabor變換及Gabor框架

Gabor變換[26-27]是一種廣泛使用的線性時(shí)頻分析方法,對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)∈L2(C),Gabor變換系數(shù)可以表示為

(1)

式中，MblTakg=g(t-ak)ej2πblt為時(shí)頻平移算子,a、b分別為時(shí)、頻平移參數(shù)。Gabor變換系數(shù)zk,l本質(zhì)上是信號(hào)x(t)在時(shí)頻柵格(ak,bl)處的短時(shí)傅里葉變換,窗函數(shù)為g(t)。

為保證Gabor變換后,原始信號(hào)能夠得到重構(gòu),定義Gabor框架[20,28-29]如下。

定義1對(duì)于任意的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)∈L2(C),若存在常數(shù)0

(2)

則稱G(g,a,b)為Gabor框架,其中A1、A2分別為Gabor框架上下界。

給定窗函數(shù)g(t)、時(shí)頻平移參數(shù)后,若Gabor框架條件得到滿足,則存在對(duì)偶窗函數(shù)γ(t),使得信號(hào)x(t)能夠表示為

(3)

與短時(shí)傅里葉變換相對(duì)比,Gabor變換使用了離散的時(shí)頻柵格來對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理,同時(shí)Gabor框架的存在,保證了原始信號(hào)能夠通過變換后的系數(shù)得到完全重構(gòu)。而對(duì)于有限時(shí)頻域支撐的信號(hào),這種離散的時(shí)頻柵格使得信號(hào)能夠在有限的時(shí)頻系數(shù)下進(jìn)行展開。

假設(shè)信號(hào)時(shí)域支撐為[0,T],根據(jù)不確定性原理,其頻域無限支撐。但考慮到信號(hào)能量主要分布在有限的頻帶范圍內(nèi),因此定義信號(hào)本質(zhì)帶寬F=[Ω1,Ω2],滿足

(4)

式中,X(f)為信號(hào)x(t)的傅里葉變換;Fc表示F以外的頻帶;òΩ<1。則信號(hào)在對(duì)偶窗函數(shù)γ(t)下的展開可以近似為

(5)

若窗函數(shù)g(t)在[0,Wg]上緊支撐,本質(zhì)帶寬為[-Ωg,Ωg],則K1、K2、L1、L2可以表示為

?

(6)

對(duì)于有限時(shí)域支撐的LFM信號(hào),圖1給出了該信號(hào)在Gabor變換下的時(shí)頻特性圖。其中,圖1(a)為L(zhǎng)FM信號(hào)時(shí)域波形,圖1(b)為L(zhǎng)FM信號(hào)在Gabor變換下的時(shí)頻特性。

圖1 LFM信號(hào)時(shí)頻特性

可以看出,LFM信號(hào)在Gabor變換下具有良好的稀疏性。利用這種稀疏性,本文引入了Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的壓縮采樣。

1.2 壓縮采樣系統(tǒng)

Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)由Eldar團(tuán)隊(duì)于2012年提出[12],該系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 Gabor框架采樣系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)

圖2中,輸入信號(hào)x(t)同時(shí)進(jìn)入JM個(gè)通道,在第(j,m)個(gè)通道中,x(t)首先和函數(shù)qj,m(t)=wj(t)sm(t)相乘,再利用積分器完成積分,其中0≤j≤J-1,0≤m≤M-1,且j,m∈Z。函數(shù)qj,m(t)根據(jù)Gabor框架G(g,a,b)進(jìn)行設(shè)計(jì),其表達(dá)式為

qj,m(t)=wj(t)sm(t)

(7)

(8)

式中,wj(t)為頻域調(diào)制函數(shù);sm(t)為時(shí)域調(diào)制函數(shù)。x(t)經(jīng)過第(j,m)個(gè)通道后進(jìn)行采樣,每一個(gè)通道上的測(cè)量值可以表示為

(9)

通過采樣系統(tǒng)獲得測(cè)量值yj,m后,可以根據(jù)調(diào)制函數(shù)中的djl和cmk等參數(shù)信息求解出Gabor系數(shù)zk,l,再利用式(5)重構(gòu)出原始信號(hào)。

2 基于優(yōu)化分類的LFM信號(hào)重構(gòu)

2.1 壓縮采樣系統(tǒng)重構(gòu)模型

為求解Gabor系數(shù)zk,l,將式(9)寫成矩陣形式:

Y=DUT,U=CZ

(10)

式中,Y為J×M維矩陣,第(j+1,m+1)個(gè)元素為yj,m;假設(shè)L=L2-L1+1,K=K2-K1+1,則U是M×L維矩陣;Z為K×L維Gabor系數(shù)矩陣,其l-L1+1列為Z·l-L1+1=[zK1,l,…,zK2,l]T,C為M×K維測(cè)量矩陣,其(m+1,k-K1+1)處元素為cmk;D為J×L維矩陣,其(j+1,l-L1+1)處元素為djl;C和D的選擇要保證能夠從Y中恢復(fù)出Z;如果J=L,M=K,且C和D為單位矩陣,則本文采樣系統(tǒng)就是標(biāo)準(zhǔn)的無壓縮的Gabor框架采樣系統(tǒng)。

為簡(jiǎn)化電路設(shè)計(jì),令J=L且D=I,則式(10)可以簡(jiǎn)化為U=CZ,其中U=YT。由于LFM信號(hào)Gabor系數(shù)矩陣具有良好的稀疏性,因此可以通過重構(gòu)算法,實(shí)現(xiàn)對(duì)Gabor系數(shù)矩陣的精確重構(gòu),該過程是一個(gè)MMV重構(gòu)問題,即

s.t.U=CZ

(11)

式中,supp(·)表示求支撐集。完成矩陣Z的重構(gòu)后,即可通過式(10)重構(gòu)出原始信號(hào)。

2.2 M-SBL算法

針對(duì)上述MMV重構(gòu)問題,本文提出了基于M-SBL的求解方法[21-22]?？紤]到壓縮測(cè)量過程可能存在的噪聲干擾,U可以表示為

U=CZ+n

(12)

假設(shè)U·l為矩陣U的第l-L1+1列,則

U·l=CZ·l+n·l

(13)

為簡(jiǎn)化分析過程,假設(shè)噪聲為零均值高斯噪聲,噪聲方差為σ2,則U·l的條件分布概率密度函數(shù)為

(14)

對(duì)于Gabor系數(shù)矩陣,其第k-K1+1行向量Zk·的先驗(yàn)稀疏分布為高斯分布,方差為γk,即

p(Zk·|γk)=N(0,γkΙ)

(15)

則系數(shù)矩陣Z的先驗(yàn)分布可以表示為

(16)

式中,γ為超參數(shù)向量,γ=[γK1,γK1+1,…,γK2]T。利用式(14)和式(16),Z·l的后驗(yàn)分布可以表示為

(17)

式中,均值和方差分別為

M=[μ·L1,μ·L1+1,…,μ·L2]

(18)

(19)

式中,Γ=diag(γ)；Σt=σ2I+CΓCT;M為對(duì)Gabor系數(shù)矩陣Z的估計(jì)。參數(shù)σ以及超參數(shù)向量γ可通過最大化邊緣似然函數(shù)獲得,即

(20)

具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[21],其參數(shù)估計(jì)結(jié)果為

(21)

(22)

2.3 優(yōu)化分類方法

從上述分析可以看出,M-SBL算法重構(gòu)過程中假設(shè)Gabor系數(shù)矩陣Z中各行服從同一高斯分布。從另一角度來說,要滿足這種分布特性,Gabor系數(shù)矩陣Z中各列之間需要具有很強(qiáng)的相關(guān)性。而對(duì)于LFM信號(hào),其Gabor系數(shù)矩陣特性如圖1所示,可以看出,Z中只有相鄰列之間具有一定的相關(guān)性,而非相鄰列之間相關(guān)性變小,并且間隔距離越大,相關(guān)性越小。LFM信號(hào)這一特點(diǎn)使得M-SBL算法直接用于求解式(11)時(shí),重構(gòu)效果較差,要保證較小的重構(gòu)誤差,只能通過增加采樣點(diǎn)數(shù),這就嚴(yán)重影響了壓縮采樣系統(tǒng)的壓縮率。

針對(duì)這一問題,本文提出了基于優(yōu)化分類的LFM信號(hào)壓縮采樣重構(gòu)方法,該方法以M-SBL算法為基礎(chǔ),利用U中的信息,對(duì)各個(gè)列向量進(jìn)行分類,再利用M-SBL算法逐類進(jìn)行壓縮采樣重構(gòu)。

U中的每個(gè)列向量,表示壓縮采樣系統(tǒng)對(duì)Gabor系數(shù)矩陣Z中相應(yīng)列向量的采樣結(jié)果,因此對(duì)U的分類,也實(shí)現(xiàn)了對(duì)Gabor系數(shù)Z的分類。而分類的目的是要保證Gabor系數(shù)子矩陣(由Z中同屬一類的列向量組成)各列之間具有良好的相關(guān)性。從而可以假設(shè)該子矩陣中各列具有相同的稀疏先驗(yàn)分布模型,并利用M-SBL算法對(duì)該子矩陣進(jìn)行重構(gòu)。

LFM信號(hào)Gabor系數(shù)矩陣Z中相鄰列之間具有一定的相關(guān)性,利用這一特點(diǎn),本文將U中列向量的分類問題轉(zhuǎn)化為列向量的分割問題,以保證Gabor系數(shù)子矩陣各列在原Gabor系數(shù)矩陣Z中的相鄰性。假設(shè)分類個(gè)數(shù)為N,定義分割位置集合p={p1,p2,…,pN+1},其中:

(23)

式中，元素pi(2≤i≤N)表示第i-1類與第i類之間的分類位置,則p中N+1個(gè)元素將U中列向量分為N類。同時(shí),同類列向量之間的相鄰性也保證了所對(duì)應(yīng)的Gabor系數(shù)子矩陣各列之間相鄰。

為保證分類效果,本文引入目標(biāo)函數(shù)來優(yōu)化分割位置。首先,定義相關(guān)性參數(shù)來衡量U中同類列向量之間的相關(guān)性。對(duì)于U中任意兩列向量,相關(guān)性參數(shù)定義為

(24)

其中

(25)

為衡量同類列向量之間的相關(guān)性,定義分類中心向量為

(26)

式中,Li=pi+1-pi,則同類列向量之間的相關(guān)性可以表示為

(27)

令rmin=min{r1,r2,…,rN},則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(28)

上述目標(biāo)函數(shù)可以通過優(yōu)化算法進(jìn)行求解,如粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法以及量子粒子群優(yōu)化(quantum particle swarm optimization, QPSO)算法[30-31]等。優(yōu)化過程中,以集合p中N-1個(gè)元素pi(2≤i≤N)為待優(yōu)化參數(shù),以式(28)為目標(biāo)函數(shù),輸出最終的分割位置pi,實(shí)現(xiàn)最佳的分類方式。

綜上所述,本文基于優(yōu)化分類的M-SBL重構(gòu)算法如算法1所示。

算法1基于優(yōu)化分類的M-SBL重構(gòu)算法

輸入:矩陣U,矩陣C;

輸出:Gabor系數(shù)矩陣Z′;

步驟1QPSO優(yōu)化分類

步驟1.1以p中N-1個(gè)元素為待優(yōu)化參數(shù),初始化粒子位置以及速度;

步驟1.2根據(jù)式(27)計(jì)算同類列向量的相關(guān)系數(shù),確定粒子群中全局最優(yōu)位置以及每個(gè)粒子局部最優(yōu)位置;

步驟1.3更新粒子位置以及速度信息;

步驟1.4判斷是否滿足迭代終止條件,滿足則給出最優(yōu)的分割位置集合p,否則返回步驟1.2。

步驟2M-SBL逐類重構(gòu)

步驟2.1根據(jù)步驟1中的最優(yōu)分割位置集合p對(duì)U進(jìn)行分類,并逐類運(yùn)行步驟2.2～步驟2.5;

步驟2.2初始化稀疏先驗(yàn)分布參數(shù)以及噪聲方差;

步驟2.3利用式(18)和式(19)完成對(duì)稀疏系數(shù)均值與方差的估計(jì);

步驟2.4利用式(21)和式(22)完成分布參數(shù)的更新;

步驟2.5判斷是否滿足迭代終止條件,滿足則利用均值給出重構(gòu)的Gabor系數(shù)子矩陣,否則返回步驟2.3;

步驟2.6對(duì)子矩陣進(jìn)行重新組合,輸出Gabor系數(shù)矩陣Z′。

得到重構(gòu)的Gabor系數(shù)矩陣Z′后,可在Gabor框架下,完成對(duì)原始LFM信號(hào)的重構(gòu)。LFM信號(hào)的整個(gè)壓縮采樣與重構(gòu)流程可以表述為圖3的形式。首先,利用Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)完成LFM信號(hào)壓縮采樣,并通過離散的采樣點(diǎn)構(gòu)造矩陣U;然后利用矩陣U和矩陣C以及本文基于優(yōu)化分類的M-SBL重構(gòu)算法完成重構(gòu)過程,獲得Gabor系數(shù)矩陣Z′;最后,利用矩陣Z′,在Gabor框架下,完成對(duì)原始LFM信號(hào)的重構(gòu)。

圖3 LFM信號(hào)壓縮重構(gòu)流程

相比于未經(jīng)分類優(yōu)化的重構(gòu)算法相比,本文基于優(yōu)化分類的LFM信號(hào)壓縮采樣重構(gòu)方法在一定程度上增加了重構(gòu)過程復(fù)雜度。但是,該重構(gòu)方法仍然較高的應(yīng)用價(jià)值。一方面,LFM信號(hào)在時(shí)頻域所具有的特點(diǎn),使得其在未經(jīng)分類的條件下,Gabor系數(shù)矩陣非相鄰列之間相關(guān)性較差,聯(lián)合稀疏度較大。要保證原始信號(hào)的精確重構(gòu),就需要增加采樣點(diǎn)數(shù),這就會(huì)導(dǎo)致前端壓縮采樣系統(tǒng)壓縮效率較差。而基于優(yōu)化分類的重構(gòu)方法能夠有效減少前端壓縮采樣系統(tǒng)對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)的需求,降低存儲(chǔ)空間與傳輸壓力。另一方面,本文優(yōu)化分類的重構(gòu)過程通常在后端服務(wù)器內(nèi)運(yùn)行,而后端服務(wù)器強(qiáng)大的運(yùn)算能力能夠支持更為復(fù)雜的重構(gòu)算法,因此在實(shí)際應(yīng)用過程中,計(jì)算復(fù)雜度增加的問題,能夠得到很好的解決。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真LFM信號(hào)

為驗(yàn)證本文算法的有效性,利用LFM信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真LFM信號(hào)表達(dá)式為

(29)

式中,f0為中心頻率;k為調(diào)頻率。實(shí)驗(yàn)過程中,利用式(29)產(chǎn)生兩種LFM信號(hào),信號(hào)參數(shù)設(shè)置如表1所示,信號(hào)時(shí)域波形以及頻譜如圖4所示。兩種LFM信號(hào)時(shí)域支撐均為[0, 1 μs],本質(zhì)帶寬分別為[-420 MHz, 420 MHz]、[-620 MHz, 620 MHz]。

表1 兩種LFM信號(hào)參數(shù)設(shè)置

圖4 仿真信號(hào)

3.2 LFM信號(hào)壓縮采樣

針對(duì)上述LFM信號(hào),利用Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣。采樣系統(tǒng)中cmk為偽隨機(jī)數(shù),g(t)為高斯窗函數(shù),窗函數(shù)時(shí)域波形以及頻譜如圖5所示,該窗函數(shù)在[0, 0.075 μs]上緊支撐,本質(zhì)帶寬為[-60 MHz,60 MHz]。壓縮采樣系統(tǒng)時(shí)、頻平移參數(shù)設(shè)置為0.025 μs、40 MHz。則對(duì)于上述兩種LFM信號(hào),時(shí)頻表示參數(shù)設(shè)置如表2所示。

圖5 窗函數(shù)

表2 兩種LFM信號(hào)時(shí)頻參數(shù)設(shè)置

利用LFM信號(hào)在Gabor變換下的稀疏性,對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣。設(shè)置壓縮采樣通道個(gè)數(shù)為ML,則采樣點(diǎn)數(shù)為ML,單通道采樣頻率為1 MHz。而在Nyquist采樣定理下,兩種信號(hào)的最低采樣頻率分別為840 MHz、1 240 MHz?？梢钥闯鰤嚎s采樣系統(tǒng)的采樣頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于信號(hào)的Nyquist采樣頻率。

3.3 LFM信號(hào)重構(gòu)效果對(duì)比

利用壓縮采樣系統(tǒng)輸出的采樣點(diǎn),對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。為驗(yàn)證本文基于優(yōu)化分類的M-SBL重構(gòu)算法的有效性,引入不同重構(gòu)算法進(jìn)行LFM信號(hào)壓縮采樣重構(gòu)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。對(duì)比算法包括SOMP以及SCoSaMP。為有效衡量重構(gòu)效果,引入相對(duì)誤差(relative error, RE)作為重構(gòu)誤差量化指標(biāo)。RE表達(dá)式為

(30)

式中,x′為重構(gòu)信號(hào)。每種算法進(jìn)行500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),當(dāng)重構(gòu)信號(hào)誤差低于0.01時(shí),認(rèn)為信號(hào)得到精確重構(gòu)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值,兩種信號(hào)的分類個(gè)數(shù)分別設(shè)定為5、8。實(shí)驗(yàn)中采用QPSO對(duì)壓縮采樣點(diǎn)U進(jìn)行分類,并逐類進(jìn)行重構(gòu),則不同算法精確重構(gòu)概率如圖6所示。

圖6 不同算法重構(gòu)概率

對(duì)比兩種信號(hào)可以看出,在相同M值條件下,信號(hào)2的重構(gòu)概率要高于信號(hào)1。分析其原因,主要是信號(hào)2調(diào)頻率k要高于信號(hào)1。在相同的采樣系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置下,信號(hào)2調(diào)頻率的提高使得信號(hào)時(shí)頻域的稀疏度降低、稀疏性得到改善。因此在相同M值條件下,信號(hào)2的重構(gòu)概率要高于信號(hào)1。對(duì)比不同算法可以看出,M-SBL重構(gòu)概率要高于SOMP以及SCoSaMP。在經(jīng)過優(yōu)化分類后,U中同類列向量所對(duì)應(yīng)的Gabor系數(shù)子矩陣聯(lián)合稀疏度降低,因此更有利于Gabor系數(shù)矩陣的精確重構(gòu)。同時(shí),基于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化分類過程,保證了Gabor系數(shù)子矩陣各列之間具有良好的相關(guān)性。相比于SOMP以及SCoSaMP算法,M-SBL算法能夠有效利用子矩陣各列之間的相關(guān)性,因此在相同的M值條件下,其重構(gòu)概率更高。

在保證重構(gòu)概率不低于95%的條件下,兩種信號(hào)的最低M取值分別為27、17。此時(shí)系統(tǒng)采樣點(diǎn)數(shù)分別為621、561。而在Nyquist采樣定理下,兩種信號(hào)的最低采樣點(diǎn)數(shù)分別為840、1 240。因此可以看出,本文Gabor框架壓縮采樣系統(tǒng)不僅大大降低了采樣頻率,還壓縮了采樣點(diǎn)數(shù)。同時(shí),LFM信號(hào)調(diào)頻率越高,壓縮效果越明顯。

為進(jìn)一步驗(yàn)證分類優(yōu)化方法的有效性,利用壓縮采樣系統(tǒng)輸出,在未經(jīng)分類的條件下,利用3種算法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),并與分類條件下的重構(gòu)效果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于信號(hào)1,實(shí)驗(yàn)過程中分別設(shè)置M=27、32、37,此時(shí)基于分類優(yōu)化的M-SBL算法重構(gòu)概率高于95%。在未分類以及分類的條件下,利用3種重構(gòu)算法對(duì)信號(hào)1進(jìn)行重構(gòu),為方便觀察原始信號(hào)中不同頻率成份的重構(gòu)效果,圖7～圖9給出了原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)頻譜。

圖7 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)1，M=27)

圖8 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)1,M=32)

圖9 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)1,M=37)

同樣,對(duì)于信號(hào)2,實(shí)驗(yàn)過程中設(shè)置M=17、22、27,以保證基于分類優(yōu)化的M-SBL算法重構(gòu)概率高于95%。在未分類以及分類的條件下,利用3種重構(gòu)算法對(duì)信號(hào)2進(jìn)行重構(gòu),其原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)頻譜如圖10～圖12所示。對(duì)于不同的重構(gòu)信號(hào),利用式計(jì)算重構(gòu)RE,計(jì)算結(jié)果如表3所示。

圖10 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)2,M=17)

圖11 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)2,M=22)

圖12 不同算法重構(gòu)效果(信號(hào)2, M=27)

表3 不同算法重構(gòu)相對(duì)誤差對(duì)比

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,對(duì)于上述兩種LFM信號(hào),未經(jīng)分類的SOMP、SCoSaMP以及M-SBL算法均不能夠有效重構(gòu)原始信號(hào)。盡管隨著M的提高,重構(gòu)效果有所改善。但是體現(xiàn)在RE值上,當(dāng)M值較大時(shí)(信號(hào)1中M=37時(shí),信號(hào)2中M=27時(shí)),3種重構(gòu)算法RE仍大于0.1。相比于未經(jīng)分類的信號(hào)重構(gòu)算法,經(jīng)過分類后,不同算法的信號(hào)重構(gòu)效果明顯改善。當(dāng)M較大時(shí),3種算法均能夠保證重構(gòu)相對(duì)誤差RE低于0.01,重構(gòu)效果較好。分析其原因,主要是因?yàn)樵谖唇?jīng)分類條件下,LFM信號(hào)在Gabor變換下的系數(shù)矩陣聯(lián)合稀疏度較高,稀疏性較差,在這種條件下,SOMP、SCoSaMP以及M-SBL算法并不能夠有效重構(gòu)原始信號(hào)。而通過優(yōu)化分類的方式,使得矩陣U中同類列向量所對(duì)應(yīng)的Gabor系數(shù)子矩陣聯(lián)合稀疏度降低,因此3種算法的重構(gòu)效果得到明顯改善。同時(shí),與圖6中實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似,由于M-SBL算法在重構(gòu)過程中利用了Gabor系數(shù)子矩陣各列之間的相關(guān)性,因此重構(gòu)效果最佳,重構(gòu)相對(duì)誤差RE最低。

3.4 噪聲對(duì)重構(gòu)過程的影響

基于Gabor框架的壓縮采樣系統(tǒng)在工作過程中,不可避免地存在噪聲干擾,為此對(duì)壓縮采樣過程添加不同信噪比(signal to noise ratio, SNR)的噪聲,分析噪聲對(duì)壓縮采樣系統(tǒng)以及重構(gòu)過程的影響。實(shí)驗(yàn)過程中,重構(gòu)算法采用的是本文所提的基于優(yōu)化分類的M-SBL算法。對(duì)于信號(hào)1,M分別設(shè)置為27、32、37,對(duì)于信號(hào)2,M分別設(shè)置為17、22、27。此時(shí),在不含噪聲條件下,原始信號(hào)重構(gòu)概率均高于95%。則在添加噪聲后,信號(hào)的重構(gòu)概率如圖13所示。

從圖13中可以看出,當(dāng)SNR≤11 dB時(shí),兩種信號(hào)在不同M值條件下,重構(gòu)概率均為0。當(dāng)SNR>11 dB時(shí),隨著的增加,信號(hào)重構(gòu)概率逐漸升高。當(dāng)SNR>20 dB時(shí),兩種信號(hào)的重構(gòu)概率均穩(wěn)定在95%以上。同時(shí),從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,在含噪條件下,提高M(jìn)值,能夠有效改善重構(gòu)效果。例如,對(duì)于信號(hào)1以及信號(hào)2,M值分別為37、27時(shí),重構(gòu)概率曲線最先趨于穩(wěn)定。此時(shí),在保證信號(hào)高概率重構(gòu)的條件下,系統(tǒng)所能允許的噪聲強(qiáng)度最大,即抗噪聲干擾能力最強(qiáng)。因此,在實(shí)際應(yīng)用過程中,可以通過適當(dāng)提高采樣點(diǎn)數(shù)的方法來抑制噪聲對(duì)系統(tǒng)工作的影響。

圖13 噪聲對(duì)重構(gòu)概率的影響

4 結(jié) 論

在傳統(tǒng)的基于A/D轉(zhuǎn)換器的信號(hào)采集方法下, LFM信號(hào)需要極高的采樣頻率以保證采樣過程不造成信息丟失。針對(duì)這一問題,本文提出了一種基于Gabor框架的LFM信號(hào)壓縮采樣與重構(gòu)方法。Gabor框架采樣系統(tǒng)用于實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的壓縮采樣,在該系統(tǒng)下,LFM信號(hào)的采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)均低于傳統(tǒng)采樣方法。利用壓縮的采樣點(diǎn),本文提出了基于優(yōu)化分類的LFM信號(hào)重構(gòu)方法,通過分類,保證了Gabor系數(shù)子矩陣各列之間具有良好的相關(guān)性。再利用M-SBL算法進(jìn)行逐類重構(gòu),改善LFM信號(hào)重構(gòu)效果。通過仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了本文LFM信號(hào)壓縮采樣與重構(gòu)方法的有效性。