具有非單調(diào)傳染率與連續(xù)干擾的SIQR模型的穩(wěn)定性研究*

馬艷麗，聶東明，于 萍

(安徽新華學(xué)院 通識(shí)教育部，合肥 230088)

0 引 言

傳染病是危害人類身體健康的大敵，傳染病的防治一直受到高度重視。世界各國(guó)政府和研究機(jī)構(gòu)采取了一系列的預(yù)防和控制措施，已取得輝煌的成果。但是，隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化，生態(tài)環(huán)境的變化及病原體抗藥性的增強(qiáng)，一些已被滅絕或治愈的傳染病和一些新出現(xiàn)的傳染病呈現(xiàn)出全球化傳播和發(fā)展的趨勢(shì)。因此，不管是國(guó)內(nèi)還是國(guó)外對(duì)傳染病進(jìn)行有效的預(yù)防和控制都是刻不容緩的。

此外，為了有效地預(yù)防和控制傳染病的發(fā)生和發(fā)展，通常采取相應(yīng)的預(yù)防和控制策略，并且同樣的防控策略可以用不同的方式來體現(xiàn)，如有連續(xù)接種與脈沖接種、連續(xù)剔除與脈沖剔除等[8]。目前已有大量的文獻(xiàn)[9-13]研究了連續(xù)方式的預(yù)防和控制策略對(duì)傳染病流行的影響，但關(guān)于不同預(yù)防和控制措施的混合且對(duì)各種防控措施進(jìn)行比較的文獻(xiàn)還不多見。針對(duì)上述情況，本文將連續(xù)方式的接種、剔除和隔離干擾引入模型，建立了一類具有非單調(diào)傳染率的SIQR傳染病模型，從理論研究和計(jì)算機(jī)模擬方面分析了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性以及全局穩(wěn)定性。

1 模型的假設(shè)及建立

根據(jù)上述假設(shè)和說明，可以得到如下SIQR倉(cāng)室結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 SIQR傳染病模型框圖

得到相應(yīng)的SIQR微分方程模型:

(1)

2 平衡點(diǎn)的存在性分析

對(duì)于式(1),令d+p1+γ+δ+k=m，ε+d+p2=n，則可以得到如下系統(tǒng):

(2)

(3)

總?cè)巳毫顬镹(t)，N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。由式(3)可得到總?cè)巳悍匠?

從而得到:

且D是式(3)的一個(gè)最大正向不變集。

令式(3)中各個(gè)方程的右端項(xiàng)等于零:

(4)

通過計(jì)算得到式(3)的無病平衡點(diǎn)：

當(dāng)S=m0(1+ρI2)時(shí)，得到:

m0(d0+p0)ρI2+m0I+m0(d0+p0)-A0=0

(5)

定義疾病流行與否的閾值-基本再生數(shù)：

當(dāng)R0>1時(shí)，由式(4)和(5)得到式(3)的唯一地方病平衡點(diǎn)E*(S*,I*,Q*,R*)，其中：

綜上討論可以得到如下定理:

定理1 式(3)總存在無病平衡點(diǎn)E0；當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)還存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*。

3 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理2 當(dāng)R0<1時(shí)，式(3)的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

證明當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，在無病平衡點(diǎn)E0處，式(3)的雅可比矩陣是

矩陣J(E0)的特征方程為

(λ+d0+p0)(λ+m0(1-R0))(λ+1)(λ+d0)=0

可得4個(gè)特征值分別為

λ1=-(d0+p0)，λ2=m0(R0-1)

λ3=-1，λ4=-d0

當(dāng)R0<1時(shí)，λ1<0，λ2<0，λ3<0，λ4<0，即矩陣J(E0)的一切特征值的實(shí)部都是負(fù)數(shù)，所以，式(3)的無病平衡點(diǎn)E0具有局部漸近穩(wěn)定性；當(dāng)R0>1時(shí)，特征值λ2>0，即矩陣J(E0)至少存在一個(gè)特征值，它的實(shí)部是正數(shù)。因此，無病平衡點(diǎn)E0在閉集D內(nèi)是不穩(wěn)定的。

定理3 當(dāng)R0<1時(shí)，式(3)的無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據(jù)式(3)的第一個(gè)表達(dá)式可以得到

(6)

解式(6)中的第一個(gè)和第二個(gè)方程可以得到:

從而得到:

(7)

將式(7)代入式(6)中的第3個(gè)表達(dá)式得到如下結(jié)果:

4 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理4 當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

證明在地方病平衡點(diǎn)E*處，系統(tǒng)式(3)的雅可比矩陣是

則矩陣J(E*)的4個(gè)特征值分別為λ1，λ2，λ3=-1<0，λ4=-d0<0，其中特征值λ1和λ2也是二階矩陣

的特征根，即是方程λ2+a1λ+a2=0的兩個(gè)根，其中，

由Hurwitz判據(jù)，在方程λ2+a1λ+a2=0時(shí)，有

H2=a1a2=

即特征值λ1<0，λ2<0。又由于特征值λ3=-1<0，λ4=-d0<0，從而得到矩陣J(E*)的一切特征值的實(shí)部都是負(fù)的。所以，當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

定理5 當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)的地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定。

證明因?yàn)槭?3)的前兩個(gè)式子不含有Q和R，故研究式(3)的子系統(tǒng):

(8)

對(duì)于式(8)，構(gòu)造Liapunov函數(shù):

則V(t)是正定函數(shù)，因?yàn)閂(t)沿著式(8)的導(dǎo)數(shù)有:

考慮式(3)的第三個(gè)方程，可以得到其極限方程為

借助洛必達(dá)法則得到:

同理，可以計(jì)算出:

所以，在區(qū)域D上，式(3)的地方病平衡點(diǎn)E*具有全局吸引性，結(jié)合定理4，故則當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)的地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的。

5 計(jì)算機(jī)模擬

在式(3)中，選取參數(shù)A0=0.2，ρ=3，d0=0.4，p0=0.2，m0=0.5，γ0=0.1，δ0=0.2，ε0=0.4。取 6組不同的初值分別為S(0)=0.15，I(0)=0.03，Q(0)=0.2，R(0)=0.3；S(0)=0.075，I(0)=0.025，Q(0)=0.1，R(0)=0.05；S(0)=0.2，I(0)=0.05，Q(0)=0.03，R(0)=0.1；S(0)=0.25，I(0)=0.05，Q(0)=0.16，R(0)=0.2；S(0)=0.4，I(0)=0.1，Q(0)=0.08，R(0)=0.12；S(0)=0.1，I(0)=0.2，Q(0)=0.05，R(0)=0.15。通過計(jì)算可得R0=0.666 7<1，無病平衡點(diǎn)E0=(0.333,0,0,0.167)，利用Matlab軟件對(duì)式(3)進(jìn)行數(shù)值模擬可以得到圖2。

圖2 R0=0.666 7時(shí)，6組不同初值時(shí)的無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性示圖

選取參數(shù)A0=4，ρ=0.02，d0=0.5，p0=0.2，m0=0.8，γ0=0.1，δ0=0.1，ε0=0.25。取6組不同的初值分別為S(0)=0.6，I(0)=3.4，Q(0)=2.2，R(0)=4.5；S(0)=1.5，I(0)=3，Q(0)=2.4，R(0)=4；S(0)=3.5，I(0)=0.5，Q(0)=1.8，R(0)=2；S(0)=2.5，I(0)=1.6，Q(0)=0.9，R(0)=3.4；S(0)=3，I(0)=1.2，Q(0)=4，R(0)=2.6；S(0)=2，I(0)=2.6，Q(0)=0.5，R(0)=1.5。通過計(jì)算可得R0=7.142 9>1，地方病平衡點(diǎn)E*=(1.065,4.068,0.408,1.446)，利用Matlab軟件對(duì)式(3)進(jìn)行數(shù)值模擬可以得到圖3。

圖3 R0=7.142 9時(shí)，6組不同初值時(shí)地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性示圖

由圖2和圖3可以看出，對(duì)于選定的初值，當(dāng)R0<1時(shí)，對(duì)于式(3)的解(S,I,Q,R)都趨向于無病平衡點(diǎn)E0，從而證實(shí)定理3是正確的；當(dāng)R0>1時(shí)，式(3)的解(S,I,Q,R)都穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)E*，從而說明定理5的準(zhǔn)確性。

6 接種、剔除和隔離策略的比較和分析

(9)

(10)

(11)

由式(9)(10)和(11)可以得到，Δp<0，Δδ<0，Δk<0，因此，在對(duì)傳染病進(jìn)行預(yù)防接種、隔離和剔除策略后，都可以減少基本再生數(shù)R0，從而有利于控制傳染病的發(fā)生和傳播。

由式(10)(11)可以得到，Δδ=Δk，從而說明代表隔離強(qiáng)度的參數(shù)δ，與代表剔除強(qiáng)度的參數(shù)k，對(duì)于基本再生數(shù)的影響是相同的。在其他情況不變的條件下，從基本再生數(shù)的角度看來，隔離和剔除策略對(duì)于疾病流行性態(tài)的影響是相同的。但從實(shí)際角度看來，隔離的種群需要花費(fèi)很大的治療成本，而剔除則花費(fèi)的成本較小。因此，對(duì)于沒有限制的如動(dòng)物種群，可以用剔除的方法來消除疾病，但對(duì)某些種群，剔除策略是不可行的，而隔離無疑成了替代的方式。

由式(9)(10)可知，Δp≠Δδ，即接種策略對(duì)于基本再生數(shù)的影響不同于隔離策略。將Δp與Δδ做比值，得到:

但是，從實(shí)際的角度出發(fā)，由于易感者S(t)的數(shù)量通常大于染病者I(t)的數(shù)量或隔離者Q(t)的數(shù)量，增加單位預(yù)防接種比例的成本遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于改善單位隔離成本或剔除成本。因此，在實(shí)施預(yù)防和控制傳染病的實(shí)際策略時(shí)應(yīng)考慮混合策略的情況，使得成本和效益最佳。

7 結(jié) 論

將連續(xù)方式的接種、剔除和隔離干擾引入模型，構(gòu)建了一類具有非單調(diào)傳染率的SIQR傳染病模型。利用定義法給出了模型的基本再生數(shù)R0，通過計(jì)算得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性。從理論研究和計(jì)算機(jī)模擬方面證明了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，并借助基本再生數(shù)R0的偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)連續(xù)方式的接種、剔除和隔離策略進(jìn)行了比較和分析。本文考慮的接種、剔除和隔離策略是連續(xù)方式的，且隔離策略僅僅對(duì)染病者實(shí)施，對(duì)于其他方式，如考慮脈沖方式，或?qū)σ赘姓吒綦x等問題是今后主要努力研究的方面。

參考文獻(xiàn)(References):

[1] 徐文雄，張仲華.年齡結(jié)構(gòu)SIR流行病傳播數(shù)學(xué)模型漸近分析[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37(10):1086—1089

XU W X，ZHANG Z H.Asymptotic Snalysis of Age Structure SIR Epidemic Spread Mathematical Model[J].Journal of Xi’an Jiaotong University，2003,37(10):1086—1089(in Chinese)

[2] 周美濤.一類具有雙線性發(fā)生率和常數(shù)治療函數(shù)的SIRS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，35(5):344—350

ZHOU M T.Dynamic Behavior of a SIRS Epidemic Model with Bilinear Incidence and Constant Treatment Function[J].Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition),2015,35(5):344—350(in Chinese)

[3] 馬艷麗，張仲華，聶東明.具有連續(xù)接種與剔除的SIQR流行病模型全局穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2016，29(4):782—787

MA Y L,ZHANG Z H,NIE D M.Global Stability of SIQR Epidemic Model with Vaccination Elimination Strategy[J].Applied Mathematics，2016,29(4):782—787(in Chinese)

[4] 徐金瑞，王美娟，張擁軍.一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS型傳染病模型的全局穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25(2):249—256

XU J R.WANG M J,ZHANG Y J.Global Stability of a SIS Epidemic Model with Standard Incidence[J].Journal of Biomathematics，2010,25(2):249—256(in Chinese)

[5] 馬艷麗，張仲華.潛伏類和移出類具有傳染性的SEIR模型的漸近分析[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，46(2):953—103

MA Y L,ZHANG Z H.Asymptotical Analysis of a SEIR Model with Infectious Forcein Latent Period and Immune Period[J].Journal of University of Science and Technology of China，2016,46(2):953—103(in Chinese)

[6] LI G H，JIN Z.Global Stability of a SEI Epidemic Model[J].Chaos，Solitions and Fractals，2004，21(1)，925—931

[7] XIAO D M，RUAN S G.Global Analysis of an Epidemic Model with Nonmonotone Incidence Rate[J].Mathematical Biosciences，2007，208(2):419—429

[8] 章培軍，李維德，朱凌峰.SIRS傳染病模型的連續(xù)接種和脈沖接種的比較[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，47(1):82—86

ZHANG P J,LI W D,ZHU L F.Comparison of Continuous Vaccination and Pulse Vaccination in SIRS Infectious Disease Model[J].Journal of Lanzhou University(Natural Science Edition),2011,47(1):82—86(in Chinese)

[9] MA Y L，LIU J B，LI H X.Global Dynamics of a SIQR Model with Vaccination and Elimination Hybrid Strategies[J].Mathematics，2018，6(12):328—339

[10] 周艷麗，王賀橋.具有隔離和接種策略的傳染病模型穩(wěn)定性分析[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(3):249—252

ZHOU Y L，WANG H Q.Stability Analysis of an Infectious Disease Model with Isolation and Vaccination Strategies[J].Journal of University of Shanghai for Science and Technology,2010,32(3):249—252(in Chinese)

[11] TAN X X,LI S J，DAI Q W，et al.An Epidemic Model with Isolated Intervention Based on Cellular Automata[J].Advanced Materials Research,2014,926(1):1065—1068

[12] ECKALBAR J C,ECKALBAR W L.Dynamics of a SIR Model with Vaccination Dependent on Past Prevalence with High-order Distributed Delay[J].Biosystems，2015,129(1):50—65

[13] LI J Q,YANG Y L.SIR-SVS Epidemic Models with Continuous and Impulsive Vaccination Stratgies[J].Journal of Theoretical Biology,2011,280(1):108—116