歷史視角的“無(wú)理數(shù)”概念教學(xué)思考

劉洪超 周楊

【摘要】無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的淺表化現(xiàn)象普遍存在.通過(guò)對(duì)其中幾個(gè)典型表現(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn)，從歷史視角來(lái)分析無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)知過(guò)程，有助于我們找到有效的教學(xué)路徑.人類認(rèn)知無(wú)理數(shù)的歷史表明，無(wú)理數(shù)概念建構(gòu)的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)它與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.因此，無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是讓學(xué)生感受"不可公度量"的存在.

【關(guān)鍵詞】無(wú)理數(shù);歷史視角;不可公度;教學(xué)路徑

2019年5月，筆者有幸參與了某雜志社主辦的初中數(shù)學(xué)錄像課評(píng)比活動(dòng)的第一輪評(píng)審.參賽作品中，有多則課例的教學(xué)內(nèi)容為無(wú)理數(shù)的概念，雖然它們可能對(duì)應(yīng)不同版本的《數(shù)學(xué)》教材，但是教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)都體現(xiàn)了執(zhí)教者對(duì)無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)認(rèn)識(shí).其中普遍存在的一個(gè)問(wèn)題，是無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的淺表化，引發(fā)筆者對(duì)無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的一些思考.

1無(wú)理數(shù)概念教學(xué)幾種淺表化表現(xiàn)及其分析

1.1集中精力于“一個(gè)定義+三種類型”

多數(shù)課例中的“無(wú)理數(shù)”教學(xué)其實(shí)都可以概括為“一個(gè)定義+三種類型”.先通過(guò)面積為2的正方形的邊長(zhǎng)讓學(xué)生感受2的現(xiàn)實(shí)存在，然后在幾次估算的基礎(chǔ)上告知學(xué)生2是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，再以此為基礎(chǔ)給出無(wú)理數(shù)的定義：像……這樣的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù).接下來(lái)，為了讓學(xué)生能“識(shí)別無(wú)理數(shù)”，教學(xué)的重心就轉(zhuǎn)移到“常見(jiàn)的類型”的概括上：含不盡根的、人為構(gòu)造的（比如0.1010010001…）、含π的……分析集中精力于“一個(gè)定義+三種類型”，能有效地幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)無(wú)理數(shù)概念考查，確?？荚嚨臅r(shí)候“不吃虧”.初中階段對(duì)無(wú)理數(shù)概念的直接考查，往往也就是一個(gè)選擇題：“下列數(shù)中哪一個(gè)不是有理數(shù)”.因此，很多老師在中考復(fù)習(xí)的時(shí)候仍然沿用這種方法，只不過(guò)此時(shí)的類型變成四種（比之前多出“非特殊角的三角函數(shù)”類型）.這種教學(xué)其實(shí)主要就是死記“類型”，目的只是為了“會(huì)做題”.學(xué)生往往不理解無(wú)理數(shù)的概念本質(zhì)，只知道這幾種類型的數(shù)對(duì)應(yīng)“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”.看似簡(jiǎn)單易行，效果顯著，其實(shí)是弱化了學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)概念本質(zhì)的理解，概念沒(méi)有真正建構(gòu).

1.2通過(guò)擲骰子來(lái)“創(chuàng)造”無(wú)理數(shù)

有執(zhí)教者在無(wú)理數(shù)的概念教學(xué)中設(shè)計(jì)了操作體驗(yàn)活動(dòng)：寫(xiě)一個(gè)小數(shù)，整數(shù)部分為0，小數(shù)數(shù)位上的數(shù)字完全由擲骰子決定.學(xué)生每?jī)扇艘唤M，一名學(xué)生負(fù)責(zé)擲骰子，另一個(gè)學(xué)生負(fù)責(zé)記錄.隨著擲骰子的次數(shù)越來(lái)越多，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)位上數(shù)字不斷增加，并且隨機(jī)產(chǎn)生，沒(méi)有規(guī)律……

分析通過(guò)擲骰子來(lái)“創(chuàng)造”無(wú)理數(shù)，目的是幫助學(xué)生理解無(wú)理數(shù)的“無(wú)限”和“不循環(huán)”特征.通過(guò)“擲骰子”結(jié)果的隨機(jī)性，可以讓學(xué)生體會(huì)到自己所創(chuàng)造的“無(wú)理數(shù)”小數(shù)位上的數(shù)字“沒(méi)有規(guī)律”.但是筆者發(fā)現(xiàn)，這種操作體驗(yàn)活動(dòng)不僅不能幫助學(xué)生理解無(wú)理數(shù)“無(wú)限不循環(huán)”的原因，反而容易給學(xué)生帶來(lái)的認(rèn)知上的誤導(dǎo).關(guān)于這一點(diǎn)，筆者之前曾做過(guò)研究，“擲骰子創(chuàng)造無(wú)理數(shù)”之后，很多學(xué)生認(rèn)同“無(wú)理數(shù)的大小是不確定的，小數(shù)點(diǎn)后數(shù)位上的數(shù)字是隨機(jī)產(chǎn)生的”.也就是說(shuō)，“擲骰子創(chuàng)造無(wú)理數(shù)”很容易導(dǎo)致學(xué)生把“無(wú)限”和“不循環(huán)”錯(cuò)誤地理解為“不確定”.

1.3把夾逼估算無(wú)理數(shù)作為重點(diǎn)

有執(zhí)教者通過(guò)面積為2的正方形邊長(zhǎng)來(lái)說(shuō)明2的“客觀存在”，接下來(lái)將教學(xué)重點(diǎn)放在“2是一個(gè)什么樣的數(shù)”上，用“二分法”不斷地夾逼，逐步確定2的個(gè)位、十分位、百分位、千分位……最后歸納總結(jié)：“像2這樣的數(shù)，用二分法可以不斷逼近它，但它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們把無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù).”

分析用夾逼法估算2的值，既可以讓學(xué)生在一定程度上體會(huì)無(wú)理數(shù)的“無(wú)限”“不循環(huán)”，又可以讓學(xué)生掌握一種有效的估算策略（“二分法”逼近）.但是，從無(wú)理數(shù)概念理解的角度來(lái)看，把夾逼估算無(wú)理數(shù)作為重點(diǎn)并不能幫助學(xué)生真正理解無(wú)理數(shù)與之前的“有理數(shù)”有什么本質(zhì)區(qū)別，其“無(wú)理”究竟表現(xiàn)在哪里.有限次的“夾逼”之后，概念的理解其實(shí)仍然歸結(jié)為教師的一個(gè)告知——“它是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，被稱為無(wú)理數(shù).”從思維策略與思想方法的角度來(lái)看，“夾逼法估算無(wú)理數(shù)”的具有一定的教學(xué)價(jià)值，但它不應(yīng)該是無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn).

上述幾種教學(xué)表現(xiàn)，其實(shí)都只是在圍繞著無(wú)理數(shù)的小數(shù)定義（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)就是無(wú)理數(shù)）“打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”，要么是死記定義，要么就是對(duì)定義的字面表述進(jìn)行解釋或者驗(yàn)證（幫助學(xué)理解“無(wú)限”和“不循環(huán)”）.經(jīng)過(guò)這樣的無(wú)理數(shù)概念學(xué)習(xí)，學(xué)生只是知道“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)”，卻不能很好地理解無(wú)理數(shù)與之前所學(xué)的有理數(shù)有什么區(qū)別.為什么要提出無(wú)理數(shù)的概念？為什么無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)？如果學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題完全沒(méi)有認(rèn)識(shí)，那么無(wú)理數(shù)的概念是不可能有效建構(gòu).有研究者發(fā)現(xiàn)，“近60%的學(xué)生關(guān)于無(wú)理數(shù)概念的知識(shí)點(diǎn)是孤立的，頭腦中缺乏合理的圖式結(jié)構(gòu)”[1].筆者認(rèn)為，造成這種狀況的主要原因就在于，教師在無(wú)理數(shù)的前期教學(xué)中沒(méi)有注重概念的實(shí)質(zhì)性建構(gòu)，而在后期教學(xué)中又只關(guān)注了化簡(jiǎn)與運(yùn)算.

無(wú)理數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).概念建構(gòu)的關(guān)鍵在哪里？教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在哪里？學(xué)生理解無(wú)理數(shù)的困難是什么？怎樣的布局設(shè)計(jì)才能更好地幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)？教師只有對(duì)這些問(wèn)題有深入思考與正確認(rèn)識(shí)，才能避免教學(xué)的淺表化.

2歷史視角的“無(wú)理數(shù)”教學(xué)再認(rèn)識(shí)

美國(guó)數(shù)學(xué)史家M·kline認(rèn)為，“歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，正是學(xué)生也會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙”[1].也就是說(shuō)，如果我們期望尋找無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的有效路徑，把握其中的難點(diǎn)與關(guān)鍵，那么人類認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)的歷史進(jìn)程就是最具有借鑒價(jià)值的“范本”.

2.1人類認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)的歷程

在發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)之前，人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)最具代表性的當(dāng)屬畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”，即自然界中的一切數(shù)量都可以歸結(jié)為整數(shù)或者整數(shù)之比（即有理數(shù)）[2].然而，該學(xué)派的希伯索斯卻發(fā)現(xiàn)了不可公度量的存在.所謂“不可公度”，就是無(wú)論如何都找不到一個(gè)長(zhǎng)度單位，使得兩個(gè)線段（比如正方形的對(duì)角線與一邊）的長(zhǎng)度都表示為整數(shù).這就意味著這兩個(gè)線段的長(zhǎng)度之比，無(wú)法表示成分?jǐn)?shù).這個(gè)發(fā)現(xiàn)直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)基礎(chǔ)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).其后很長(zhǎng)的一段時(shí)間，無(wú)理數(shù)對(duì)人們而言始終如一團(tuán)迷霧.起初，數(shù)學(xué)家們承認(rèn)（不得不承認(rèn)）不可公度量的存在，但是不認(rèn)為無(wú)理數(shù)是“數(shù)”（即將“數(shù)”與“量”分離）[1].直到16世紀(jì)，無(wú)理數(shù)才開(kāi)始被人們接受和使用.但是，一直到18世紀(jì)人們也沒(méi)有完全認(rèn)清無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，因此對(duì)于無(wú)理數(shù)本身無(wú)法抽象出一個(gè)合理的表述方式[3].后來(lái)，隨著穩(wěn)定的十進(jìn)位小數(shù)的表達(dá)形式逐漸形成以及超越數(shù)的發(fā)現(xiàn)與證明，人們對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)逐漸清晰.19世紀(jì)后期，在數(shù)學(xué)公理化力量的推動(dòng)下，柯西、康托爾、戴德金等數(shù)學(xué)家分別從不同角度定義了無(wú)理數(shù)，使得實(shí)數(shù)理論體系趨于完備.在此基礎(chǔ)上，斯托爾茲于1886年證明了“每一個(gè)無(wú)理數(shù)均可表示成不循環(huán)小數(shù)”，并用這一事實(shí)來(lái)定義無(wú)理數(shù)[4].20世紀(jì)50年代以后，“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”定義被教科書(shū)廣泛采用[5].

2.2無(wú)理數(shù)歷史對(duì)教學(xué)的啟示

歷史上，從無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)到實(shí)數(shù)集合的建立，經(jīng)歷了2500多年.由此可以想見(jiàn)，初中學(xué)生在認(rèn)知無(wú)理數(shù)時(shí)所需要面對(duì)的困難.在無(wú)理數(shù)概念發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程中，一些看似偶然的“關(guān)鍵事件”其實(shí)體現(xiàn)了必然的認(rèn)識(shí)順序，這個(gè)認(rèn)識(shí)順序可概括如圖1所示.這個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的認(rèn)識(shí)過(guò)程給教學(xué)帶來(lái)如下啟示：圖1

（1）對(duì)有理數(shù)本質(zhì)特征的充分認(rèn)識(shí)，是建構(gòu)無(wú)理數(shù)概念的基礎(chǔ).無(wú)理數(shù)與有理數(shù)最終將一同建構(gòu)為“實(shí)數(shù)”的下位概念，學(xué)生原有的“有理數(shù)”概念在此充當(dāng)新概念的“固著點(diǎn)”.如果學(xué)生還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到有理數(shù)的本質(zhì)特征（可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比），那么學(xué)生就無(wú)法認(rèn)識(shí)到無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.

（2）不可公度量是無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)知起點(diǎn).歷史上無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是從不可公度量開(kāi)始的，由“量”到“數(shù)”的過(guò)程體現(xiàn)的是從直觀到抽象的認(rèn)識(shí)順序.雖然沒(méi)有直接的證據(jù)表明希伯索斯最早是從正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線發(fā)現(xiàn)不可公度量的，但是類似根號(hào)2這樣的“不盡根”，相比其它無(wú)理數(shù)確實(shí)具有更簡(jiǎn)單的直觀背景，能夠很好地降低推理論證難度，便于學(xué)生理解和接受.

（3）邏輯上的證實(shí)（比如分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系以及不可公度性的證明）對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)雖然存在一定的困難，但是推理論證對(duì)概念建構(gòu)的促進(jìn)作用不容忽視.因?yàn)檫壿嬌系闹?，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派即使將希伯索斯扔進(jìn)大海，也阻擋不了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的到來(lái).回避邏輯論證的無(wú)理數(shù)教學(xué)，必然會(huì)有太多的告知成份，不僅影響學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)信念，也是一種數(shù)學(xué)文化角度的價(jià)值流失.

（4）無(wú)理數(shù)的小數(shù)定義是實(shí)數(shù)理論體系完備之后新出現(xiàn)的定義，它對(duì)概念建構(gòu)的促進(jìn)作用不是很大，因?yàn)樗从车臒o(wú)理數(shù)的本質(zhì)是內(nèi)隱的[6].小數(shù)定義的優(yōu)點(diǎn)是使具體的無(wú)理數(shù)具有數(shù)量上的直觀性，與數(shù)軸直接對(duì)應(yīng)，便于比較和近似計(jì)算[3].無(wú)理數(shù)的表示定義（不能表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)）雖然沒(méi)有被教材作為定義使用，但是它在知識(shí)建構(gòu)中起到關(guān)鍵作用.綜上所述，筆者認(rèn)為無(wú)理數(shù)概念教學(xué)建構(gòu)的關(guān)鍵在于理解無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，感受不可公度量的存在（包括從邏輯上確認(rèn)）應(yīng)該是無(wú)理數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn).小數(shù)角度的無(wú)理數(shù)定義具有更高的“實(shí)用價(jià)值”，但是從概念建構(gòu)的角度來(lái)看，它只能在概念建構(gòu)后期，作為概念的多角度理解.

3對(duì)應(yīng)的教學(xué)路徑及難點(diǎn)突破

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為無(wú)理數(shù)概念教學(xué)應(yīng)該按照以下順序展開(kāi)：

第①步：揭示有理數(shù)的本質(zhì)特征.這項(xiàng)工作應(yīng)該在之前的有理數(shù)教學(xué)中（比如章小結(jié)的時(shí)候）完成.揭示有理數(shù)的本質(zhì)特征，不只是強(qiáng)調(diào)“整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”這個(gè)定義，更重要的是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到將有理數(shù)分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)是完備的.

第②步：研究面積為2正方形的邊長(zhǎng).在還沒(méi)有學(xué)習(xí)勾股定理的情況下，這個(gè)正方形可以由兩個(gè)面積為1的正方形剪拼而成（如圖2）.從操作和直觀開(kāi)始，讓學(xué)生感受到不可公度量的客觀存在.圖2

第③步：探討平方為2的正數(shù)（即2）是一個(gè)什么樣的數(shù).由有理數(shù)的分類自然想到分類討論：是整數(shù)嗎？為什么？是分?jǐn)?shù)嗎？為什么？邏輯上的確認(rèn)在這里是必要的，也是可能的.

第④步：反向定義無(wú)理數(shù)（不能表示成兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，等同于“不是有理數(shù)的數(shù)是無(wú)理數(shù)”）.由此可以認(rèn)識(shí)到數(shù)系擴(kuò)充的必要性.

第⑤步：從小數(shù)角度研究平方為2的正數(shù)（即2）的大小.這里可以引入逼近法，但是最終要引導(dǎo)學(xué)生思考：小數(shù)表示的結(jié)果會(huì)不會(huì)是有限的？會(huì)不會(huì)循環(huán)？（與之前有理數(shù)教學(xué)呼應(yīng)）

第⑥步：給出無(wú)理數(shù)的小數(shù)定義.同時(shí)為之前接觸過(guò)的超越數(shù)π“確認(rèn)身份”.

在這個(gè)認(rèn)知過(guò)程中，存在兩個(gè)難點(diǎn)：

第一個(gè)難點(diǎn)，是有理數(shù)本質(zhì)特征的揭示.因?yàn)閷W(xué)生頭腦中已經(jīng)有了小數(shù)概念，于是將有理數(shù)分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)就必須把“小數(shù)”建構(gòu)進(jìn)去.學(xué)生當(dāng)前認(rèn)識(shí)到的小數(shù)主要是有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)，兩者與分?jǐn)?shù)是等價(jià)的，可以相互轉(zhuǎn)化.為了便于學(xué)生理解后續(xù)的無(wú)理數(shù)定義（指小數(shù)定義），這里既要說(shuō)明有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，又有必要說(shuō)明每個(gè)分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)化有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù).考慮到學(xué)生的接受能力，有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，只能具體舉例讓學(xué)生感受（嚴(yán)格證明需要用到級(jí)數(shù)求和公式）;任何分?jǐn)?shù)都能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù)，可以從除法的角度進(jìn)行說(shuō)理：兩個(gè)整數(shù)相除，如果除得盡，那就是有限小數(shù);如果除不盡，那么余數(shù)一定比分母小.比分母小的整數(shù)個(gè)數(shù)必定是有限的，于是對(duì)應(yīng)余數(shù)也是有限的.在余數(shù)有限的情況下無(wú)限次除下去，必然會(huì)出現(xiàn)余數(shù)相同的情況，一旦余數(shù)相同，就是循環(huán)節(jié)的出現(xiàn).筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在小學(xué)階段除法的經(jīng)驗(yàn)非常豐富.通過(guò)這樣的正向舉例加反向論證，大部分學(xué)生是能理解和接受的.

第二個(gè)難點(diǎn)，是讓學(xué)生理解無(wú)理數(shù)（比如2）不可以表示為分?jǐn)?shù).教材中往往只采取不完全歸納的方法直接得到結(jié)論，推理論證通常只作為課后的“閱讀材料”.由于教材中所采用的反證法（此略）需要用到“只有偶數(shù)的平方才能為偶數(shù)”，學(xué)生理解起來(lái)比較困難.相比而言，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（C.Davies，1798～1876）的證明方法更容易讓初中學(xué)生領(lǐng)會(huì)：首先證明平方為2的數(shù)不是整數(shù)（12=1，22=4于是平方為2的正數(shù)介于1和2之間）;然后考慮它是否為分?jǐn)?shù)，假設(shè)它是分?jǐn)?shù)，并且可以表示為既約分?jǐn)?shù)mn，這里m，n互質(zhì)，n≠1，于是m2n2=2.m和n互質(zhì)，那么m2和n2也互質(zhì)，因?yàn)閙2n2與mn的分子、分母所含的因數(shù)是相同的（只是重復(fù)一次）.這說(shuō)明m2n2不可能約分得到2，于是之前假設(shè)是錯(cuò)誤的[5].

以上過(guò)程中的說(shuō)理與論證，目的不是要讓學(xué)生掌握相應(yīng)的證明方法，而是讓學(xué)生更好地理解和接受新概念，堅(jiān)定無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)信念，感悟無(wú)理數(shù)歷史中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精神.

4結(jié)語(yǔ)匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的兒童應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)作出更好的判斷.”荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也有類似觀點(diǎn)：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變了.”[7]從數(shù)學(xué)史的角度分析與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，能夠有效地幫助我們理解學(xué)生概念學(xué)習(xí)過(guò)程中的實(shí)際困難，進(jìn)而有助于我們找準(zhǔn)教學(xué)著力點(diǎn)，提高教學(xué)的有效性.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：劉洪超（1978—），男，碩士，江蘇省特級(jí)教師.周楊（1977—），男，中學(xué)高級(jí)教師，連云港市海州區(qū)名師.