讓習(xí)題課插上思維的“翅膀”

戴文革 朱振

【摘要】數(shù)學(xué)習(xí)題課應(yīng)該根據(jù)階段性教學(xué)內(nèi)容將教學(xué)資源進(jìn)行有機(jī)的融合，設(shè)計(jì)以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為目標(biāo)，滲透如何數(shù)學(xué)思考、如何解決問(wèn)題為主旨的數(shù)學(xué)活動(dòng).本課例在整合教學(xué)資源的基礎(chǔ)上，有效地設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、引發(fā)思考、探究結(jié)論、嘗試運(yùn)用，彰顯數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在平時(shí)課堂中觀察發(fā)現(xiàn)，許多教師在習(xí)題課教學(xué)時(shí)，幾乎都是利用試卷逐題對(duì)答案或大而化之講講，往往停留在方法的簡(jiǎn)單展示、題目剖析不系統(tǒng)不深入的現(xiàn)象.而章建躍先生指出：要樹(shù)立數(shù)學(xué)整體觀，從中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，切實(shí)做到既見(jiàn)樹(shù)木也見(jiàn)森林.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，再進(jìn)行必要的補(bǔ)充、精簡(jiǎn)、調(diào)整、整理、統(tǒng)合，從而建立更加有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)，并落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去[1].林崇德教授指出：“教學(xué)的首要任務(wù)，是在傳授知識(shí)的同時(shí)，靈活地發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的智力和能力.”“思維是智力和能力的核心”，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)“自始至終將思維的發(fā)展與培養(yǎng)放在首位”.所以筆者認(rèn)為習(xí)題課要建立在章建躍先生提出的“三個(gè)理解、兩個(gè)關(guān)鍵、一個(gè)核心”基礎(chǔ)上，以知識(shí)為載體，思想方法為核心，提高解決問(wèn)題能力為切入點(diǎn)，在課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)思維的生長(zhǎng)性、深刻性、靈活性、創(chuàng)造性，從而切實(shí)完善學(xué)生良好的思維品質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)和學(xué)科素養(yǎng)提升的目標(biāo).

1課例再現(xiàn)

1.1課例背景這是七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)完有理數(shù)和代數(shù)式之后，在期中復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的拓展性教學(xué)活動(dòng).教學(xué)活動(dòng)的主線是在利用數(shù)軸解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)生思維沖突、引發(fā)思考，進(jìn)而提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、歸納總結(jié)方法，最后再到知識(shí)方法應(yīng)用.

1.2教學(xué)過(guò)程片斷

教師：猜一猜，下面描述的是什么數(shù)學(xué)圖形？

你胸懷寬廣，

容納了所有的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，

你是數(shù)字與圖形的完美結(jié)合.

在你寧?kù)o的世界里，

正數(shù)、零、負(fù)數(shù)和諧地相處著.

最右邊的箭頭就是你前行的標(biāo)志，

只有起點(diǎn)，沒(méi)有終點(diǎn)，

尤如歷史的車(chē)輪總是滾滾向前！

學(xué)生：數(shù)軸.

教師：這節(jié)課我們一起利用數(shù)軸解決問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖用詩(shī)一樣的語(yǔ)言描述數(shù)軸，賦以數(shù)軸以生命.讓學(xué)生猜，不僅自然地揭示課題、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，而且陶冶學(xué)生的情操，達(dá)到育人的目標(biāo).

活動(dòng)探究一

讀圖（圖1）獲信息：

學(xué)生5：若要化簡(jiǎn)，就要先判斷a+b、a-b的正負(fù)性，再依據(jù)求絕對(duì)值法則求絕對(duì)值，最后再去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng).

學(xué)生6：利用實(shí)物投影展示解題過(guò)程，并陳述解題每一步的依據(jù).

設(shè)計(jì)意圖讀圖是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)思考和解決問(wèn)題的重要手段，所以設(shè)計(jì)了具有開(kāi)放性的讀數(shù)軸獲信息這一環(huán)節(jié)，不僅培養(yǎng)學(xué)生從圖中搜集、分析和處理信息的能力，而且滲透了數(shù)形結(jié)合思想，為解決問(wèn)題提供了生長(zhǎng)點(diǎn)，同時(shí)發(fā)展了學(xué)生形象思維與抽象思維的能力.活動(dòng)探究二

問(wèn)題呈現(xiàn)：

①如圖2，點(diǎn)A表示的數(shù)是，若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后表示的數(shù)是;

②點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-1.82，若點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后表示的數(shù)是.

教師：針對(duì)問(wèn)題①，你的方法是什么？

學(xué)生1：利用數(shù)軸，向右平移，數(shù)單位長(zhǎng)度.

教師：比較問(wèn)題①與問(wèn)題②，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生2：?jiǎn)栴}①與問(wèn)題②屬于同樣的問(wèn)題，但問(wèn)題①的方法不能遷移到問(wèn)題②中.

教師：為什么方法不能遷移運(yùn)用了呢？

學(xué)生3：由于是小數(shù)不是整數(shù)，所以無(wú)法利用數(shù)軸數(shù)單位長(zhǎng)度解決.

教師：這樣以來(lái)，我們可以確定怎樣的探究主題？

學(xué)生4：點(diǎn)在數(shù)軸上平移，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)的變換法則？

教師：大家認(rèn)為我們?cè)撛鯓友芯窟@個(gè)問(wèn)題呢？你們獨(dú)立思考后再小組討論.

學(xué)生5：我們可以利用幾個(gè)特殊的例子，總結(jié)出一般性的結(jié)論.

教師：請(qǐng)大家以小組為單位，每一個(gè)人都舉一個(gè)例子，小組共同探討研究.

經(jīng)過(guò)小組合作、交流得到了探究結(jié)論：點(diǎn)在數(shù)軸上平移，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)變換法則是“向右加，向左減”.

教師：探究出結(jié)論，看一看同學(xué)們能否靈活地運(yùn)用！

解決問(wèn)題：

1、在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，距點(diǎn)A有2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是.

2、在數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為-2，若點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，則t秒后，點(diǎn)B表示的數(shù)為.

生6：-1或-5.

生7：-2+2t.

教師：請(qǐng)大家反思解決問(wèn)題過(guò)程中兩種方法（一個(gè)是通過(guò)數(shù)軸數(shù)單位長(zhǎng)度，一個(gè)是通過(guò)法則計(jì)算）的優(yōu)缺點(diǎn)？

生8：通過(guò)數(shù)軸數(shù)單位長(zhǎng)度形象直觀，但具有局限性;而通過(guò)法則計(jì)算抽象，但簡(jiǎn)捷、通用.

設(shè)計(jì)意圖要獲取豐富深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、科學(xué)有效的解題經(jīng)驗(yàn)，始終離不開(kāi)學(xué)生主體的深入探究.學(xué)生親身經(jīng)歷了方法遷移→思維沖突→提出探究主題→確定探究方法→深入探究→歸納結(jié)論→解決問(wèn)題等活動(dòng)歷程，培養(yǎng)了觀察、比較、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、方法思想應(yīng)用、數(shù)學(xué)思考、歸納等多種數(shù)學(xué)能力.這樣的問(wèn)題探究具有典型性、探究性和推廣性，有效地錘煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.活動(dòng)探究三

問(wèn)題呈現(xiàn)：

①如圖3，點(diǎn)A、點(diǎn)B是數(shù)軸上兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離為單位長(zhǎng)度.

②如果點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b（圖4），則這兩點(diǎn)之間的距離是多少？

教師：通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題解決的思維對(duì)比，你能在活動(dòng)探究二獲得的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上確定本活動(dòng)探究主題、探究方法，探究歸納出一般性結(jié)論嗎？以小組為單位進(jìn)行探究.

學(xué)生1：本題的探究主題是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算方法.

學(xué)生2：探究方法與活動(dòng)探究二一樣，多舉幾個(gè)特殊例子，歸納出一般性結(jié)論.

學(xué)生3：歸納出結(jié)論是：AB=b-a.

教師：為什么不能是a-b呢？

學(xué)生4：a-b是負(fù)數(shù)了.

學(xué)生5：求a-b的絕對(duì)值也可以.

教師：AB=b-a或a-b，能不能統(tǒng)一一下結(jié)論形式呢？

學(xué)生6：AB=b-a或a-b.

解決問(wèn)題：（個(gè)人獨(dú)立思考）

1.數(shù)軸上表示1和-3的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是.

2.數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是.

3.式子x+3可以表示為數(shù)軸上哪兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離？

4.若x表示一個(gè)有理數(shù)，式子x-1+x+3有最小值嗎？若有，請(qǐng)求出最小值;若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)理由.

教師：哪個(gè)小組代表發(fā)言？

學(xué)生1：利用總結(jié)的公式，可得答案是4.

學(xué)生2：x-2或2-x

學(xué)生3：要想知道是哪兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，就要將式子x+3變成公式的樣子，所以將x+3變成x-（-3），因此x+3表示x與-3兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

對(duì)于問(wèn)題4具有一定的難度，學(xué)生的逆向思維受限，所以教師適時(shí)點(diǎn)拔，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題3的思維基礎(chǔ)上，由數(shù)想形試試.

學(xué)生4：式子x-1+x+3可以變化為x-1+x-（-3），從數(shù)軸上可以理解為x與1、-3的距離之和，利用數(shù)軸，在x變化的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)x在1與-3之間距離之和最小，最小值為4，所以x-1+x+3最小值為4.

教師：?jiǎn)栴}4如果從數(shù)的角度很難解決，因此根據(jù)式子的特征聯(lián)想到利用數(shù)軸來(lái)解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.題目中x是未知的，所以可以用運(yùn)動(dòng)的視角來(lái)審視x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在活動(dòng)探究二中已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)思考和活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，所以這一探索活動(dòng)完全放手給學(xué)生，承前啟后地利用類(lèi)比去探究、去構(gòu)建.在探究的過(guò)程中進(jìn)一步積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與方法，滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力、由數(shù)量特征聯(lián)想幾何特征的聯(lián)想能力、從個(gè)體特征歸納一般特征的能力，在觸類(lèi)旁通中體驗(yàn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的威力，喚發(fā)數(shù)學(xué)思維活力.

2教學(xué)思考

2.1習(xí)題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)性

卜以樓的教學(xué)主張指出：生長(zhǎng)型構(gòu)架理念下的習(xí)題課，是一個(gè)讓學(xué)生在更高視野下的構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程，也是一個(gè)讓學(xué)生在更深思維下的感受生長(zhǎng)的過(guò)程，還是一個(gè)讓學(xué)在更精文化下的發(fā)展自我的過(guò)程，在實(shí)際操作中可以選準(zhǔn)一條主干、突出一個(gè)主題、經(jīng)歷一次生長(zhǎng)、實(shí)現(xiàn)一眸回顧[2].本課例以數(shù)軸解決問(wèn)題為主題，從整體上設(shè)計(jì)了三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，有機(jī)融合，層層遞進(jìn).在活動(dòng)探究二中，通過(guò)條件的改變，引發(fā)數(shù)學(xué)思維沖突，深入思考，促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出研究主題、確定研究方法、深入研究并歸納總結(jié)結(jié)論，這樣讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的完整思維的生長(zhǎng)過(guò)程，不但讓學(xué)生獲得了知識(shí)，而且積累了數(shù)學(xué)思考的方法、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的解題素養(yǎng)也得到了提升.活動(dòng)探究三是類(lèi)比活動(dòng)探究二進(jìn)行有序、有效的深入研究，再一次讓學(xué)生感受問(wèn)題解決的完整思維生長(zhǎng)過(guò)程，從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)化、能力化、成長(zhǎng)化.

2.2習(xí)題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深刻性

習(xí)題課要著眼于學(xué)生發(fā)展，著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)的的提升.讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，積累一些思維素養(yǎng)，這樣的教育才能讓學(xué)生終生受益[3].本課例從知識(shí)、方法、能力的角度有效地將三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)有機(jī)融合，全方位地錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.活動(dòng)中學(xué)生有效地利用數(shù)學(xué)概念、思想方法去對(duì)比發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、類(lèi)比研究問(wèn)題、從特殊歸納出一般性結(jié)論，促使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中明辯數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系，在完整的探究應(yīng)用過(guò)程中深化數(shù)學(xué)思維，在結(jié)論的應(yīng)用及思想方法的滲透中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，從而形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生終身受益.

2.3習(xí)題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性

學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)，總是用適用于這一具體問(wèn)題的具體方法.如果對(duì)這種具體方法不加提煉、概括，那么適用性很小，不易產(chǎn)生遷移.為了提高解題質(zhì)量，通過(guò)解題達(dá)到熟練掌握數(shù)學(xué)基本概念、基本思想的目的，使學(xué)生能舉一反三，教師必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種具體方法進(jìn)行再加工，從中提煉出可以適用于一般的、具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法[4].本課例通過(guò)具體問(wèn)題中數(shù)據(jù)的變換，引發(fā)思維沖突，促使學(xué)生改變先前的思維過(guò)程，尋找解決問(wèn)題的新途徑，從而探究概括出點(diǎn)在數(shù)軸上平移時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)變化法則、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算法則，再運(yùn)用法則解決實(shí)際問(wèn)題.在問(wèn)題系統(tǒng)解決的過(guò)程中，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、思考的方向、研究方法的確定、從具體例子歸納概括、解決具體問(wèn)題方法的靈活運(yùn)用上無(wú)不體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性.

2.4習(xí)題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)教學(xué)其本質(zhì)是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性是創(chuàng)新能力的基石.所以在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中要設(shè)置一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)情境，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造性的培養(yǎng).本課例設(shè)置了一定的思維場(chǎng)景，促使學(xué)生發(fā)生思維沖突，提出問(wèn)題、討論問(wèn)題，在獨(dú)立思考、小組交流的基礎(chǔ)上突破常規(guī)，探索發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.在基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的理解基礎(chǔ)上進(jìn)行信息整合、問(wèn)題確立、概括歸納、遷移運(yùn)用、問(wèn)題解決等深度學(xué)習(xí)的過(guò)程中提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新能力.特別是活動(dòng)探究三中的問(wèn)題4解決，學(xué)生能由式子x-1+x+3的表面特征，洞察到式子的本質(zhì)，有效地從數(shù)量特征聯(lián)想幾何特征，從而創(chuàng)造性的利用形來(lái)解決數(shù)的問(wèn)題，在此過(guò)程中學(xué)生感受成功的愉悅，喚發(fā)創(chuàng)新才能.

參考文獻(xiàn)

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