賦s范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的單調(diào)性

王俊明 佟秋誼

摘 要：單調(diào)性是Banach空間幾何學(xué)的重要內(nèi)容。研究賦s-范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的單調(diào)性，并給出s-范數(shù)的一些基本性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，得到了賦s-范數(shù)Orlicz空間嚴(yán)格單調(diào)性和局部單調(diào)性的判據(jù)。

關(guān)鍵詞：s-凸函數(shù);Orlicz空間;單調(diào)性

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.021

中圖分類號(hào)： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）03-0140-07

Monotonicity of Orlicz Function Space-equipped with S-norm

WANG Jun-ming， TONG Qiu-yi

（Department of Applied Mathematics， Harbin University of ScienceAnd Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Monotonicity is important to Banach space geometry.In this paper， the monotonicity of Orlicz spaces equipped with the s-norm are dicussed. First， we gave some basic properties of the spaces. Using these properties， we obtained the criteria for strict monotonicity and upper local uniformly monotonicity in Orlicz spaces equipped with s-norm.

Keywords：s-convex function; Orlicz spaces; monotonicity

0 引 言

眾所周知，Banach空間的單調(diào)性是Banach空間[1]幾何理論重要內(nèi)容之一，而Orlicz空間作為一類特殊的Banach空間，1932年波蘭著名數(shù)學(xué)家W.Orlicz[2]給出了Orlicz空間[3]LΦ的定義并引入了Orlicz范數(shù)[4]。自此之后，經(jīng)過越來越多的人對其研究，Orlicz空間理論[2-7]得到了長足的發(fā)展。自1999年，劉延明等[5]給出了Orlicz函數(shù)空間的一致單調(diào)性與嚴(yán)格單調(diào)性的判據(jù)。人們在此之后又對單調(diào)性進(jìn)行深入研究。例如：2004年，H.Hudzik、劉新波等[8]討論了賦Luxemburg范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間的單調(diào)點(diǎn)。2005年，崔云安、H.Hudzik等[9]給出了賦Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz空間具有嚴(yán)格單調(diào)性、一致單調(diào)性、上（下）局部一致單調(diào)性的判據(jù)。與此同時(shí)得到了許多重要的結(jié)果。近年來，Orlicz空間的單調(diào)性在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。迄今為止，關(guān)于賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)[2，5]以及p-Amemiya范數(shù)[10-11]的Orlicz空間性質(zhì)的研究已經(jīng)相對成熟。本文研究具有比上述三種范數(shù)有著更廣泛意義的新范數(shù)s-范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的單調(diào)性問題。主要給出其單調(diào)性判別準(zhǔn)則，并據(jù)此得到賦s-范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的嚴(yán)格單調(diào)性等問題。

X是線性空間，設(shè)（G，Σ，μ）是有限、無原子的測度有限的測度空間。L0（E）表示E上的可測實(shí)函數(shù)全體。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 稱Φ：R→R+=[0，+∞）為s凸函數(shù)s∈（0，1]是指：對于λ∈[0，1]u，v∈R，有

Φ（λu+（1-λ）v）≤λsΦ（u）+（1-λ）sΦ（v）。

當(dāng)s=1時(shí)，s-凸函數(shù)就是通常意義下的凸函數(shù)。

定義2 設(shè)L0表示定義在E上的可測實(shí)函數(shù)全體，定義s-凸模IΦ（·）：L0（E）→[0，+∞]如下：

IΦ（u）=∫EΦ（u（t））dt，u∈L0（E）。

記

LΦ={u∈L0（E）：λ>0，IΦ（λu）<∞}

及

EΦ={u∈L0（E）：λ>0，IΦ（λu）<∞}

則LΦ或EΦ是關(guān)于Luxemburg范數(shù)

‖u‖s（Φ）=infk>0;IΦuks≤1，s∈（0，1]

構(gòu)成的s-范數(shù)Banach空間，稱為賦s-范數(shù)的Orlicz空間。

記為（LΦ，‖·‖sΦ）。

定義3 設(shè)（X，‖·‖）為Banach函數(shù)空間。若|f（x）|≤|g（x）|，且存在一個(gè)eE滿足：μ（e）>0，|f（x）|<|g（x）|，x∈e，有‖f‖<‖g‖。稱（X，‖·‖）是嚴(yán)格單調(diào)的。

定義4 稱Banach格X具有下局部一致單調(diào)性，如果對任意的x∈X+，‖x‖=1及任意ε>0，存在δ（x，ε）>0，使得對于任意的y∈X+，‖y‖≥ε，有

‖x-y‖<1-δ（x，ε）

有關(guān)賦Orlicz范數(shù)、Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的各種單調(diào)性的研究結(jié)果請參看文[12-20]。

2 主要結(jié)果及證明

類似于Orlicz空間的定義。定義s-Orlicz范數(shù)如下。

定理1 設(shè)所研究的新范數(shù)的定義為

‖u‖sΦ=inf1ks（1+IΦ（ku）），s∈（0，1]

下面我們來證它是一個(gè)s-范數(shù)。

證明：首先證明新定義的s-范數(shù)滿足范數(shù)的條件。

1）正定性：

因?yàn)?/p>

‖u‖sΦ=0inf1ks（1+IΦ（ku））=0

從而存在kn∈R+滿足

1ksn（1+IΦ（ku））→0

因?yàn)椋?+IΦ（u））≠0，于是有1kn→0。從而kn→∞。假設(shè)u≠0，則存在一個(gè)a>0滿足m（{t∈E：|u（t）|≥a}）=δ>0。因?yàn)棣担╱）是一個(gè)s-凸函數(shù)，所以我們對于任意的α∈（0，1），有

Φ（αu）=Φ（αu+（1-α）0）

≤αsΦ（u）+（1-α）sΦ（0）=αsΦ（u）。

從而對于任意0<α1<α2，我們有

Φ（α1）=Φα1α2α2≤α1α2sΦ（α2）

則

Φ（α1）αs1≤Φ（α2）αs2

即F（u）=Φ（u）us關(guān)于u是單調(diào)遞增函數(shù)。由單調(diào)有界原理知：

1ksn∫EΦ（ku（t））dt≥1ksn∫{t∈E：u（t）≥a}Φ（ku（t））dt≥

Φ（ka）ksnm（{t∈E：|u（t）|≥a}）≥

Φ（ka）ksnδ=limu→∞Φ（u）us>0

與inf1ksn（1+IΦ（ku））=0矛盾。即此范數(shù)滿足正定性。

2）s-齊次性：對于任意實(shí)數(shù)a∈R，

‖au‖sΦ=inf1ks（1+IΦ（kau））=

inf|a|s|a|sks（1+IΦ（kau））=

|a|sinf1|a|sks（1+IΦ（kau））=

|a|s‖u‖sΦ

易知此范數(shù)滿足s-齊次性。

3）三角不等式性：對于任意u，v∈LΦ，由‖u‖sΦ，‖v‖sΦ的定義：ε>0，k>0，h>0

‖u‖sΦ+ε≥1ks（1+IΦ（ku））

‖v‖sΦ+ε≥1hs（1+IΦ（kv））

則

‖u+v‖sΦ≤（k+h）skshs（1+IΦ（khk+h（u+v）））=

（k+h）skshs（1+IΦ（hk+hku+kk+hhv））≤

（k+h）skshs（1+hs（k+h）sIΦ（ku）+ks（k+h）sIΦ（hv））=

1ks（1+IΦ（ku））+1hs（1+IΦ（hv））≤

‖u‖sΦ+ε+‖v‖sΦ+ε=‖u‖sΦ+‖v‖sΦ+2ε

由ε的任意性知‖u+v‖sΦ≤‖u‖sΦ+‖v‖sΦ。

因?yàn)樾露x的范數(shù)滿足范數(shù)成立的3個(gè)條件，于是s-范數(shù)是范數(shù)。

下面證明{LΦ，‖·‖sΦ}是完備的。

任取{LΦ，‖·‖sΦ}的一個(gè)Cauchy列{xn}∞n=1。我們首先證明{xn}∞n=1依側(cè)度收斂的Cauchy列。

任取kn，m>0滿足：

1ksn，m（1+IΦ（kn，m（xn-xm）））-1nm≤‖xn-xm‖sΦ

‖xn-xm‖sΦ≤1ksn，m（1+IΦ（kn，m（xn-xm）））

則

ksn，m→+∞，limn，m→∞IΦ（kn，m（xn-xm））ksn，m=0。

若{xn}不是依測度收斂的Cauchy列，則存在δ>0，ε>0滿足：

m（{t∈E：|xn（t）-xm（t）|≥ε}）≥δ（n≠m）

從而

limn，m→∞∫EΦ（kn，m（xn（t）-xm（t）））dtksn，m≥

limn→∞m→∞∫{t∈E：xn（t）-xm（t）≥ε}Φ（kn，m（xn（t）-xm（t）））dtksn，m≥

limn，m→∞Φ（kn，mε）δksn，m=εδlimu→∞Φ（u）us>0

產(chǎn)生矛盾。

由Riesz定理，存在一個(gè)可測函數(shù)x（t）滿足xn（t）依側(cè)度收斂于x（t）。

下面我們證明x（t）∈LΦ。

利用{xn}+∞n=1是Cauchy列，則對于任意的可測子集e，我們有{xnχe}+∞n=1也是Cauchy列。從{xn}+∞n=1有等度連續(xù)積分。故{Φ（xn（t））}+∞n=1也具有等度連續(xù)積分。又因?yàn)閧xn}為Cauchy列，故存在M>0，滿足‖xn‖sΦ≤M，因此顯然有‖xn‖s（Φ）≤‖xn‖sΦ，故‖xn‖s（Φ）≤M。從而IΦxnMs≤1。

由Vifali定理知

limn→∞∫GΦxn（t）Msdt=∫GΦx（t）Msdt

即有

∫GΦx（t）Msdt≤1

從而x∈LΦ。所以（LΦ，‖·‖sΦ）是一個(gè)完備的s-范數(shù)空間。

定理2 賦s-范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的嚴(yán)格單調(diào)性。

證明：為了方便不妨設(shè)0≤x（t）≤y（t）。且存在eE，m（e）>0滿足x（t）

下面證明‖x‖sΦ<‖y‖sΦ。不妨設(shè)‖x‖sΦ=1，取k>0滿足：

‖y‖sΦ=1ks（1+IΦ（ky））=1ks（1+∫GΦ（ky（t））dt）=

1ks（1+∫G/eΦ（ky（t））dt+∫eΦ（ky（t））dt）>

1ks（1+∫G/eΦ（kx（t））dt+∫eΦ（kx（t））dt）≥

‖x‖sΦ=1

若k（y）=，則‖y‖sΦ=A∫E|y（t）|dt。事實(shí)上k（y）=表明：

‖y‖sΦ=limk→∞1ks（1+IΦ（ky））=

limk→∞∫EΦ（ky（t））ksdt=

limk→∞∫supp（x）Φ（ky（t））ks|y（t）||y（t）|dt=

A∫supp（x）|y（t）|dt=A∫E|y（t）|dt

在k（x）=的情形下。若k（y）=，則：

‖x‖sΦ=A∫E|x（t）|dt

若k（y）≠，則存在一個(gè)k>0滿足：

‖y‖sΦ=1ks（1+IΦ（ky））=

1ks（1+∫EΦ（ky（t））dt）=

1ks（1+∫E|eΦ（ky（t））dt+∫eΦ（ky（t））dt） ≥

‖x‖sΦ

證畢。

定理3 1）IΦx‖x‖1s（Φ）≤1（x≠θ）;

2）IΦx‖x‖1s（Φ）=1，對一切x≠θ成立的充要條件是Φ∈△2。

證明：1）由‖·‖1s（Φ）定義，存在an↓‖x‖1s（Φ）且IΦxan≤1。令n→∞，由Levy定理，即得

IΦx‖x‖1s（Φ）≤1

2）因IΦxk1s作為k>0的函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，而當(dāng)Φ∈△2時(shí)LΦ=EΦ是線性集，故此時(shí)IΦxk1s的定義域?yàn)椋?，∞）。

由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在k0>0，IΦxk1s0=1，由Luxemburg定義知k0=‖x‖Φ，s。從而IΦx‖x‖1s（Φ）<1是不可能的。反之若Φ△2，存在uk↑∞使得Φ1+1ks·uk>2kΦ（uk）（k=1，2…），不妨設(shè)Φ（u1）≥1mesG0，選G的一個(gè)互不相交的子集列{Gk}使得

Φ（uk）mesGk=12k（k=1，2，…）

定義

xn（t）=∑∞k=n+1ukχGk（t）（n=0，1，2…）

其中χE（t）表示集合E的特征函數(shù)，則n≥0

IΦ（xn）=∫GΦ（xn（t））dt=

∑∞K=N+1Φ（uk）mesGk=12N

但對任何l>1，取n0充分大使1+1n0≤l，則n≥n0時(shí)：

IΦ（lxn）=∑∞K=n0+1Φ（luk）mesGk>

∑∞k=n0+1Φ1+1kukmesGk>

∑∞k=n0+12kΦ（uk）mesGk=

∑∞k=n0+11=∞

故‖xn‖s（Φ）≥1l。由l的任意性‖xn‖s（Φ）≥1。又IΦ（xn）≤1知‖xn‖s（Φ）≤1。從而‖xn‖s（Φ）=1但I(xiàn)Φ（xn）→0。這說明對任何n∈N，xn∈LΦ＼EΦ。則存在xn（t）∈EΦ，IΦ（xn）=12n，但對任何IΦ（lxn）=∞（λ>1），由‖·‖s（Φ）的定義可知‖xn‖s（Φ）=1，矛盾。

引理1 若Φ∈△2，則對任何L>0，ε>0，存在δ>0，當(dāng)IΦ（u）≤L，IΦ（v）≤δ時(shí)，就有

|IΦ（u+v）-IΦ（u）|<ε

證明：

IΦ（u+v）=IΦ（（1-β）u+βu+v）=

IΦ（1-β）u+βu+vβ≤

（1-β）sIΦ（u）+βsIΦu+vβ≤

IΦ（u）+βsIΦu+vβ=

IΦ（u）+βsIΦ2u+2vβ2≤

IΦ（u）+β2IΦ（2u）+IΦ2vβ2s=

IΦ（u）+β2sIΦ（2u）+IΦ2vβ≤

IΦ（u）+β2s∫GΦ（2u（t））dt+∫GΦ2vβdt≤

IΦ（u）+β2s∫GΦ（2u0）dt+

β2sk∫GΦ（u（t））dt+β2s∫GΦ2vβdt

記 L0=Φ（2u0）m（G）+kL≤

IΦ（u）+β2sL0+∫GΦ2v（t）βdt

取β0充分小使得：

β02sL0<ε2，β02≤1

再由Φ∈△2，v0>0，k1>0滿足：

Φ2β0v0m（G）<ε4

及

Φ2β0v≤k1Φ（v），（|v|≥v0）≤

IΦ（u）+ε2+∫GΦ2β0v（t）dt≤

IΦ（u）+ε2+∫{t∈G：|v（t）|≤v0}Φ2β0v（t）dt+

∫{t∈G：|v（t）>v0|}Φ2β0v（t）dt≤

IΦ（u）+ε2+Φ2β0v0m（G）+k1∫GΦ（v（t））dt

取δ=ε4k1，則

≤IΦ（u）+ε2+ε4+ε4=IΦ（u）+ε證畢。

定理4 假設(shè)Φ∈△2.若IΦ（xn）→IΦ（x0）且xn（t）ux0（t）（依測度收斂）（n→∞），那么‖xn-x0‖sΦ→0（n→∞）。

證明：若x0=θ，則定理自真。

今設(shè)x0≠θ，由題設(shè)，{IΦ（xn）}有界。設(shè)L為其上界。由引理1可知存在δ>0，不妨認(rèn)為δ<ε4，使得IΦ（x）≤L，IΦ（y）≤δ蘊(yùn)涵

|IΦ（x+y）-IΦ（x）|<ε4

由積分的絕對連續(xù)性，存在δ1>0，使G0G，mesG0<δ1時(shí)∫G0Φ（x0（t））dt<δ。因xn（t）ux0（t）。由葉果洛夫定理，所以存在n1及E0G，mesE0<δ1，使n>n1。且

∫G＼E0Φ（xn（t）-x0（t））dt<δ

注意此時(shí)∫E0Φ（x0（t））dt<δ<ε4成立。我們有

∫G＼E0Φ（x0（t））dt=IΦ（x0）-

∫E0Φ（x0（t））dt>IΦ（x0）-ε4

當(dāng)n≥n1時(shí)，由引理1得

∫G＼E0Φ（xn（t））dt=∫G＼E0Φ（[xn（t）-x0（t）]+x0（t））dt>

∫G＼E0Φ（xn（t））dt-ε4>IΦ（x0）-ε2

因IΦ（xn）→IΦ（x0）存在n0≥n1使n≥n0時(shí)

∫E0Φ（xn（t））dt=IΦ（xn）-∫G＼E0Φ（xn（t））dt<ε2

顧及∫E0Φ（x0（t））dt<δ，n≥n0時(shí)

∫GΦ（xn（t）-x0（t））dt≤

∫G＼E0Φ（xn（t）-x0（t））dt+

∫EnΦ（|xn（t）|+|x0（t）|）dt<ε4+

∫E0Φ（xn（t））dt+ε4<ε

這表明IΦ（xn-x0）→0。再由Φ∈△2得‖xn-x0‖sΦ→0。證畢。

引理2 若Φ是s-凸函數(shù)，則Φ（u）us是單調(diào)遞增函數(shù)。

證明：對于任意的0

Φ（u1）=Φu2u1·u2≤u1u2sΦ（u2）

Φ（u1）us1≤Φ（u2）us2

下面我們來討論s-范數(shù)計(jì)算公式：

情況1：limu→∞Φ（u2）us=+∞

則對于x≠0，k>0，滿足：

‖x‖Φ，s=1ks（1+IΦ（kx））

證明：記F（k）=1ks（1+IΦ（kx）），由于Φ是s-凸函數(shù)，故F（k）在（0，θ（x））內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。

記

θ（x）=infλ>0：IΦxλ<+∞，

limk→0+0F（k）=+∞。

下面分兩個(gè)情形討論：

①limk→θ（x）-0IΦ（kx）=+∞

此時(shí)有l(wèi)imk→θ（x）-0F（k）=+∞，由連續(xù)函數(shù)的最小值定理k0∈（0，θ（x））滿足：

‖x‖sΦ=F（k0）

②limk→θ（x）-0IΦ（kx）<∞，此時(shí)有

limk→θ（x）-0F（k）=1θ（x）（1+limk→θ（x）-0IΦ（θ（x）））從而F（k）在（0，θ（x）]上連續(xù)。

同樣利用連續(xù)函數(shù)的最小值定理k0∈（0，θ（x）]，滿足‖x‖sΦ=F（k0）。

由連續(xù)函數(shù)的最小值定理k0∈（0，θ（x）），滿足：

F（k0）=min{F（k）：k∈（0，θ（x））}=

‖x‖Φ，s

情況2：若limk→+∞Φ（u）us=A<+∞則Φ∈△2。

證明：因?yàn)棣担╱）us↑A，A2<Φ（u）us≤A，u0>0，u≥u0，

A2us≤Φ（u）≤Aus

Φ（2u）≤A（2u）s=2sAus≤

2sAΦ（u）A2=2s+1Φ（u）。

若：

k（x）=，k（x）=k>0：1ks（1+IΦ（kx））=

‖x‖Φ，s則：

‖x‖Φ，s=limk→∞∫GIΦ（kx（t））ksdt=

limk→∞∫GΦ（kx（t））ksdt=

limk→∞∫Supp（x）Φ（kx（t））ks|x（t）|s|x（t）|sdt

由Lebesgue控制收斂定理

=limk→∞∫Supp（x）A|x（t）|sdt=

A∫G|x（t）|sdt

定理5 L+Φ上局部一致單調(diào)的充分必要條件是Φ∈△2。

證明：若Φ△2。由定理3（2）存在一個(gè)元素x∈LΦ，s，滿足IΦ（x）=1，IΦ（λx）=+∞（λ>1）。

于是IΦ（xn）→0 ，其中：

xn=xχGn，Gn={t∈G：x（t）≥n}

及

IΦ（λxn）=+∞（λ>1）

從而

‖xn‖sΦ≤（1+IΦ（xn））→1

且

1=‖xn‖s（Φ）≤‖xn‖sΦ

即

limn→∞‖xn‖sΦ=1

又0≤xn≤x，‖x-xn‖sΦ≥‖x-xn‖s（Φ）=1

與LΦ是上局部一致單調(diào)矛盾。

設(shè)0≤xn≤x，limn→∞‖xn‖sΦ=‖x‖sΦ。我們將證明

limn→∞‖xn-x‖sΦ=0

為了方便，不妨設(shè)‖x‖sΦ=1。取kn>0，k>0滿足：

‖xn‖sΦ=1ksn（1+IΦ（knxn））

‖x‖sΦ=1ks（1+IΦ（kx））

2←limn→∞2‖x‖sΦ=

limn→∞‖xn‖sΦ+‖x‖sΦ≥

limn→∞‖xn+x‖sΦ≥

limn→∞2‖xn‖sΦ=2

故limn→∞‖xn+x‖sΦ=2。

①接下來證明kxn-kxu0（依測度收斂）

由

1←‖x‖sΦ≤1ks（1+IΦ（kxn））≤

1ks（1+IΦ（kx））=1

知

limn→∞1ks（1+IΦ（kxn））=1。

假設(shè)kxn-kx不依測度收斂于0。則存在ε0>0，δ0>0，不失一般性，不妨設(shè)對任意的自然數(shù)滿足：

m（{t∈G：kx（t）-kxn（t）≥ε0}）≥δ0（n=1，2，…）

從而

1←limn→∞1ks（1+IΦ（kxn））=

limn→∞1ks1+∫{t∈G：kx（t）-kxn（t）≥ε0}=G0Φ（kxn（t））dt+

∫{t∈G：kx（t）-kxn（t）<ε0}Φ（kxn（t））dt≤

limn→∞1ks1+∫G0Φ（kx（t）-ε0）dt+limn→∞1ks∫G＼G0Φ（kx（t））dt<

1ks（1+∫GΦ（kx（t））dt）=1

矛盾。

②IΦ（k（xn））→IΦ（kx）。

由于

limn→∞IΦ（kxn）=ks-1

及

1=‖x‖s（Φ）=1ks（1+IΦ（kx））

知

limn→∞IΦ（kxn）=IΦ（kx）

由定理4知‖kxn-kx‖s（Φ）→0即‖xn-x‖s（Φ）→0。

證畢。

參 考 文 獻(xiàn)：

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（編輯：溫澤宇）