激光跟蹤儀檢測大口徑非球面方法研究

陳佳夷，王 聰，霍騰飛，程德級

（1.北京空間機電研究所 先進光學遙感技術北京市重點實驗室，北京 100094；2.?？怂箍抵圃熘悄芗夹g（青島）有限公司，山東 青島 266000）

引言

隨著現代航天光學成像遙感器對地面覆蓋面積的增大以及地面分辨率[1]的提高，長焦距、大視場和大通光口徑是大型空間光學系統的發(fā)展方向。大口徑非球面鏡的加工一般經過銑磨成形、研磨以及拋光等階段，各階段的檢測手段也不相同。在研磨階段，由于鏡面粗糙度值較大、反射率低，采用輪廓測量的方式進行檢測[2]。目前國內外針對大口徑非球面鏡的檢測，開展了結構光輪廓測量技術[3]、朗奇檢驗技術[4]、子孔徑拼接檢測技術[5]、哈特曼檢驗技術[6-7]、激光跟蹤儀檢測[8-9]等研究。其中多項技術尚屬研究階段[10]，成熟的工程方案可參考詹姆斯韋伯（JWST）項目[11]。

本文針對2 m 口徑拋物面在輪廓測量階段的測試需求，對該階段各參數的控制精度進行了分析，通過數值模擬的方式計算測試儀器或方法需要實現的測試精度，設計了激光跟蹤多邊測量的測試方案并給出測試結果，實現了2 m 口徑的非球面高精度輪廓測量。

1 非球面輪廓測量精度分析

2 m 口徑拋物鏡在進入拋光階段前使用輪廓檢測進行被測件的幾何參數與面形的測試。由于后續(xù)拋光不改變非球面的幾何參數，銑磨研磨階段需要將頂點曲率半徑和非球面系數加工到位。針對該拋物鏡，頂點曲率半徑R的指標為?6 830 mm±1 mm，非球面系數e2 的指標為1±0.001，離軸量為0±0.5 mm。同時獲取反射鏡面形，并通過研磨使得非球面的面形能夠進入干涉測量的量程。面形達到3 μm（rms）可以進行快速準確的干涉測量。

三坐標輪廓測量儀（CMM）和激光跟蹤儀是比較常用的輪廓測量儀器。CMM 雖然可以檢測大口徑輪廓，但由于檢測時需要來回搬運被測件，操作較困難，且量程有限。激光跟蹤儀具有測量范圍大、響應速度快、檢測范圍廣等諸多優(yōu)點，在大口徑非球面鏡輪廓檢測中具有明顯的優(yōu)勢。

對非球面進行輪廓測量的測試與運算過程復雜，難以對激光跟蹤儀測試反射鏡幾何參數和面形的精度進行嚴格的公式推導。利用MATLAB 對測試過程進行多次模擬，并運算后求得反射鏡的面形與幾何參數，包括rms、R、e2、離軸量。對比測量值與真值，確定各參數的不確定度。表1 給出了使用CMM 和激光跟蹤儀進行測試的精度分析結果。

表1 2 m 拋物鏡輪廓測試精度分析Table 1 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection

使用1 臺激光跟蹤儀進行輪廓測量，面形（rms）的測試精度為5 μm，e2的測試精度為0.001 2，無法滿足研磨階段面形和幾何精度的精度要求。

2 激光跟蹤儀多邊測量系統

激光跟蹤儀的測試誤差主要來源于角度誤差，為5 μm+6 μm/m。其距離測試誤差僅為0.5 μm/m。可以利用3 臺或者3 臺以上的激光跟蹤儀組成測量網絡，僅利用距離信息進行計算，以得到空間三維坐標。利用測量平差的思想，提高坐標測量的精度，即激光跟蹤多邊法坐標測量系統。德國聯邦物理技術研究院（PTB）根據多邊測量原理，研制出了四站激光跟蹤干涉坐標測量系統M3D3，該套系統在6 m 的測量空間范圍內的測距精度可達到0.2 μm[12]。英國Cranfield University 的J.Norman 等人使用4 臺AT960 激光跟跟蹤儀和超級貓眼反射靶球SCE 對400×400 mm 的平板玻璃進行了測試，面形精度達到了1.13 μm（rms）[13]。

按照第一節(jié)提到的輪廓測量精度仿真分析方法計算激光跟蹤多邊測量所能達到的精度，如表2 所示。

表2 多邊法進行2 m 拋物鏡輪廓測量精度分析Table 2 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection by multilateral method

對于2 m 拋物鏡，多邊測量法精度達到了1.8 μm（rms），R和e2也可以滿足指標要求。

3 測試方案與測試系統

在3 臺激光跟蹤儀的基礎上增加了1 臺激光跟蹤儀，使用4 臺激光跟蹤儀進行測試。由多邊測量原理可知，僅靠3 臺激光跟蹤儀的測距信息即可得到被測點的空間三維坐標，再引入一組測距信息作為冗余信息，在進行坐標解算的過程中利用測量平差的理論，對被測點的三維坐標值進行優(yōu)化，降低隨機誤差，提高系統精度。測試系統的軟硬件包括：硬件包括4 臺AT930 激光跟蹤儀、超級貓眼反射靶球SCE、同步觸發(fā)器。使用MATLAB開發(fā)測量軟件，主要功能包括多邊系統自標定、測量點三坐標數據計算、鏡面方程擬合并輸出各參數。

4 測試步驟

4.1 多邊測量系統標定

使用4 臺激光跟蹤儀進行多邊測量時，測量站位共計4 個。選取1、2、3 號站位建立多邊測量系統坐標系，原點取1 號站位B1，坐標值為（0，0，0），設2 號站位B2坐標值為（a，0，0），3 號站位B3的坐標值為（b，c，0），B1，B2，B3構成測量坐標系的x-oy面，建立系統坐標系，4 號站位B4的坐標為（d，e，f）。針對某一被測點Ti，得到距離方程組如下：

一般選取20 個～30 個點進行標定，以提高坐標系精度。使用Levenberg_Marquardt（L_M）算法求解該非線性方程組。L_M 方法是由Levenberg和Marquardt 提出的最小二乘問題求解方法，可以防止非線性最小二乘問題求解中Jacobian 陣奇異或接近奇異時無法完成計算。L-M 方法收斂速度遠優(yōu)于其他非線性最小二乘算法[14]。

4.2 鏡面掃描

在進行鏡面點采集時，利用超級貓眼反射靶球（SCE）和同步觸發(fā)器，實現4 臺激光跟蹤儀同時針對鏡面上一點進行數據采集。SCE 避免了傳統的測量方式，比如手動交互，同時安裝多個反射鏡或者引入主動目標點等，有效避免距離信息采集過程中因反射器帶來的誤差因素。在進行鏡面點掃描時，對被測鏡的加工基準進行測量，用來后續(xù)進行坐標系的轉換。

4.3 鏡面點坐標平差計算

針對某一被測點，選擇4 臺激光跟蹤儀中的3 臺，以這3 臺激光跟蹤儀的絕對距離數據計算該點的坐標。計算該預估坐標點與另外1 臺激光跟蹤儀之間的距離，計算該距離與該臺激光跟蹤儀所測距離之間的差值。對4 臺激光跟蹤儀進行上述計算得到4 組距離差，其平方和即為殘差。使用L_M 算法求解殘差最小時的該鏡面點坐標，完成平差，得到鏡面點坐標值的集合。

4.4 坐標系轉換

上述鏡面點坐標計算是在以激光跟蹤儀站位建立的坐標系下進行的，需要將坐標系轉換成光學加工坐標系。取被測鏡外圓柱的軸線與鏡面的端平面的交點為原點，加工時標記的方向為x軸，端平面的法線為z軸，建立坐標系。在坐標測量軟件SA 中完成2 個坐標系的轉換，在光學加工基準坐標系下讀取鏡面點坐標的集合。

4.5 鏡面方程擬合

在光學加工基準坐標系下的鏡面點坐標值的集合表示為

非球面反射鏡的鏡面方程[15]為

式中A，B，…為高次項系數。

上述方程可以轉換成高次曲面的另一種形式：

利用鏡面坐標集合，對上述參數進行擬合，并計算鏡面的面形和幾何參數。

5 測試試驗

2 m 拋物鏡在研磨加工完成后，使用激光跟蹤儀按照第4 節(jié)的測試步驟，運用激光跟蹤多邊測量法對其幾何參數和面形進行了測試，測試現場如圖1 所示。

圖1 多邊法測試2 m 拋物鏡Fig.1 2 m parabolic mirror testing by multilateral method

測試結果如表3 所示。擬合得到的反射鏡面形如圖2 所示。

表3 多邊法測試結果Table 3 Testing results of multilateral method

圖2 多邊法面形擬合結果Fig.2 Surface shape fitting results of multilateral method

分別使用高精度CMM（精度為0.6 μm+1.67 μm/m）和4 D 激光干涉儀對幾何參數和面形進行測試，R為?6 830.28 mm，e2為0.999 3，離軸量為0.21 mm，rms 為1.611 μm。面形的干涉測量結果如圖3所示。

圖3 2 m 拋物鏡干涉測量結果Fig.3 Testing results of laser interferometry of 2 m parabolic mirror

6 結論

本文針對2 m 口徑拋物鏡在研磨階段進行輪廓檢測的技術難點，利用數值模擬的方法評估了使用CMM 和激光跟蹤儀進行該測試的精度，發(fā)現激光跟蹤儀直接測試的精度難以滿足技術指標。提出了基于激光跟蹤多邊測量的大口徑非球面輪廓測量技術方案，完成了2 m 口徑拋物鏡的輪廓檢測。使用高精度CMM 和動態(tài)激光干涉儀與該方法進行對比測試，驗證了幾何參數和面形的測試精度，R、e2、離軸量、rms 的誤差分別為0.16 mm，0.000 6，0.14 mm，1.06 μm。該研究成果可為類似口徑的非球面輪廓檢測提供一定的借鑒。