菱形HSLDS隔振器負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量及摩擦力影響分析

袁屹杰，紀(jì) 明，張衛(wèi)國(guó)，伊興國(guó)，王 毅，施道云

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

隨著光電傳感器性能的逐漸提升，對(duì)平臺(tái)隔振的需求也越來(lái)越嚴(yán)格[1]。傳統(tǒng)線性隔振器僅能有效隔離頻率大于倍自身諧振頻率的擾動(dòng)，在一些擾動(dòng)頻率較低的應(yīng)用中，為了滿足隔振需求，隔振器剛度需要降低至容易導(dǎo)致失穩(wěn)的水平。而HSLDS 隔振器[2]則較好地解決了上述問題，在維持一定靜剛度的前提下，通過非線性調(diào)節(jié)，可以降低動(dòng)態(tài)剛度，甚至達(dá)到“準(zhǔn)零剛度”（QZS）狀態(tài)[3]，具備良好的應(yīng)用前景，已成為行業(yè)的研究熱點(diǎn)。

目前，HSLDS 隔振器的多數(shù)研究聚焦于負(fù)剛度機(jī)構(gòu)理論研究層面，提出了多種負(fù)剛度機(jī)構(gòu)形式[4-11]，對(duì)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)、彈性器件參數(shù)進(jìn)行了充分分析。部分研究涉及了非線性隔振下摩擦力直接作用于負(fù)載的特性[12-13]以及幾何非線性摩擦力對(duì)隔振的影響[14]，但鮮有研究分析負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的質(zhì)量及內(nèi)部摩擦力對(duì)隔振的影響。在一些應(yīng)用中，如采用連桿形式的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)（特別是多層連桿結(jié)構(gòu)[10]），內(nèi)部運(yùn)動(dòng)環(huán)節(jié)較多，摩擦力因素影響較大，并且隔振過程中，負(fù)剛度機(jī)構(gòu)也關(guān)聯(lián)地運(yùn)動(dòng)，自身質(zhì)量的影響難以忽視，否則將導(dǎo)致理論分析與實(shí)際存在較大差異，不利于指導(dǎo)實(shí)踐。

針對(duì)上述問題，本文以一種具有較靈活剛度非線性調(diào)節(jié)能力的菱形連桿負(fù)剛度機(jī)構(gòu)HSLDS 隔振器（簡(jiǎn)稱菱形HSLDS 隔振器）為目標(biāo)，采用虛功法建立負(fù)剛度機(jī)構(gòu)等效摩擦力數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建隔振器拉格朗日方程，并采用諧波平衡法[15]求解，分析負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的質(zhì)量及摩擦力因素對(duì)隔振的影響。

1 隔振器建模

菱形HSLDS 隔振器如圖1 所示，由圓周均布的4 組菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與包含4 個(gè)主隔振器的傳統(tǒng)隔振平臺(tái)并聯(lián)構(gòu)成。菱形連桿機(jī)構(gòu)的拉簧處于拉伸狀態(tài)時(shí)，菱形連桿機(jī)構(gòu)產(chǎn)生負(fù)剛度效應(yīng)。

圖1 菱形HSLDS 隔振器Fig.1 Rhombic HSLDS vibration isolator

1.1 摩擦力建模

為便于分析，本文僅考慮動(dòng)庫(kù)倫摩擦，忽略粘滯摩擦影響，同時(shí)僅考慮由拉簧產(chǎn)生正壓力導(dǎo)致的鉸接副摩擦力，忽略鉸接副由端面及徑向扭轉(zhuǎn)導(dǎo)致的摩擦力，并假定摩擦系數(shù)不受外力影響，且A、C處鉸接軸不存在繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，B、D處鉸接軸相對(duì)于BD連線不存在轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2 所示。當(dāng)4 組負(fù)剛度機(jī)構(gòu)共同作用時(shí)，依據(jù)虛功定理存在以下關(guān)系：

式中：M1、M2為摩擦力矩；F為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)在振動(dòng)方向的等效摩擦力；h＞0，即圖2 所示狀態(tài)，在（1）式取上端符號(hào)，反之取下端符號(hào)。依據(jù)設(shè)定有：M1=f1μr、M2=f2μr，其中f1、f2為連桿壓力， μ為接觸面摩擦系數(shù)，r為鉸接軸半徑。根據(jù)幾何關(guān)系：

（1）式可化為

依據(jù)幾何及受力關(guān)系，由（2）式可推導(dǎo)出：

式中f為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)拉簧的彈性力，且又有：

圖2 菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)分析圖示Fig.2 Schematic diagram of rhombic negative stiffness mechanism

聯(lián)立（3）式～（5）式，令f=k2Δ，可得：

式中：k2為拉簧剛度；

式中dki為菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置（即圖2中h=0）時(shí)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)拉簧的預(yù)拉伸量。

利用ADAMS 虛擬樣機(jī)對(duì)等效摩擦力模型進(jìn)行驗(yàn)證，如圖3 所示，仿真數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)吻合得較好，表明模型是正確的。

圖3 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)等效摩擦力驗(yàn)證Fig.3 Verification of equivalent friction of negative stiffness mechanism

1.2 動(dòng)力學(xué)方程建模

隔振裝置中運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量主要分為有效載荷m1以及負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量m2兩部分。為簡(jiǎn)化分析，將負(fù)剛度機(jī)構(gòu)視為集中質(zhì)量。考慮到拉簧組件及其配合的鉸接軸是負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量的主要構(gòu)成部分，可將質(zhì)心設(shè)定在圖2 中中點(diǎn)位置處。

依據(jù)拉格朗日方程有：

式中L=T?V，其中

（9）式中xi為施加至振動(dòng)基座的擾動(dòng)位移，（10）式中k1與（11）式中C分別為主隔振器的剛度和與阻尼系數(shù)和。

將（9）式～（11）式代入（8）式中，得：

式中相關(guān)因子及其泰勒級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化見（13）式～（18）式，泰勒級(jí)數(shù)取至第3 階。

泰勒級(jí)數(shù)中符號(hào)的含義為：X0=X|h=0，X1=依此類推。

由（7）式、（16）式～（18）式可知，負(fù)剛度拉簧的預(yù)拉伸量dki與負(fù)剛度機(jī)構(gòu)等效摩擦力及隔振器等效剛度參數(shù)存在密切關(guān)系。為使分析更為直觀，引入零位剛度概念，即：

式中α=k2/k1。

1.3 動(dòng)力學(xué)分析方法

本文以絕對(duì)位移傳遞率作為隔振性能評(píng)價(jià)參數(shù)，采用諧波平衡法求解動(dòng)力學(xué)方程。令輸入絕對(duì)位移為輸出相對(duì)位移分別為cos(ωt+φ)。

使用傅里葉展開對(duì)符號(hào)函數(shù)sgn(h)及sgn(h′)進(jìn)行簡(jiǎn)化[14]：

式中：

動(dòng)力學(xué)方程存在以下幅頻關(guān)系：

則隔振裝置的絕對(duì)位移傳遞率為

2 參數(shù)分析

首先，設(shè)定如表1 所示的一般性參數(shù)。

表1 分析參數(shù)Table 1 Analysis parameters

2.1 摩擦力特性分析

聯(lián)立（6）式、（7）式和（20）式，等效摩擦力分析數(shù)據(jù)如圖4 所示。由圖4 可知，在隔振運(yùn)動(dòng)過程中，等效摩擦力變化幅度較小，在限定及摩擦系數(shù)的條件下（后續(xù)分析均基于此限定），負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)決定了鉸接副的受力情況，對(duì)等效摩擦力影響較大，即基準(zhǔn)尺寸l一定時(shí)，桿長(zhǎng)a、b與平衡位置處等效摩擦力呈正相關(guān)關(guān)系，見圖4中序號(hào)A、B、C；較長(zhǎng)桿較短時(shí)，增大兩連桿長(zhǎng)度的差值（后簡(jiǎn)稱桿長(zhǎng)差），平衡位置處等效摩擦力減小，見圖4 中序號(hào)B、D；較長(zhǎng)桿較長(zhǎng)時(shí)，隨著桿長(zhǎng)差增大，平衡位置處等效摩擦力呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，見圖4 中序號(hào)C、E、F。顯然，等效摩擦力受桿長(zhǎng)幾何因素的影響，存在2 個(gè)臨界值，即由桿長(zhǎng)差導(dǎo)致的平衡位置處等效摩擦力變化趨勢(shì)開始發(fā)生改變的較長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)臨界值，以及較長(zhǎng)桿大于桿長(zhǎng)臨界值時(shí)，平衡位置處等效摩擦力開始大于連桿等長(zhǎng)情況的桿長(zhǎng)差臨界值。受篇幅限制，對(duì)此本文不展開分析。

圖4 等效摩擦力幾何非線性分析Fig.4 Equivalent friction geometric nonlinear analysis

2.2 隔振性能分析

負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量對(duì)隔振的影響如圖5 所示。由圖5 可看出，隨著 β增加，即負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量增加，將導(dǎo)致諧振點(diǎn)頻率降低，位移傳遞率增加，同時(shí)還會(huì)提升高頻段的位移傳遞率，如圖5 中曲線A、B。

圖5 菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量影響分析Fig.5 Analysis of mass effect on rhombic negative stiffness mechanism

此外，當(dāng)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)連桿不等長(zhǎng)，且與載荷平臺(tái)鉸接的連桿較短，即負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的質(zhì)心偏向載荷平臺(tái)一側(cè)時(shí)，在較高頻段的位移傳遞率低于質(zhì)心偏向振動(dòng)基座一側(cè)的情況，如圖5 中曲線B、D。

負(fù)剛度機(jī)構(gòu)摩擦力對(duì)隔振性能的影響與阻尼類似，減小低頻段位移傳遞率，增大高頻段位移傳遞率，如圖6 中B1、B2。菱形HSLDS 隔振器可以通過增加負(fù)剛度連桿機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)或桿長(zhǎng)差方式，對(duì)剛度非線性進(jìn)行設(shè)置，實(shí)現(xiàn)隔振優(yōu)化，如圖6 中A1、B1、C1。當(dāng)摩擦力因素不可忽視時(shí)，增加桿長(zhǎng)將增大等效摩擦力，在優(yōu)化低頻隔振性能的同時(shí)，導(dǎo)致高頻隔振性能下降，如圖6 中A2、B2；利用桿長(zhǎng)差方式進(jìn)行調(diào)節(jié)且同時(shí)滿足剛度非線性優(yōu)化與降低摩擦力條件時(shí)，增加桿長(zhǎng)差可降低諧振點(diǎn)頻率，改善較低頻段隔振性能的同時(shí)，減小摩擦力對(duì)高頻隔振的不利影響，如圖4 中B、D 與圖6 中B2、C2。

圖6 菱形負(fù)剛度機(jī)構(gòu)摩擦力影響分析Fig.6 Analysis of friction effect on rhombic negative stiffness mechanism

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)分析方法

受實(shí)驗(yàn)條件限制，選用兩組規(guī)格的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，分別對(duì)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量因素以及摩擦力因素進(jìn)行實(shí)物測(cè)試，通過與計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證建模的準(zhǔn)確性，并以此保證分析結(jié)果的合理性。

測(cè)試中，組Ⅰ負(fù)剛度機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)分別為60.3 mm、49.2 mm；組Ⅱ負(fù)剛度機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)分別為52.4 mm、48.2 mm。所有鉸接副采用柔性軸套與鋼軸配合方式。第1 組實(shí)驗(yàn)：在潤(rùn)滑條件下，通過對(duì)調(diào)組Ⅰ負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與振動(dòng)基座及載荷平臺(tái)的連接關(guān)系，分析負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)心位置對(duì)隔振性能的影響；第2 組實(shí)驗(yàn)：通過改變組Ⅱ負(fù)剛度機(jī)構(gòu)鉸接副接觸面的潤(rùn)滑狀態(tài)，分析負(fù)剛度機(jī)構(gòu)內(nèi)部摩擦力對(duì)隔振的影響。為確保計(jì)算符合實(shí)際，計(jì)算中的主要物理數(shù)據(jù)通過實(shí)測(cè)方法獲得。

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用圖7 所示摩擦力矩測(cè)試環(huán)境，對(duì)不同受力情況下有、無(wú)油脂潤(rùn)滑的鉸接副接觸摩擦力矩進(jìn)行測(cè)試，得到圖8 所示的摩擦系數(shù)曲線，其中AS1、AS2 分別對(duì)應(yīng)2 個(gè)柔性軸套樣本。

通過測(cè)量，得到菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置時(shí)，組Ⅰ、Ⅱ負(fù)剛度機(jī)構(gòu)拉簧的拉力分別為789 N、1029 N。通過受力分解，計(jì)算得出此時(shí)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)連桿的受力f1、f2，如表2 所示。由于連桿分力的差值不大，根據(jù)圖8 摩擦系數(shù)變化趨勢(shì)，可假定各組計(jì)算中摩擦系數(shù)是固定的，摩擦系數(shù)取值見表2。其他參數(shù)依據(jù)測(cè)試環(huán)境取：m=12 kg，l=70 mm，輸入擾動(dòng)加速度幅值G=1.4 g，并設(shè)定ξ=0.075。依據(jù)表2 中數(shù)據(jù)，通過動(dòng)力學(xué)解算得到圖9 所示傳遞率計(jì)算曲線，對(duì)應(yīng)實(shí)物測(cè)試傳遞率曲線如圖10 所示。圖9 和圖10 中，序號(hào)0 皆為主隔振器隔振傳遞率曲線，且序號(hào)1～4 曲線分別與表2中序號(hào)1～4 數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。計(jì)算與實(shí)測(cè)曲線的諧振點(diǎn)參數(shù)如表3 所示。其中序號(hào)0 諧振峰值的計(jì)算傳遞率與實(shí)驗(yàn)傳遞率基本一致，表明主隔振器的計(jì)算阻尼與實(shí)際是相符的，在此基礎(chǔ)上序號(hào)1～4 的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)諧振峰值數(shù)據(jù)吻合得較好。在較高頻部分，對(duì)比不考慮負(fù)剛度機(jī)構(gòu)自身因素的計(jì)算數(shù)據(jù)，本文提出的計(jì)算模型大幅提高了傳遞率的準(zhǔn)確度，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較高的相符性，如表4所示。同時(shí)還可觀察到，序號(hào)1 在較高頻部分（如30 Hz 與50 Hz）的傳遞率略低于序號(hào)2，這與理論分析結(jié)果一致；但潤(rùn)滑狀態(tài)的序號(hào)3 在較高頻的傳遞率反高于非潤(rùn)滑狀態(tài)的序號(hào)4，這與邏輯分析結(jié)果相悖，分析其原因與采用的潤(rùn)滑方式有關(guān)。在較高頻段，轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)位移量較小，受潤(rùn)滑脂的粘滯效應(yīng)影響導(dǎo)致實(shí)際摩擦系數(shù)增大，因而產(chǎn)生與理論分析結(jié)果不符的現(xiàn)象。

圖7 摩擦力矩測(cè)試環(huán)境Fig.7 Friction torque testing environment

圖8 柔性軸套-鋼軸摩擦系數(shù)圖Fig.8 Friction coefficient diagram of flexible sleeve-steel shaft

表2 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 2 Experimental parameters of negative stiffness mechanism

圖9 隔振傳遞率計(jì)算曲線Fig.9 Calculation curves of vibration isolation transmissibility

圖10 隔振傳遞率實(shí)驗(yàn)曲線Fig.10 Experimental curve of vibration isolation transmissibility

表3 諧振點(diǎn)參數(shù)Table 3 Resonance point parameters

表4 較高頻率段參數(shù)Table 4 Parameters of higher frequency band

4 結(jié)論

針對(duì)菱形HSLDS 隔振器，對(duì)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的等效摩擦力進(jìn)行建模，將負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的質(zhì)量、摩擦力因素納入動(dòng)力學(xué)方程，并通過實(shí)物測(cè)試驗(yàn)證了上述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。得出以下結(jié)論：

1） 增加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量對(duì)低頻段隔振的影響與增加有效負(fù)載情況類似，同時(shí)會(huì)惡化高頻段隔振性能，在隔振器設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量減小負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的質(zhì)量；當(dāng)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量一定且連桿不等長(zhǎng)時(shí)，可將較短連桿的一側(cè)、即質(zhì)心偏向側(cè)，鉸接于載荷平臺(tái)，以減小負(fù)剛度機(jī)構(gòu)質(zhì)量對(duì)高頻段隔振性能的影響。

2） 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)鉸接副摩擦力對(duì)隔振的影響與阻尼類似，應(yīng)盡量減小負(fù)剛度機(jī)構(gòu)鉸接副摩擦力。當(dāng)摩擦系數(shù)難以充分降低時(shí)，在隔振剛度要求一定且摩擦系數(shù)受外力影響較小的情況下，可以利用桿長(zhǎng)差對(duì)剛度及摩擦力的優(yōu)化特性，實(shí)現(xiàn)寬頻段隔振優(yōu)化。