哈特曼法焦度測量模型的誤差分析及修正

楊金龍，賈宏志，金 濤，項(xiàng)華中，張大偉，莊松林

哈特曼法焦度測量模型的誤差分析及修正

楊金龍，賈宏志，金 濤*，項(xiàng)華中，張大偉，莊松林

上海理工大學(xué)光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093

為了減少屈光度測量誤差，提高精度。本文針對哈特曼法焦度測量建立了較詳細(xì)的誤差模型，著重分析了光源的色散誤差、入射光與透鏡未垂直、光電探測器中心定位不準(zhǔn)、透鏡傾斜、光源光線主軸與透鏡主軸未重合所引起的屈光度測量誤差。結(jié)果表明，得出由于光電探測器上中心提取的不準(zhǔn)確，會對最終的結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差。并由此提出了雙重雙線性插值結(jié)合擬合法來求取中心的方法，并證明了其有效性和準(zhǔn)確性。

哈特曼光闌；焦度測量；誤差模型；圖像處理；中心定位

1 引 言

焦度計[1-3](屈光度計)是用于測量眼鏡和接觸鏡片的頂焦度及棱鏡度，以及確定鏡片的光學(xué)中心、軸位等光學(xué)參數(shù)的儀器。其中，自動對焦式焦度計因其高分辨率、智能化的特點(diǎn)在實(shí)際生產(chǎn)生活中被廣泛應(yīng)用。自動對焦式焦度計的發(fā)展經(jīng)過了三個不同階段，前兩代的自動對焦式焦度計使用線性傳感器的單點(diǎn)檢測原理，由于光路不密封、容易受干擾、依賴機(jī)械開關(guān)等導(dǎo)致測量存在誤差，而最新的第三代的焦度計主要采用哈特曼光闌測量法，平行光通過鏡片和哈特曼光闌板在光電傳感器上所成圖像與未經(jīng)過鏡片形成的光斑圖像在位置上有相對應(yīng)的變化，再根據(jù)光斑位置距離的變化計算出鏡片頂焦度的光學(xué)參數(shù)。該方法不僅能有效地減少人為誤差，而且能準(zhǔn)確地測量鏡片的光學(xué)參數(shù)，這是目前為止測量鏡片光學(xué)參數(shù)的最簡便實(shí)用的方法。近年來，鏡片的研究領(lǐng)域主要集中在漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片、自由曲面鏡片、非球面鏡片[4-6]，其鏡片屈光度的測量本質(zhì)上還是采用哈特曼法焦度測量，目前已有對前兩代的焦度計誤差分析模型[7-8]。但對于哈特曼法焦度測量方法并沒有一套完整的誤差模型。因此，本文對哈特曼測量法進(jìn)行相對完善的誤差模型分析，有利于之后焦度計測量的誤差修正；而且通過分析誤差模型，得出光電傳感器上中心的定位不準(zhǔn)確會產(chǎn)生較大的誤差，提出了一種采用雙重雙線性插值法結(jié)合擬合法求取中心的方式，并證明其有效性和準(zhǔn)確性。

2 哈特曼法焦度測量原理

哈特曼法焦度測量法主要由光源、準(zhǔn)直透鏡、哈特曼光闌、光電傳感器(CMOS)等部分組成。圖1為哈特曼法焦度測量結(jié)構(gòu)[9]示意圖，光源發(fā)出的光經(jīng)過準(zhǔn)直透鏡后形成平行光，平行光通過待測鏡片后的出射光線穿過具有通光孔的光闌，成像在光電圖像傳感器上。當(dāng)光路中沒有被測鏡片時，平行光通過光闌上的某一個通光孔后投影在光電傳感器上，表示光電傳感器上兩投影光斑中心之間的距離，1表示放置待測鏡片后在傳感器上兩個光斑中心的距離。因此，計算落在圖像傳感器上光斑中心的位置變化量，就可以得到鏡片的屈光度。

由式(1)可得鏡片的焦距￠：

設(shè)、1、、1單位均為毫米，則屈光度￠(單位為m-1，通常用D表示)的公式：

式中：1可由光電探測器光斑中心坐標(biāo)(x，y)得出，因此自動焦度計可通過測量得到的(x，y)計算待測眼鏡片的屈光度。

由于式(3)是基于理想的同軸光學(xué)系統(tǒng)推導(dǎo)出來的，而實(shí)際的屈光度測量時，由于光源的色散誤差、入射光與透鏡未垂直、光電探測器中心定位不精確、透鏡傾斜、光源光線主軸與透鏡主軸未重合等原因都會引起屈光度測量誤差。因此，下文針對這幾種情況進(jìn)行相應(yīng)的誤差模型分析。

2.1 光源的色散引起的誤差

由于不同波長的光經(jīng)過鏡片后的速度不同導(dǎo)致出射方向的偏向角的不同，因此在光電探測器上的會產(chǎn)生不同的像點(diǎn)，常用阿貝數(shù)(d)來衡量鏡片材料的色散能力，d表達(dá)式為

其中：1、2分別為前后表面的曲率半徑，由于光的色散引起的頂焦度改變量為

由式(6)可知，由于色散引起的頂焦度變化與阿貝數(shù)成反比，阿貝數(shù)值越大引起的頂焦度誤差越小。由于人眼對黃綠光最為敏感，將波長為555 nm的視見函數(shù)稱作人眼的最佳視覺函數(shù)。國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 7944-1988規(guī)定了焦度計的測量標(biāo)準(zhǔn)波長為546.07 nm，在使用綠色光源[10](波長為543 nm)時，綠光無修正測試最大絕對偏差為1.5%，最小絕對偏差為-0.18%，均在5%以內(nèi)。因此，即使沒有阿貝數(shù)修正，也可以盡可能地減少色散引起的透鏡屈光度測量誤差，既減少了算法的復(fù)雜度，也不影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2.2 光闌與透鏡之間的距離忽略不計引起的誤差

圖1中1表示待測透鏡與光闌之間的距離，而待測透鏡與光闌的實(shí)際位置關(guān)系如圖2所示。

每個鏡片的曲率半徑不同導(dǎo)致1的不同。實(shí)驗(yàn)室所用的待測鏡片正透鏡直徑是65 mm，負(fù)透鏡直徑是72 mm(鏡片的中心厚度約等于0)，圖2中相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為

其中：1代表空氣折射率，2代表透鏡折射率，光闌的半徑為，透鏡的前表面彎度為。

得到-25D至+25D鏡片對應(yīng)的1在0.01 mm~0.15 mm變化，若1值忽略不計，則屈光度計算式變?yōu)?/p>

分別以+5D、+10D、+15D、+25D(本文屈光度誤差取絕對值，所以負(fù)透鏡同理)的透鏡為例，讓1從0.01 mm到0.15 mm變化，則屈光度誤差曲線如圖3所示。

2.3 透鏡傾斜所引起的誤差

由于人為的失誤或者透鏡未固定好也會導(dǎo)致透鏡傾斜所產(chǎn)生的誤差，此時的屈光度測量模型如圖4。

由式(12)~式(14)可得：

由于透鏡傾斜，設(shè)它實(shí)際的焦距為，為

圖2 透鏡與光闌的實(shí)際位置關(guān)系圖

圖3 L1所引起的屈光度誤差曲線

圖4 透鏡傾斜的測量模型

假設(shè)透鏡的偏轉(zhuǎn)角度從0°至5°變化，則由于透鏡角度偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致的誤差曲線如圖5所示。

圖5 透鏡角度偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致的屈光度誤差變化

由圖5可知，透鏡的傾斜角度對于大的屈光度鏡片的測量誤差會偏大，且呈現(xiàn)指數(shù)型的增長。當(dāng)傾角為5°時，測量+25D屈光度時誤差達(dá)到0.5293D，對最終的屈光度測量結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差，已經(jīng)超出了國家規(guī)定的±0.25D的范圍，因此在實(shí)驗(yàn)中務(wù)必保持透鏡與入射的平行光相互垂直，否則會造成測量結(jié)果的不準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)中待測透鏡由彈性的伸縮桿所固定，根據(jù)伸縮桿的長度變化可以算出透鏡的偏轉(zhuǎn)角度，代入式(18)中，求出誤差后可修正屈光度。

2.4 光源的光軸與透鏡的幾何中心軸未重合而導(dǎo)致的誤差

由于光源的光軸與透鏡的幾何中心軸未重合會導(dǎo)致誤差。設(shè)光源從軸外點(diǎn)斜射入透鏡，此時的屈光度測量模型如圖6所示。

圖6中A到主軸的距離為2，￠到主軸的距離為￠2，由=￠/=￠/，得￠2=-2￠/1，光線的入射角的角度為，光點(diǎn)與透鏡物方主平面的距離為-1，光線入射高度為，出射光線與主軸交點(diǎn)至光電探測器的水平距離為2，光電探測器與透鏡像方主平面的距離為，出射光線在光電探測器上的投射高度為1，出射光線與主軸的交點(diǎn)與透鏡像方主平面的距離為￠。由圖6參數(shù)之間的關(guān)系可得：

由式(19)、式(20)計算得出￠為

由高斯公式得：

所以透鏡的焦距為

假定2為定值1 mm，角度從0°至1°變化，誤差曲線如圖7所示。

圖6 主軸外光點(diǎn)射入透鏡模型

2.5 光電探測器圖像光斑中心定位不準(zhǔn)確引起的誤差

用表示光電探測器上兩光斑中心之間的距離，當(dāng)光電探測器上由于光斑中心定位不準(zhǔn)確產(chǎn)生誤差時，式(11)可算出屈光度誤差：

其中：1表示測量的距離，2表示實(shí)際的距離，(x，y)表示光斑中心的位置坐標(biāo)，1、2的計算公式：

實(shí)驗(yàn)室所用的光電探測器中1像素點(diǎn)對應(yīng)的尺寸為3.5 μm，由于光電探測器光斑中心之間的測量距離不準(zhǔn)確所產(chǎn)生的屈光度誤差曲線如圖8所示。

由式(25)可知，像素差造成的屈光度誤差與所測量的鏡片的屈光度并無關(guān)系，圖8顯示了在1~10個像素點(diǎn)變化所產(chǎn)生的誤差，待測鏡片的屈光度誤差與光斑中心的距離差成線性關(guān)系，且在10個像素的誤差內(nèi)，屈光度最大誤差達(dá)到0.26D。因此，如果光斑中心的定位不準(zhǔn)會產(chǎn)生較大的誤差，并有可能直接造成測量結(jié)果的不準(zhǔn)確。而光斑定位的誤差主要分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，系統(tǒng)誤差主要由成像器件的非線性、像素尺寸的非均勻性構(gòu)成。隨機(jī)誤差主要由于噪聲，光電探測器[11-12]成像的分辨率的局限性導(dǎo)致的。而下文提出了雙重雙線性插值法結(jié)合擬合法來減小隨機(jī)誤差從而提高中心定位的精度，因此可降低屈光度測量的隨機(jī)誤差。

3 雙重雙線性插值法結(jié)合擬合法求取中心的方法

3.1 算法的整體框圖

為了保證該方法的可靠性、準(zhǔn)確性，需要建立一個標(biāo)準(zhǔn)的模型用來對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文采用如下方式：首先建立一個二元的高斯函數(shù)，得到一個三維的高斯曲面且此曲面的中心坐標(biāo)為(x，y)，將函數(shù)值離散化得到對應(yīng)灰度值的矩陣，將此矩陣看做一個理想的高斯光斑所對應(yīng)的矩陣，再用圓擬合法得到中心坐標(biāo)，最后采用本文所述方法計算灰度矩陣的中心，經(jīng)過對比，判斷該方法的有效性。整體流程如圖9所示。

圖7 光軸與透鏡主軸的偏轉(zhuǎn)角度導(dǎo)致的誤差變化曲線

圖8 像素差導(dǎo)致的屈光度誤差變化曲線

圖9 算法的流程框圖

3.2 詳細(xì)的算法步驟

首先，建立二元高斯函數(shù)，如式(28)所示：

the用Matlab將此函數(shù)繪制成三維高斯曲面，將、兩個自變量離散化取整得到一個120′120的矩陣，將矩陣的函數(shù)值離散化并且轉(zhuǎn)化為unit8數(shù)據(jù)類型，得到相應(yīng)的灰度矩陣，灰度矩陣所對應(yīng)的高斯光斑如圖10所示。

圖10 高斯光斑所對應(yīng)的灰度圖像

圖11 高斯光斑所對應(yīng)的二值化圖像

圖12 雙線性插值算法示意圖

得到圖像的灰度矩陣后首先進(jìn)行圖像[13-15]的二值化，本文采用直方圖法來進(jìn)行二值化處理，主要是通過統(tǒng)計像素值來尋找圖像的兩個高峰值，然后將閾值設(shè)為兩個峰值之間的最小灰度值，得到的二值化圖像如圖11所示。

得到二值化圖像后，采用Canny邊緣檢測法來采集圖像的邊緣信息。Canny算法能夠有效地檢查弱邊緣，對噪聲信號抑制作用較強(qiáng)，對邊緣信息保留的細(xì)節(jié)多，然后使用圓擬合法對邊緣信息進(jìn)行處理，得到中心坐標(biāo)1(59.4809，59.5895)。

由誤差計算公式，如式(29)所示：

可以計算得到的中心坐標(biāo)與理論坐標(biāo)的誤差1=0.438。

然后用二維雙線性插值對理想光斑進(jìn)行均勻細(xì)化處理，雙線性插值本質(zhì)上是對兩個方向分別進(jìn)行一次線性插值，如圖12所示。首先在要插入點(diǎn)的(，)選取鄰近4個點(diǎn)，根據(jù)(1，1)與(2，1)對1點(diǎn)的值進(jìn)行線性插值，然后根據(jù)(1，2)與(2，2)對2點(diǎn)進(jìn)行線性插值，最后根據(jù)1和2的值對點(diǎn)進(jìn)行線性插值。

插值前后的三維高斯光斑曲線如圖13所示。

插值后的圖像變得更加的細(xì)化、平滑，對插值后的灰度光斑圖像采用與插值前同樣的方式求取中心，得到中心的坐標(biāo)為2(59.7713，59.7919)，由式(29)可得誤差2=0.1308。

由中心的坐標(biāo)及1、2可以得出，對高斯光斑曲線使用二維雙線性插值后，光斑的中心定位精度有了提高，但上述方法是對圖像進(jìn)行整體的插值，而圓擬合法的本質(zhì)上是對光斑的邊緣數(shù)據(jù)采集以及運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行擬合，所以直接對圖像邊緣數(shù)據(jù)信息進(jìn)行雙線性插值運(yùn)算，提高用于擬合的有效像素，有望進(jìn)一步的提高精度。因此，首先把光斑邊緣所對應(yīng)的邏輯變量轉(zhuǎn)化為可進(jìn)行插值運(yùn)算的unit8類型變量，對邊緣所對應(yīng)的灰度矩陣進(jìn)行雙線性插值，插值前后的光斑邊緣成像圖如圖14所示。

表1 中心坐標(biāo)及誤差

在對邊緣信息進(jìn)行插值時，發(fā)現(xiàn)插值的位置不同，最終的結(jié)果也不盡相同，當(dāng)插值點(diǎn)離有效的信息點(diǎn)太遠(yuǎn)時還有可能造成中心定位精度的降低，因此對灰度矩陣有值的位置進(jìn)行線性插值時要選擇適當(dāng)?shù)奈恢?，然后用圓擬合法進(jìn)行處理得到中心坐標(biāo)。

當(dāng)插值點(diǎn)分別離邊緣的坐標(biāo)從0.35開始每次遞減0.05，得到的中心坐標(biāo)及誤差d如表1所示。

由表1可知，插值位置離有效像素點(diǎn)坐標(biāo)太遠(yuǎn)會造成毛刺，對于圓擬合法來說反而加入了一些無用的用于擬合的點(diǎn)數(shù)，從而造成更大的誤差；而距離太近時，卻又影響了用于擬合的真實(shí)的有效像素點(diǎn)。當(dāng)插值位置離有效像素點(diǎn)位置為0.15時，此時中心定位精度最高，中心的坐標(biāo)為3(59.928，59.887)，將坐標(biāo)帶入式(29)中得到3=0.045。將3代入式(27)中得到此時的屈光度誤差僅為0.012D。

對比1、2、3的值可知，整體的插值和邊緣有效位置的插值都進(jìn)一步地提高了所求取中心坐標(biāo)的精度值，因此采用雙重雙線性插值有效地提高中心坐標(biāo)的精度，中心精度的提高則進(jìn)一步影響了屈光度測量的精度，所以使用該方式提取中心將會有效地提高屈光度精度的測量。

圖13 (a) 插值前高斯曲面圖；(b) 插值前高斯曲面圖

圖14 (a) 插值前的圖像邊緣信息圖；(b) 插值后的圖像邊緣信息圖

4 結(jié) 論

本文研究了哈特曼法測透鏡屈光度的誤差來源并建立了相對完善的誤差模型。光源采用綠色LED光源以及忽略透鏡與光電探測器之間的距離1，既免去了阿貝數(shù)的修正，同時也減少了算法的復(fù)雜性，對最終測量結(jié)果產(chǎn)生較小的誤差。對于透鏡傾斜及光軸未與透鏡幾何中心軸相重合而產(chǎn)生的誤差，當(dāng)角度過大時，會產(chǎn)生較大的屈光度誤差，影響了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在實(shí)驗(yàn)中務(wù)必保持透鏡與入射的平行光相互垂直以及光源的光軸與透鏡的幾何中心軸相重合，實(shí)際應(yīng)用中可用本文所述誤差模型來進(jìn)行修正。且由于光電探測器上光斑中心的定位如果不準(zhǔn)確則會產(chǎn)生較大的誤差，因此可采用本文所述的圓擬合法與雙重雙線性插值結(jié)合起來提高光斑中心求取的準(zhǔn)確度，確保中心定位的高精度從而保證屈光度測量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

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Error model analysis and correlation correction of Hartmann's focimeter

Yang Jinlong, Jia Hongzhi, Jin Tao*, Xiang Huazhong, Zhang Dawei, Zhuang Songlin

School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China

Measuring model for Hartmann method

Overview:The focus meter mainly adopts the Hartmann diaphragm measurement method.The parallel light passes through the lens and the Hartmann diaphragm plate on the photodetector image. The spot image formed without the lens has a corresponding change in position, according to the position of the spot. The change in distance calculates the optical parameters of the lens’ top power. This method can not only effectively reduce the error caused by human but also accurately measure the optical parameters of the lens. However, there is no complete error model for autofocus focal meters. Therefore, the relatively perfect error model analysis of the Hartmann measurement method is beneficial to the error correction of the subsequent focal meter measurement. The inaccuracy of the actual diopter measurement is caused by the dispersion error of the light source, the inaccurate of the photodetector’s central positing, the tilt of lens, and the misalignment between the incidence axis and the main axis of the lens. Through the analysis of the error model, the inaccurate positioning of the CMOS photodetector centroid will lead to larger errors. Therefore, a dual bilinear method is proposed. Combining the interpolation method with the fitting method, one can find the center of mass, and it’s the method is effectiveness and accuracy. The conclusion is obtained through analysis. The light source is the green LED light source. Ignoring the distance between the lens and the CMOS photodetector, the Abbe number correction can be eliminated and the complexity of the algorithm can be reduced, resulting in a small error in the final measurement result. For the errors caused by the lens tilt and the misalignment between the incidence axis and the main axis of the lens. The larger misalignment above the large diopter error, and it affects the accuracy of the experimental results. In the experiment, it is necessary to keep the lens and the incident light is perpendicular to each other. In practice, the error model described in this article can be used for correction. Moreover, if the location of the spot center of mass on the CMOS photodetector is inaccurate, a larger error will occur. Therefore, combining the fitting method in this article with the double bilinear interpolation can improve the accuracy of the spot center of mass and ensure the high positioning of the center of mass, ensuring the accuracy of the diopter measurement results.

Yang J L, Jia H Z, Jin T,Error model analysis and correlation correction of Hartmann's focimeter[J]., 2021, 48(3): 200238; DOI:10.12086/oee.2021.200238

Error model analysis and correlation correction of Hartmann's focimeter

Yang Jinlong, Jia Hongzhi, Jin Tao*, Xiang Huazhong, Zhang Dawei, Zhuang Songlin

School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China

In order to reduce the error and improve the measurement accuracy, a more detailed error model is established for the Hartmann method of focal power measurement in this paper. It focuses on the analysis of several problems that cause the error of refraction problems, including the dispersion error of the light source, the inaccurate of the photodetector’s central positing, the tilt of lens, misalignment between incidence axis and main axis of lens, and the incident light and the lens are not perpendicular. At last, it is concluded that the inaccuracy of the center extraction on the photodetector will cause a large error to the final result. For all these reasons, a method of dual bilinear interpolation combined with a fitting method to find the centroid is proposed, proving its effectiveness and accuracy.

Hartmann diaphragm; focimeter; error model; image processing; centroid calculation

10.12086/oee.2021.200238

TN29

A

2020-06-28；

2020-09-18

楊金龍(1990-)，男，碩士研究生，主要從事焦度計與旋光儀的研究。E-mail：870015801@qq.com

金濤(1985-)，男，博士，副教授，主要從事精密測量的研究。E-mail：jintao@usst.edu.cn

* E-mail: jintao@usst.edu.cn

版權(quán)所有?2021中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所

楊金龍，賈宏志，金濤，等. 哈特曼法焦度測量模型的誤差分析及修正[J]. 光電工程，2021，48(3): 200238

Yang J L, Jia H Z, Jin T,Error model analysis and correlation correction of Hartmann's focimeter[J]., 2021, 48(3): 200238