脈沖控制下一類多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步

鄭子釗，彭世國，付志文，徐云劍

（1. 廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510006；2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能工程學(xué)院，廣東 廣州 510507）

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)引起了學(xué)界越來越多的關(guān)注。多變復(fù)雜的系統(tǒng)可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)加以描述，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、通信網(wǎng)絡(luò)等。同步作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的典型集群動力學(xué)行為備受關(guān)注，現(xiàn)有相關(guān)理論研究已被應(yīng)用在保密通訊[1]、信號處理[2]、機器人列隊[3]等諸多實際領(lǐng)域。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步可以簡單理解為網(wǎng)絡(luò)中或者網(wǎng)絡(luò)之間的節(jié)點系統(tǒng)通過相互作用或外部調(diào)控，使狀態(tài)逐步接近，最后達到同一狀態(tài)。

在實際應(yīng)用中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不可避免地會受到各種因素的影響，如環(huán)境中的外部干擾、通訊時延等，這些因素可以使原來穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定[4]。對于如何衡量外部干擾對系統(tǒng)的影響，魯棒H∞控制則具有較好的描述與處理方法，其控制思想是把系統(tǒng)輸出控制在外部干擾的某一特定范圍之內(nèi)，所以對魯棒H∞同步的研究尤為重要。文獻[5]考慮切換復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問題，文獻[6]通過分布式脈沖控制方法，得到了時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，文獻[7]考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞有限時間同步問題, 文獻[8]在文獻[7]的基礎(chǔ)上考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不確定時的魯棒H∞有限時間同步問題，需要指出的是，上述文獻只針對單權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

現(xiàn)實中，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的連接具有非單一性，如人際網(wǎng)絡(luò)中，個體間的通訊可以通過網(wǎng)絡(luò)、電話、傳真等多種方式實現(xiàn)。每種方式具有各自的特點，多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以更精確地描述這類系統(tǒng)的動態(tài)特性，即網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點間存在多個連接邊(權(quán)重)。文獻[9-12]研究了多權(quán)重時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步和魯棒H∞同步問題，文獻[13]研究了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)存在自適應(yīng)狀態(tài)耦合時的魯棒H∞同步問題，文獻[14-15]通過運用牽引控制方法，得到了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件。

如上所述，已有眾多方法用于處理多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問題，如反饋控制、牽引控制、自適應(yīng)控制。在眾多控制方法中，脈沖控制作為一種非連續(xù)控制，能有效降低控制成本，增強系統(tǒng)抗干擾性能，具有很強的實用性[16]。本文將通過脈沖控制方法考慮一類多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問題。受文獻[5-6]啟發(fā)，本文設(shè)計了新穎的分布式脈沖控制器，通過在分布式脈沖控制器中添加誤差狀態(tài)反饋項，以保證網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)魯棒H∞同步。通過模型變換, 利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步特性,以線性矩陣不等式(LMIs)的形式給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，仿真結(jié)果驗證了結(jié)論的正確性。

1 問題描述與預(yù)備知識

2 主要結(jié)果

定理1 考慮滿足假設(shè)1的同步誤差系統(tǒng)式(6)。若對于給定常量0 ＜μ，0 ＜? ＜1， N ×N 維矩陣 M和脈沖時刻序列ζ (ρ) ，存在一個矩陣 P ＞0 和常量α ＞0。有下列LMIs式(7)、式(8)成立，則同步誤差系統(tǒng)式(6)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

備注3 定理2給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(1)在受到外部干擾影響時實現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步性能由同步誤差系統(tǒng)式(5)的穩(wěn)定性和 L2－增 益來衡量，γ 值越小， L2－增益越小，網(wǎng)絡(luò)對干擾的抑制能力越強。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將對多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(1)進行數(shù)值仿真，驗證上述結(jié)論的有效性，給定如下參數(shù)。

n=3， N =5， g =3， f(t,xi(t))=arctan(t)xi(t)，C =[1,0,0]，Di=(0.2+(－1)i0.05i)[1,1,1]T。顯然，可取L=[2,2,2]使f (t, xi(t))函數(shù)滿足Lipschitz條件。時變時延 τ(t)，0 ≤τ(t)≤0.7, 可知τ ˉ=0.7。 節(jié)點間耦合強度a1=a2=a3=1。內(nèi) 部 耦 合 矩 陣 Γ1=diag{0.2,0.1,0.1} ，Γ2=diag{0.1,0.1,0.2} ， Γ3=diag{0.2,0.2,0.1}，耦合權(quán)重矩陣為

進一步，驗證定理2的有效性。取脈沖時刻序列{tk}∈ζ(0.03)，tk－tk－1≡0.03，k ∈N+。

給定 γ=1.8,?=μ=0.57,δ=1.2，誤差反饋增益矩陣 Z=diag{－0.4,－0.4,－0.4,－0.4,－0.4}。根據(jù)耦合權(quán)重矩陣，設(shè)計外部耦合矩陣數(shù)隨時間變化的曲線如圖2所示，可見各節(jié)點狀態(tài)xi(t)漸 近趨向同步狀態(tài)s (t)，網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)同步。

圖1 脈沖控制下，網(wǎng)絡(luò)式(1)各節(jié)點狀態(tài)曲線Fig.1 State curves of each node in the network formula (1) under impulsive control

圖2 脈沖控制下，同步誤差系統(tǒng)式(4)各節(jié)點的狀態(tài)范數(shù)曲線Fig.2 The state norm curve of each node in synchronization error system formula (4) under impulsive control

4 結(jié)論

本文基于脈沖控制方法，對一類多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問題進行了研究，給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，并用Matlab軟件實例仿真驗證了結(jié)論的有效性。研究結(jié)果表明，通過在分布式脈沖控制器中添加節(jié)點狀態(tài)變量與同步狀態(tài)間的誤差狀態(tài)反饋項，可以保證同步誤差系統(tǒng)是內(nèi)部全局指數(shù)穩(wěn)定的且具有有限的 L2－增益，多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)魯棒H∞同步。

圖3 脈沖控制下，同步誤差系統(tǒng)式(5)的受控輸出范數(shù)曲線Fig.3 The controlled output norm curve of synchronization error system formula (5) under impulsive control