一類帶權(quán)微分系統(tǒng)特征值的研究

吳 平

(蘇州職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215004)

1 問題的提出

參考文獻(xiàn)[1]、[2]提出了一類帶權(quán)微分系統(tǒng)，見式(1)，研究其第n個特征值和第n+1個特征值的關(guān)系。設(shè)(a,b)?R是一個有界區(qū)間，考慮

(1)

的特征值的關(guān)系，其中a

其中u1、u2、v1、v2為正常數(shù)。

根據(jù)方程理論知，式(1)的特征值是離散的，且都是正實(shí)數(shù)。

把式(1)寫成矩陣形式，設(shè)

式(1)就可寫成如下形式

(4)

顯然，式(4)與式(1)是等價的。

設(shè)式(4)的特征值為

0≤λ1≤λ2≤…≤λn≤…

與之對應(yīng)帶權(quán)s(x)正交規(guī)范特征向量為Y1,Y2,…,Yn,…,即滿足

(5)

根據(jù)式(3)和式(5)，得

(6)

根據(jù)分部積分法，得

(7)

根據(jù)式(2)和式(7)，得

(8)

設(shè)

其中

φi與Yj帶權(quán)s(x)正交(i,j=1,2,…,n)， 且Dkφi(a)=Dkφi(b)=0(k=0,1,2,3,i=1,2,…,n)。

于是，利用Rayleigh定理，得到下列不等式

(9)

A(-D)(P(x)(A(D)φi))

(10)

(11)

設(shè)

根據(jù)式(11)，得

(12)

根據(jù)式(9)和式(12)，有

(13)

用λn替代式(13)中的λi，成立有

(14)

2 主要引理

為了證明一類帶權(quán)微分系統(tǒng)(1)第n個特征值和第n+1個特征值的關(guān)系，需要先證明下列引理，在證明中參考了文獻(xiàn)[3]、[4]中的引理及證明的內(nèi)容。

引理1 設(shè)Yi是式(4)對應(yīng)特征值λi的特征向量，則

證明 由式(8)，得

(15)

根據(jù)分部積分法、Schwartz不等式、式(6)和式(8)，得

(16)

化簡,得

(17)

由式(8)及式(17),得

(18)

根據(jù)式(16)和式(18)，有

(19)

根據(jù)式(15)和式(19)，即得引理1。

引理2 設(shè)λ1,λ2,…,λn是問題(4)的n個特征值，則

證明 根據(jù)分部積分法和φi的定義，得

(20)

根據(jù)式(20)，有

(21)

根據(jù)式(2)和式(6)，得

(22)

根據(jù)式(2)，式(18)和式(8)，得

(23)

根據(jù)式(2)、分部積分法、Schwartz不等式，式(8)和式(18)，得

(24)

根據(jù)式(21)，式(22)，式(23)和式(24)，即得引理2。

引理3 對于φi和λi(i=1,2,…,n)， 則

(25)

證明 根據(jù)φi的定義，得

(26)

根據(jù)分部積分法，有

(27)

根據(jù)式(26)，式(27)和式(6)，有

根據(jù)Schwartz不等式和引理1，有

。

引理3得證。

3 主要結(jié)論

參考文獻(xiàn)[5]、[6]中的定理及證明的內(nèi)容，以及利用引理1、引理2、引理3和Young不等式，得到并證明了一類帶權(quán)微分系統(tǒng)(1)第n個特征值和第n+1個特征值的關(guān)系，即定理1和定理2。

定理1 如果λi(i=1,2,…,n+1)是式(5)、式(6)的特征值，則

證明 根據(jù)引理3，成立著

再由式(14)和引理2，可得定理1①，在定理1的①中用λn替代λi，可得定理1的②。

定理2 對于n≥1，則

證明 選擇參數(shù)σ>λn，由式(13)，得

(28)

(29)

其中δ>0為待定常數(shù)。

根據(jù)式(28)、式(29)、式(3)和引理1，化簡得

(λn+1-σ)V+T≤I

(30)

(31)

為了使(31)式右端的值達(dá)到最小，取

(32)

將式(32)代入式(31)，有

(33)

根據(jù)引理2、式(30)和式(33)，得

(34)

其中σ>λn，選擇σ使(34)式右端等于零，即

(35)

設(shè)

(36)

易知，f(σ)是在(λn+∞)內(nèi)單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，其值域為(0,+∞)，因此，存在唯一的σ使等式(35)成立。從(34)式知σ≥λn+1，用λn+1來替代等式中σ， 即得定理2。

4 結(jié) 論

方程的特征值問題是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一個重要領(lǐng)域，涉及的內(nèi)容復(fù)雜而廣泛。本文研究了一類帶權(quán)微分系統(tǒng)特征值的關(guān)系，并獲得了第n個特征值和第n+1個特征值的關(guān)系：定理1和定理2。其結(jié)果在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，如在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域。