上下椽頭尾搭接的木構(gòu)古建筑受力性能的簡化計算方法研究

淳 慶，華一唯，張承文，賈肖虎

(東南大學建筑學院，江蘇南京 210096)

0 引 言

中國的古建筑木結(jié)構(gòu)體系在世界建筑體系中占有重要地位，歷經(jīng)千百年，具有鮮明的中華民族特色，明顯不同于西方以磚石砌體結(jié)構(gòu)為主的建筑遺產(chǎn)類型。中國的古建筑木結(jié)構(gòu)營造傳統(tǒng)工藝是工匠按世代相沿襲的手法完成從原材料采集、構(gòu)件加工制作到安裝成型，再到后期裝修和修繕的一套完整技術(shù)過程，是勞動人民長期實踐經(jīng)驗的總結(jié)，是經(jīng)過長時間的反復運用、不斷改進和創(chuàng)新而形成的較為成熟的工藝技術(shù)體系，蘊含著深刻的科學原理。我國現(xiàn)存的古建筑木結(jié)構(gòu)主要有抬梁木構(gòu)體系、穿斗木構(gòu)體系和井干木構(gòu)體系。這些古建筑木結(jié)構(gòu)隨著時間的流逝，受應力效應、環(huán)境效應、疲勞效應、腐朽效應以及材料老化等不利因素的影響，不可避免地產(chǎn)生了損傷累計和抗力衰減，一旦材料或結(jié)構(gòu)嚴重損傷、受強外力作用、自然災害作用達到一定程度，這些古建筑木結(jié)構(gòu)就存在損毀的風險了。因此，對這些古建筑木結(jié)構(gòu)進行科學的結(jié)構(gòu)性能計算，準確地評估其結(jié)構(gòu)安全現(xiàn)狀，盡早地預防損毀的風險，已變得非常迫切了。

目前，國內(nèi)外學者對于古建筑木結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)性能研究主要有以下幾方面：在構(gòu)件研究層面上，徐國明[1]推導出原木椽條在不同荷載組合作用下的最小直徑計算公式，并對采用原木椽條的瓦屋面四種常用工程做法進行了總結(jié)，編制了楊木原椽條最小直徑選用表；賴振中[2]以飛檐為研究對象，介紹了飛檐的歷史、形制、藝術(shù)價值等，包括早期發(fā)展和演變過程、飛檐做法、結(jié)構(gòu)等；井慶升[3]從歷史的角度對古建筑翼角的演變進行了總結(jié)；一些學者[4-7]對于木梁中出現(xiàn)的疊合做法進行了理論分析與試驗研究，得出不同材料、不同尺寸的木梁疊合構(gòu)件抗彎承載力計算公式。在結(jié)構(gòu)研究層面上，淳慶等[8]通過對南方地區(qū)傳統(tǒng)的穿斗木構(gòu)體系和抬梁木構(gòu)體系的典型榫卯節(jié)點和構(gòu)架的試驗研究，得出兩種木構(gòu)體系結(jié)構(gòu)的整體性關(guān)鍵殘損點指標；李振等[9]參照宋《營造法式》，建立了單、雙、三跨一榀木構(gòu)架無斗拱有限元模型，對其在相同柱頂配重下進行了低周往復荷載作用下的數(shù)值模擬，研究了各自的承載性能；陳春超[10]以榫卯節(jié)點、單榀木構(gòu)架和整體結(jié)構(gòu)的受力性能為研究對象，歸納和總結(jié)現(xiàn)有研究成果的不足，結(jié)合試驗研究、有限元模擬和理論分析對古木結(jié)構(gòu)的整體性能進行了研究；袁建力[11]對墻體與木構(gòu)架的構(gòu)造特征、力學性能和布置方案對整體結(jié)構(gòu)抗震性能的影響進行了研究，提出了基于位移控制包括墻體微裂和開裂工作狀態(tài)的古建筑木結(jié)構(gòu)三階段抗震分析方法；李小偉[12]以宋代八架椽分心斗殿堂為原型結(jié)構(gòu)，制作了3榀相似比為1∶4的木構(gòu)架模型，測試得到木材的材料性質(zhì)和木構(gòu)架模型在空載、半載和滿載3種工況下的動力參數(shù)；張海彥[13]以殿堂式木構(gòu)建筑為例，對其獨特的結(jié)構(gòu)形式、節(jié)點特性、動力機制進行了研究，提出了榫卯連接特性的剛度公式和等效黏滯阻尼系數(shù)。而國外學者[14-17]對木結(jié)構(gòu)的計算研究主要針對采用膠合木為材料的木結(jié)構(gòu)。

綜上所述，目前國內(nèi)外學者對于古建筑木結(jié)構(gòu)受力性能的計算方法研究較少，本研究選取古建筑木結(jié)構(gòu)中的主要結(jié)構(gòu)構(gòu)件作為研究對象，對常見的荷包木椽、拼合木檁條、木梁架的受力性能計算方法進行研究，最后再從整體上對典型木構(gòu)架的動力特性進行研究，給出其結(jié)構(gòu)基本自振周期的簡化計算公式。研究成果可以為古建筑木結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)計算、安全評估、加固修繕設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 結(jié)構(gòu)受力性能簡化計算方法

1.1 上下椽頭尾搭接的木椽受力簡化計算

在古建筑木結(jié)構(gòu)中，木椽是屋面基層的最底層構(gòu)件，垂直安放在檁條之上，布椽方式多為上下椽頭尾搭接(圖1)。木椽的類型主要分圓椽、方椽與荷包椽3類。木椽兩端擱置在檁條之上，從結(jié)構(gòu)受力的角度可以假設(shè)成兩端簡支的簡支梁模型。在木椽受力性能計算時，通常對木椽的抗彎強度、抗剪強度和撓度進行計算分析，以確定木椽的結(jié)構(gòu)安全性。

圖1 屋面木椽實景照片F(xiàn)ig.1 Photos of roof rafters

對于方椽和圓椽而言，計算較為簡單，本研究不再贅述。在我國江南地區(qū)的傳統(tǒng)木構(gòu)建筑中，椽子多為荷包椽。荷包椽的結(jié)構(gòu)安全直接關(guān)系到屋面的整體安全，在筆者修繕的數(shù)十棟江南地區(qū)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑中，就存在許多荷包椽撓度過大或斷裂的殘損現(xiàn)象，究其原因主要是由于斷面較小而引起的受力問題所致。對于江南地區(qū)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑中常見的荷包椽，由于其不規(guī)則截面形狀，如何求解其截面慣性矩成為計算過程的關(guān)鍵所在。本研究針對荷包椽的截面特性，提出一種簡化、快速的計算方法，以便于實際工程中的復核計算。

1.1.1荷包椽截面慣性矩的簡化計算 荷包椽是指圓形截面截去直徑的1/4所留下的弓形截面，是傳統(tǒng)木構(gòu)建筑中常用的木椽截面形式，如圖2所示。為研究其截面慣性矩的簡化計算方法，采用組合截面的計算方式計算。計算時，采用整圓的截面慣性矩減去上部1/4弓形截面慣性矩并附加移軸慣性矩，以此得到荷包椽截面的慣性矩。

圖2 計算簡圖Fig.2 Structural calculation diagram

按圖2所示的計算簡化與參數(shù)示意圖建立相應的坐標系，首先依據(jù)式(1)計算荷包椽截面中性軸位置xc。

(1)

式中，S1、S2分別為整圓截面、弓形截面的面積；xc1、xc2分別為這兩個截面自身形心軸相對于x軸的坐標。若假設(shè)荷包椽切除的弓形高為h，寬為b，整圓截面的半徑為r，那么S1、S2、xc1、xc2可按式(2)至式(5)計算得到，其中弓形的面積和形心位置按拋物線近似估計。

xc1=0

(2)

S1=πr2

(3)

xc2=r-2h/3

(4)

S2=2bh/3

(5)

將式(2)至式(5)代入式(1)可計算得到荷包椽中性軸位置坐標的表達式。

(6)

荷包椽截面慣性矩的計算根據(jù)組合截面慣性矩的移軸定理按式(7)計算。

(7)

式中，Ic1、Ic2分別為整圓截面、弓形截面對自身形心軸的截面慣性矩；dc1、dc2分別為這兩個截面自身形心軸對荷包椽截面中性軸距離。其均可按式(8)至式(11)計算得到，其中弓形截面慣性矩和按半橢圓近似估計。

(8)

Ic1=πr4/4

(9)

(10)

Ic2=46bh3/945

(11)

將式(8)至式(11)代入式(7)可以計算得到荷包椽對自身形心的截面慣性矩表達式。

(12)

荷包椽截面抵抗矩的按式(13)計算。

W=Ic/ymax

(13)

式中，ymax為荷包椽上下邊緣至中性軸距離的較大值，表達式如式(14)。

(14)

當h/2r=1/4時：

Ic≈0.638 8r4

(15)

ymax≈0.932 5r

(16)

W≈0.685 0r3

(17)

1.1.2對檐椽和飛椽的結(jié)構(gòu)意義討論 1) 宋《營造法式》檐口伸出的規(guī)定?！稜I造法式》卷五中述“造檐之制，皆從撩檐枋心出，如椽徑三寸，即檐出三尺五寸；椽徑五寸，即檐出四尺至四尺五寸。檐外別加飛椽，每檐一尺出飛子六寸”。也就是說，從撩檐枋心向外至檐口的伸出，由“檐椽出”和“飛椽出”兩個距離組成，檐椽出按椽徑大小計算，飛椽出按檐椽出的0.6倍計算。

2) 清《工程做法則例》檐口伸出的規(guī)定。無斗拱建筑由檐檁中至飛椽外皮的距離，按0.3倍檐柱高計算；帶斗拱建筑由挑檐桁中至飛椽外皮(按21斗口計算，其中檐椽出占14斗口；飛椽出占7斗口)。

3) 飛椽。飛椽宋稱飛子，它是鋪釘在望板上，楔尾形的檐口椽子，與檐椽成雙配對，飛椽徑與椽子相同，后尾長按出檐長的2.5倍計算。

一般可認為，檐椽由抗彎承載力控制，而飛椽則由撓度控制。下文給出詳細計算推導作為依據(jù)。

在出挑長度相同的情況下，分兩種工況進行計算分析，工況1：僅是檐椽出；工況2：檐椽出+飛椽出。

(1) 工況1。僅是檐椽出時，出挑長度為L1+L2，計算簡圖如圖3所示。

圖3 檐椽出挑(L1+L2)的計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of eave rafter with cantilever length of (L1+L2)

此時，最大彎矩為：

(18)

最大剪力為：

V1=q(L1+L2)

(19)

最大撓度為：

(20)

式中,q為木椽均布荷載設(shè)計值；qk為木椽均布荷載標準值；E為木椽的彈性模量；I為木椽截面的慣性矩。

(2) 工況2。檐椽出挑L1，飛椽再出挑L2，計算簡圖如圖4所示。

圖4 檐椽出挑L1+飛椽出挑L2Fig.4 Calculation diagram of eave rafter with cantilever length of L1 and flying rafter with cantilever length of L2 overhang of eaves-rafter： L1+ overhang offlying-rafter： L2

此時，最大彎矩為：

(21)

最大剪力為：

V2=q(L1+L2)

(22)

最大撓度為：

(23)

經(jīng)計算比較得，M1>M2，V1=V2，Δ1>Δ2。

計算結(jié)果表明，在檐椽的基礎(chǔ)上增加飛椽，不僅可以滿足建筑外觀和構(gòu)造的要求，而且可以使檐椽的彎矩和撓度均減小，因此檐椽的截面尺寸也可以相應縮小。

表1為檐椽出和飛椽出的最大值，計算時木材強度按照杉木和松木取值，檐椽和飛椽均為方椽，屋面恒荷載標準值取值：琉璃瓦取3.8 kN/m2，筒瓦取3.0 kN/m2，小青瓦取2.4 kN/m2，屋面活荷載標準值取0.7 kN/m2。該表格中的數(shù)據(jù)可供木椽長度設(shè)計時參考。

表1 檐椽出和飛椽出的長度最大值Table 1 Maximum cantilever length of eave rafter and flying rafter

1.2 拼合檁條受力簡化計算

古建筑木結(jié)構(gòu)的檁條根據(jù)位置不同可分為脊檁、金檁、檐檁和挑檐檁等類型，檁條與檁條之間一般用燕尾榫縱向拉接，檁條在跨度較大且受力較大時，為增強檁條抗彎性能，其下方會增設(shè)隨檁枋(南方又稱連機)形成拼合檁條以滿足承載力和剛度的要求。隨檁枋與檁條之間通常采用近端部硬木銷釘?shù)姆绞竭M行連接，以形成拼合檁條的結(jié)構(gòu)形式，拼合方式如圖5所示。

圖5 拼合檁條模型(檁條+隨檁枋)Fig.5 Calculation model of stitching purlin (purlin with Fang)

在實際做法中，木結(jié)構(gòu)榫卯節(jié)點通常呈半剛性，限制了豎直方向上的位移且具有一定的轉(zhuǎn)動能力。而在進行拼合檁條截面承載力驗算時，為留足安全富余度且便于計算，故保守考慮將兩端支座簡化為鉸支座。這時若考慮荷載平衡方程及變形協(xié)調(diào)條件，再加以檁條與隨檁枋的的物理方程，便可求出近端部銷栓所受的剪力。

(24)

式中,q為拼合檁條所受均布荷載；d為近端部銷栓至拼合檁條端部距離；L為拼合檁條總長度；Du為檁條直徑；h為隨檁枋高度；A1、A2分別為檁條、隨檁枋的面積；I1、I2分別為檁條、隨檁枋的慣性矩。檁條—隨檁枋拼合檁條的破壞模式可分為兩種：1)銷栓首先破壞，隨后拼合檁條形成疊合檁條，隨著荷載的增大，檁條或隨檁枋最后破壞；2)拼合檁條率先達到極限抗彎強度而破壞。

1.2.1破壞模式1 銷栓先破壞時，上下小件的極限彎矩滿足M1

(25)

式中,A為銷栓截面積，其余參量與式(24)中的參量定義一致。在銷栓破壞后，形成檁條-隨檁枋疊合構(gòu)件，在小變形情況下，兩梁的曲率相同，則拼合檁條最終破壞時最大彎矩為：

當h>Du(隨檁枋先破壞)時：

M=M1+M2=2fm(I1+I2)/h

(26)

當h≤Du(檁條先破壞)時：

M=M1+M2=2fm(I1+I2)/Du

(27)

1.2.2破壞模式2 單個小件先破壞時的銷栓剪力應滿足N<2fvA/3，因此單個小件先破壞時的最大彎矩為：

當h>Du(隨檁枋先破壞)時：

(28)

當h≤Du(檁條先破壞)時：

(29)

式中,I1、I2分別為檁條、隨檁枋的慣性矩；W1、W2分別為檁條、隨檁枋的彎曲截面系數(shù)；λ數(shù)值為近端部銷栓至拼合檁條端部距離d與拼合檁條總長度L的比值。為簡化表達引入?yún)⒘緾K，表達式如式(30)。

(30)

1.3 三架梁和五架梁受力簡化計算

古建筑木結(jié)構(gòu)民居中的主要受力梁架一般為三架梁和五架梁兩種，木梁與木柱的榫卯連接節(jié)點根據(jù)木構(gòu)架的不同會有所不同，木梁可以簡化為兩端半剛性連接的梁，其結(jié)果可以視作兩端鉸支的梁在外荷載與支座反力彎矩相疊加，其疊加原理圖見圖6。

從圖6的疊加原理，有端部轉(zhuǎn)角疊加相等的幾何方程：

圖6 三架梁、五架梁支座半剛性彎矩計算簡圖Fig.6 Calculation diagrams for moment calculation of three-purlin beam and five-purlin beam with semi-rigid supports

θi=θpi-θmi(i=1，2)

(31)

若設(shè)梁的彎曲剛度為EI，步距為l，則三架梁與五架梁的θpi、θmi可按式(32)和(33)求得。

(32)

(33)

式中,Mr為支座處的彎矩，若設(shè)支座處轉(zhuǎn)動剛度為k，其值應為kθ；代入式(31)可解得θi。

(34)

依據(jù)Mri=kθi及彎矩疊加原理，容易計算得到支座處彎矩Mri及梁的跨中彎矩Mmi：

(35)

(36)

式中,i為梁的線剛度，對于三架梁計算模型i1=EI/2l，對于五架梁計算模型i2=EI/4l。

對比兩端鉸支的簡支梁跨中彎矩，可以發(fā)現(xiàn)當兩端支座處考慮榫卯節(jié)點半剛性后，跨中的彎矩有所減小，而支座處則出現(xiàn)了一定的負彎矩。為了在工程中方便地計算節(jié)點半剛性帶來的跨中彎矩折減以及支座處的負彎矩，引入跨中彎矩系數(shù)和支座彎矩系數(shù)φm、φr，那么跨中彎矩及支座處的負彎矩可以通過簡支梁的跨中彎矩Mm0乘以對應的系數(shù)得到，即：

Mm=φmMm0，Mr=φrMm0

(37)

依據(jù)式(35)和式(36)，容易計算得到φmi、φri的表達式。

對于三架梁：

(38)

對于五架梁：

(39)

1.4 古建筑木結(jié)構(gòu)的基本自振周期簡化計算方法

為研究古建筑木結(jié)構(gòu)在兩個方向基本自振周期的近似計算公式，針對典型開間數(shù)、屋面瓦作及建筑高度的古建筑采用SAP 2000軟件建立了有限元模型進行計算分析，其計算模型如圖7所示，榫卯節(jié)點的轉(zhuǎn)角剛度半剛性數(shù)據(jù)參見文獻[18-20]，木材的彈性模量按常見的杉木和松木考慮，取值為9 000 N/mm2。對于不同的開間數(shù)，考慮了三開間、五開間兩種常見類型；對于不同的屋面瓦作，考慮了小青瓦和筒瓦兩種常見類型，其中小青瓦屋面恒載取2.4 kN/m2、筒瓦屋面恒載取3.0 kN/m2；對于不同的建筑高度，考慮了明間3.6 m和3.3 m兩種情況，其余尺寸按古建筑的形制中確定的比例關(guān)系推算得到，這兩種情況對應的建筑高度分別為4.4 m和4.2 m，柱底為鉸接。

圖7 不同開間木構(gòu)建筑計算有限元模型Fig.7 Finite element models of traditional timber buildings with different bays

最終，共獲得三開間的4種工況和五開間的4種工況的結(jié)構(gòu)基本自振周期，計算結(jié)果如表2所示。

表2 典型木構(gòu)建筑的基本自振周期Table 2 Basic natural vibration periods of typical traditional timber buildings

從表2中的計算結(jié)果可以初步擬合得到典型類型的古建筑木結(jié)構(gòu)在2個方向(進深方向T1、面闊方向T2)的基本自振周期的近似計算公式。

當為三開間時：

T1=η(0.895H-2.665)，T2=η(0.825H-2.407)

(40)

當為五開間時：

T1=η(0.670H-1.748)，T2=η(0.845H-2.563)

(41)

式中，結(jié)構(gòu)基本自振周期單位為s；H為結(jié)構(gòu)建筑高度，單位為m；η為屋面瓦作影響系數(shù)，當屋面瓦作為小青瓦時取1，筒瓦時取1.1。

2 結(jié) 論

通過從構(gòu)件層面到結(jié)構(gòu)層面，一方面，對木椽、木檁條、木梁架進行了結(jié)構(gòu)受力計算研究，給出了受力性能的簡化計算方法；另一方面，研究了常見開間數(shù)的木構(gòu)架整體動力特性，并給出了其基本自振周期的簡化計算公式，研究成果對古建筑木結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)受力計算、結(jié)構(gòu)安全評估及加固修繕設(shè)計研究與工程實踐有一定的參考價值和指導意義。

1) 對古建筑木結(jié)構(gòu)中的荷包椽進行了截面特性的研究，得出荷包椽截面慣性矩的簡化計算公式，便于在實際工程中對此類木椽的截面特性進行快速計算。

2) 通過計算分析，給出了工程做法中檐椽與飛椽組合的長度最大值，供設(shè)計借鑒參考。

3) 對常見的圓形檁條拼合矩形隨檁枋的拼合檁條構(gòu)件，給出不同破壞模式下的銷栓剪力與極限彎矩的簡化計算公式，便于在實際工程中進行結(jié)構(gòu)驗算和構(gòu)件設(shè)計。

4) 考慮轉(zhuǎn)角半剛性，提出了古建筑木結(jié)構(gòu)中的三架梁、五架梁的跨中彎矩和支座彎矩的計算公式。

5) 給出了古建筑木結(jié)構(gòu)中典型三開間、五開間木構(gòu)架在進深方向和面闊方向的結(jié)構(gòu)基本自振周期近似計算公式。