喚醒“固化思維”走向深度學(xué)習(xí)*
——以一道中考題講評為例

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100) 楊小兵 胡丹

深度學(xué)習(xí)理論表明：在教學(xué)過程中，教師不能只一味的“灌輸”，而應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，通過師生互動、生生互動來調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，進而引導(dǎo)學(xué)生從“動眼、動口、動手”轉(zhuǎn)向“動心、動腦”，使學(xué)生能更深入的探究問題，并深刻理解所學(xué)知識的本質(zhì)及品味知識中滲透的思想方法，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，促進“知識—技能—方法—思想—核心素養(yǎng)”體系的形成.可見，在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維是深度學(xué)習(xí)必不可少的條件.[1]那么在教學(xué)中應(yīng)該怎樣做，才能使學(xué)生達到深度學(xué)習(xí)呢? 研究者認(rèn)為，教學(xué)過程應(yīng)以“問題”為載體和核心，通過一系列的“問題鏈”將學(xué)習(xí)中的任務(wù)與“問題”緊密相連，以便引導(dǎo)和維持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及動機，從而達到深度學(xué)習(xí).[2]本文以一道中考試題講評為載體，展示學(xué)生在層層遞進的“四動”片段中從“固化思維”中醒悟，最終達到深度學(xué)習(xí)的整個講評過程.

問題(2018·四川綿陽中考) 已知a＞b＞0，且則

一、教學(xué)實錄

片段1 “動口”——思維碰撞，激發(fā)興趣

師Y：這道題相對簡單，但還是有部分同學(xué)做錯了，接下來請同學(xué)們談?wù)剬@道題的看法和思路.

生1：先將等式變形轉(zhuǎn)化成一元二次方程，再用配方法.

生2：咦? 我的配方方式和生1 的配方方式不太一樣，但答案一樣.

生3：我在一本書上看到一個法子，我仿照做出來了，用的換元法.

生4：可以利用一元二次方程的頂點式.

生5：我用了一元二次方程的兩點式.

生6：和生1 一樣轉(zhuǎn)化成一元二次方程，然后利用求根公式.

生7：我直接將等式進行配方就做出來了.

……

設(shè)計意圖教師Y 讓學(xué)生“動口”交流想法，讓學(xué)生感受到明明是同一道題，但卻有多種不同的解法，由此引起學(xué)生的興趣并使學(xué)生深入思考其他人是怎么想到的，同時生生之間也會將解題方法進行對比和擇優(yōu)，能極大調(diào)動學(xué)生的自主性和主動性使之參與到教學(xué)中.

片段2 “動手”——板書演示，展露細(xì)節(jié)

師Y：聽同學(xué)們討論，感覺你們的解法很新奇，不如上臺分享一下.

師Y：生8 的做法，大家懂了嗎?

眾生：懂了.

師Y：該同學(xué)使用的是一般的配方法，即先將二次項系數(shù)化為1，在加上一次項系數(shù)一半的平方，那么可不可不將二次系數(shù)化為1，直接進行配方呢?

全班學(xué)生低頭私語，陷入思考中和討論(生9 舉手示意，教師Y 同意生9 回答).

師Y：生9 思路和做法都是正確的，非常不錯，大家掌聲鼓勵一下，除了配方法還有其他的方法嗎?

全班學(xué)生又陷入小聲的討論中，一小會兒之后，陸續(xù)有同學(xué)躍躍欲試的樣子，教師Y 點頭示意學(xué)生回答.

師Y：該同學(xué)運用換元法，直接消掉一次項系數(shù)，想法新穎，思路清晰巧妙，同學(xué)們掌聲送給生10，同學(xué)們還有其他的方法嗎?

全班學(xué)生面露難色，陷入沉思中.教師Y 見狀給出提示：同學(xué)們不妨想一想一元二次函數(shù)的幾種表達形式，看一看有什么關(guān)系呢? 一會兒，有同學(xué)舉手示意.

生11：因為一元二次方程的一般式和頂點式是等價的，即ax2+bx+c=a(x+m)2+n，展開故有：b=2am，c=am2+n.又原等式可化為則即又a＞b＞0，故

師Y：生11 做出來了，非常不錯，但一元二次方程的等價形式只有這一種嗎? 其他同學(xué)還有什么看法呢?

生12：一元二次方程的一般式和兩點式也是等價的，ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展開ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)+ax1x2，即有韋達定理：x1+x2=又原等式可化為令故將x1表示出來帶入 ②中求得或故

師Y：恩，非常好，大家掌聲鼓勵，同學(xué)們已經(jīng)列出了許多方法，但大多都轉(zhuǎn)為了一元二次方程，將看作一個整體來求解.現(xiàn)在我們能否再轉(zhuǎn)換一下思維，若能直接求出a,b的關(guān)系，答案也就顯而易見了.

生13：原等式去分母得a2-2ab-2b2=0，將b看作常數(shù)，配方得(a-b)2-3b2=0，又a＞b＞0，故即

師Y：很好，生13 通過固參直接求得了a,b的關(guān)系，大家把熱烈的掌聲送給他.現(xiàn)在我們也積累了多種不同的方法，那這些方法各有什么優(yōu)點呢? 在解題的時候選擇哪種方法更合適呢?

設(shè)計意圖行為主義學(xué)習(xí)理論中桑代克的聯(lián)結(jié)說指出：知識和技能的獲得必須通過嘗試—錯誤—再嘗試，學(xué)習(xí)過程是盲目的嘗試與錯誤的漸進過程，學(xué)習(xí)的實質(zhì)在于形成一定的聯(lián)結(jié).[3]教師是教學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)者與組織者，占據(jù)著主導(dǎo)作用，學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體，教師通過設(shè)計“板書演示”調(diào)動全班“動口”討論、“動眼”觀察、“動手”操作，使全班學(xué)生達到行為參與，通過嘗試—錯誤—再嘗試尋求答案.

片段3 “動腦”——深入探討，挖掘思維

師Y：生9 的配方簡單有趣，那么我們對于一般的二次方程ax2+bx+c=0(a /=0)，如果采用生9 的方法進行配方，會有什么結(jié)果呢? 該方法優(yōu)點何在呢?

學(xué)生思考片刻，便有一些學(xué)生舉手示意，教師Y 點頭允許.

生14：先兩邊同乘以4a得4a2x2+4abx+4ac=0，整理為(2ax)2+2·2ax·b=-4ac，再將2ax看作一個整體，兩邊同時加上一個b2，整理得(2ax)2+2·2ax·b+b2=b2-4ac，然后配方得(2ax+b)2=b2-4ac，故

師Y：生15 對該同學(xué)的結(jié)果有什么看法呢?

生15：生14 的方法和結(jié)果都是正確的，配方過程簡潔明了，運用該方式進行配方各項系數(shù)均為整數(shù)，避免了配方過程中分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，而且可以直接產(chǎn)生求根公式.

師Y：生15 對該方法認(rèn)識到位，評價正確全面，該方法源于印度，稱為“印度配方法”，該方法在操作上具有一定的技巧性，理解上存在一定難度，而書上的配方法具有一般性，相對容易理解，大家都懂了嗎?

眾生：懂了.

師Y：我們再來深入分析一下生10 的換元法，若將此法也用于一般的一元二次方程，該怎么做呢?

生16：設(shè)ax2+bx+c=0 (a /=0)，令x=t+p，代 入 計 算a(t+p)2+b(t+p)+c=0，整 理 可 得at2+(2ap+b)t+ap2+bp+c=0，為消掉一次項系數(shù)可令2ap+b=0，解得則解得則

師Y：該方法有什么巧妙之處呢?

生17：通過一元二次方程的求根公式可知：方程的解由兩部分組成，運用換元法可消掉一次項系數(shù)，從而直接開方求得t，進而解出x，該法也是求一般方程根的通性通法.

師Y：生17 認(rèn)為用換元法求解方程根具有一般性，真的是這樣嗎? 那么今天布置一個課外探究問題：能否用換元法求出x3+px+q=0 的根? 若可以請解出x.感興趣的同學(xué)可以課后獨立思考并查閱相關(guān)資料或者和同學(xué)交流探討等.現(xiàn)在我們繼續(xù)來分析運用兩點式解題，是不是所有的一元二次方程都可以用兩點式解題呢?

生18：可以用兩點式解題.

師Y：真的可以嗎? 為什么?

生19：應(yīng)該是不可以的，只有方程有兩個根的時候才能運用該方法，根不存在的時候是不能用這種方法的.

師Y：生19 回答的非常好，生12 在求解的時候通過代入消元求解，若x1x2,x1+x2結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的時候用這種方法還合適嗎? 有沒有辦法可以簡化運算?

生19：先求解x1- x2然后聯(lián)立能簡化運算.比如：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展開ax2+bx+c=ax2- a(x1+x2)+ax1x2，即有韋達定理：x1+x2=那么則得故求得

師Y：請生20 來評價一下生19 的做法，有哪些優(yōu)點值得學(xué)習(xí)呢?

生20：生19 在求解并沒有直接帶入消元求解，而是根據(jù)結(jié)構(gòu)特點，先升次再降次，構(gòu)造x1-x2，從而簡化計算過程，過程非常巧妙，這種思想值得我們學(xué)習(xí).

此時，全班響起了熱烈的掌聲.

生21：原等式可化為2b2+2ab-a2=0，即b2√+ab=配 方 得故又a＞b＞0，故

師Y：同學(xué)們解決問題的方法多種多樣，細(xì)細(xì)品味其中的思想方法.

設(shè)計意圖維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論表明教學(xué)不僅需要考慮學(xué)生已有的發(fā)展水平，又需要根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出更好的要求.例如：教師Y 在教學(xué)過程中通過求一元二次方程根的問題，提出能否用相同的方法求解一元三次方法的根? 教師Y 在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，通過一系列的問題鏈調(diào)動學(xué)生的積極性，使其從“動口、動眼、動耳、動手、動腦、動心”轉(zhuǎn)化為“行為參與、認(rèn)知參與、情感參與”，以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生的主動性、自主性、創(chuàng)造性，引導(dǎo)學(xué)生打破“套路解題”的淺層思維，深入挖掘解題過程中滲透的數(shù)學(xué)思想.

片段4 “動心”——溫故反思，思維再現(xiàn)

師Y：同學(xué)們對這道題進行了深度的發(fā)掘，我深感欣慰.下面請同學(xué)們分組討論，總結(jié)解一元二次方程的方法.

一組：解一元二次方程不僅僅只有配方法，還可以用公式法和韋達定理.

二組：可以利用換元法，解一元二次方程.

三組：解一元二次方程也可以看成函數(shù)求零點問題，利用數(shù)形結(jié)合法解決.

四組：配方不一定要二次項系數(shù)為1，可以直接湊，用印度配方法.

五組：還可以將一元二次方程的一般式與頂點式、兩點式相互轉(zhuǎn)化.

六組：整體思維、局部思維及固參思維能夠使問題簡化，也是解決問題常用思維.

師Y：同學(xué)們總結(jié)得很到位，這不僅僅是掌握了多種方法，更多的是提高了自身內(nèi)在的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，希望同學(xué)們繼續(xù)保持這種深度思考、不斷探索的精神，保持思維的靈活性，做一個喜歡思考問題和解決問題的人.

設(shè)計意圖學(xué)習(xí)策略中“復(fù)述策略”表明及時復(fù)習(xí)是防止遺忘的有效措施之一，通過再一次的理解和復(fù)述能夠再次強化所同化的知識.而檢驗學(xué)習(xí)最好的方式就是將自己所掌握的知識說給別人聽，通過小組討論，全班總結(jié)，讓學(xué)生再一次回顧解決問題中所滲透的數(shù)學(xué)思想.

二、教學(xué)反思

美國心理學(xué)家波斯納提出教師成長公式：經(jīng)驗+反思=成長.教學(xué)反思是教師的成長和發(fā)展的重要途徑，教學(xué)反思即教師對自己教育行為、教育策略、教育理念、教學(xué)過程、教學(xué)結(jié)果等進行認(rèn)真的自我審視、評價、反饋、控制、調(diào)節(jié)、分析的過程.[4]本案例中，教師Y 以求一道中考題為載體，通過設(shè)計一系列的問題鏈，順其自然的推進教學(xué)進程，整個講評過程既貫穿著學(xué)生的“六動”——動口、動眼、動耳、動手、動腦、動心，又融入了學(xué)生的“四參”——行為參與、認(rèn)知參與、情感參與、自省參與，還達到了深度學(xué)習(xí)的效果.同時在教師Y 的引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的深入思考、動手操作把“數(shù)學(xué)題就是套公式”、“一題一解”等固化觀點轉(zhuǎn)向了關(guān)注“一題多解”、“數(shù)學(xué)思想方法”等方面.課后，研究者對此進行了深入的反思，主要有以下幾點.

2.1 如何設(shè)計數(shù)學(xué)問題

問題是數(shù)學(xué)的心臟，一個好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)是簡潔易懂、極具深意、能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展甚至世界的發(fā)展，例如：費馬大定理，它經(jīng)過歐拉、索菲·熱爾曼、庫默爾、法爾廷斯等眾多數(shù)學(xué)家的研究最終被懷爾斯證明，歷時300 多年，期間產(chǎn)生了眾多新的理論的方法，極大的推進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，費馬大定理因此也被數(shù)學(xué)家們稱為“會下金蛋的母雞”.[5]當(dāng)然若在教學(xué)中則不僅僅只是考慮單個問題，還需考慮教學(xué)效果，除了上述提到的問題極具深意外，問題的有效性、問題的價值性、問題的數(shù)量等都會影響教學(xué)效果.因此，對數(shù)學(xué)問題而言，作為教師應(yīng)思考設(shè)計什么樣的數(shù)學(xué)問題，為什么要設(shè)計這個問題，如何設(shè)計這個問題，這個問題有什么作用，時機是否恰當(dāng)?shù)?再者數(shù)學(xué)課堂中一系列恰當(dāng)?shù)膯栴}鏈能激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的自主性和積極性，使學(xué)生思維的火花不斷燃燒.[6]設(shè)計數(shù)學(xué)問題就應(yīng)充分考慮學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，充分利用學(xué)生已有的基礎(chǔ)使學(xué)生能快速的理解問題，并建立起已有知識和未知事物的“橋梁”，從而將新的刺激同化到已有的圖式中; 設(shè)計的數(shù)學(xué)問題也應(yīng)相互關(guān)聯(lián)，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，層層遞進由淺到深、由簡到繁、由易到難，呈階梯式增長推進課堂自然前進;設(shè)計的數(shù)學(xué)問題還應(yīng)具有豐富的內(nèi)涵和啟發(fā)性，例如：講評中啟發(fā)學(xué)生用多種方法求一元二次方程的根并探究其中所滲透的思想方法，喚醒學(xué)生“套路解題”的固化思維，從而進行深度學(xué)習(xí)，并將問題延伸至求一元三次方程的根，通過設(shè)計該類課外探究問題使有興趣的學(xué)生得到充分的啟發(fā)和發(fā)展.

2.2 充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性

主觀能動性是指：人的主觀意識對客觀世界的能動作用，能主動地認(rèn)識世界和改造世界.在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)教師“滿堂灌”的現(xiàn)象，學(xué)生也是被教師牽著鼻子走，完全忽略了學(xué)生的主觀能動性，這是極不可取的.新課改背景下提出：教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.[1]怎樣才能發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性呢? 研究者有以下幾點思考：首先，教師應(yīng)該營造一個相互尊重、民主、和諧、平等、積極向上的課堂環(huán)境;其次，教師應(yīng)該合理巧妙的設(shè)計數(shù)學(xué)問題，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，并在課堂中留給學(xué)生充分思考問題的時間;再者，教師應(yīng)該幫助學(xué)生提高自我效能感，馬斯洛需要層次理論表明人的需要像階梯一樣，從低到高分別為：生理需要、安全需要、社交需要、尊重需要、自我實現(xiàn)需要，而學(xué)生在其已有階段的自我實現(xiàn)需要為學(xué)習(xí)上的自我實現(xiàn)需要，教師則需引導(dǎo)學(xué)生解決不易簡單解決但又能通過自己努力得到解決的問題，不斷給予學(xué)生正反饋，提高學(xué)生的自我效能感;最后，教師應(yīng)該幫助學(xué)生樹立正確的人生觀、價值觀、世界觀，幫助學(xué)生建立內(nèi)在遠景動機，使學(xué)生從他律到自律，真正成為學(xué)習(xí)的主體.

2.3 數(shù)學(xué)中深度學(xué)習(xí)的“深度”如何理解

研究者認(rèn)為“深度”可理解為以下四點：數(shù)學(xué)知識的難易程度、數(shù)學(xué)知識范圍的廣度、對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識、學(xué)生在學(xué)習(xí)中自我評價的認(rèn)識程度.

第一，深度理解為數(shù)學(xué)知識的難易程度.數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，推動著社會的發(fā)展，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的絕不是為了培養(yǎng)套公式做題，而是能將所學(xué)知識聯(lián)系實際，融會貫通的運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.實際問題往往是復(fù)雜和困難的，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能只停留在簡單的數(shù)學(xué)知識，所以教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)提出適當(dāng)問題，使學(xué)生不斷發(fā)展.

第二，深度理解為數(shù)學(xué)知識范圍的廣度.數(shù)學(xué)是個龐大的體系擁有眾多的數(shù)學(xué)分支，如果知識面太窄，在解決問題的過程中就會被“眼界”所約束.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該廣泛的閱讀與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識，例如：研讀數(shù)學(xué)史.古人云：讀史可以明智，讀數(shù)學(xué)史可以了解數(shù)學(xué)知識是如何產(chǎn)生、如何發(fā)展、未來的趨勢是怎樣的，從而知道數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和外延，使得學(xué)數(shù)學(xué)能學(xué)得心中有底，思路清晰，眼界開闊.

第三，深度理解為對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只停留在淺層認(rèn)識，而是應(yīng)該對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有清楚的認(rèn)識.對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)“先抓大，再抓細(xì)”，即先理解數(shù)學(xué)的基本思路和滲透的思想方法再去完善細(xì)節(jié)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中重結(jié)果的同時更重過程，引導(dǎo)學(xué)生在過程中挖掘出數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用本質(zhì)去創(chuàng)造新的結(jié)果.

第四，深度理解為學(xué)生在學(xué)習(xí)中自我評價的認(rèn)識程度.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確對評價提出了具體要求，其中學(xué)生的自我評價是尤為重要的一個方面，包括學(xué)生本身對數(shù)學(xué)思考的能力、問題解決的能力、知識技能的掌握、情感態(tài)度的表現(xiàn)、建立數(shù)學(xué)自信心等方面的評價.[1]因此教師需根據(jù)實際情況把握尺度設(shè)計有效的教學(xué)情境，幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，給予學(xué)生自我評價的機會，從不同層次、不同標(biāo)準(zhǔn)引導(dǎo)學(xué)生定性和定量的評價自己，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)閃光點的同時意識到自身相關(guān)知識和能力的不足，從而推動學(xué)生去糟粕取精華，使其對數(shù)學(xué)進行深入思考及探究，以彌補在某方面的缺陷，達到思維上由淺入深從固化思維到發(fā)散思維的深度學(xué)習(xí)的程度.