基于DSP在線實現特定諧波消除技術的2種方法

蔡 鴻，葉滿園，李 宋

（華東交通大學 電氣與電子工程學院，江西 南昌 330013）

0 引言

特定諧波消除脈寬調制（SHEPWM）技術具有開關頻率低、輸出波形質量好、開關損耗小、逆變效率高、輸出濾波器尺寸小等優(yōu)點，在逆變器PWM控制，尤其是在高壓大容量多電平逆變器的控制方面受到了越來越多的關注。非線性消諧方程組的求解是限制該調制技術應用于現場的一大難題，對此已有大量研究。對于迭代類算法，為了解決初值問題，文獻[1-5]提出了質心重合、等面積法等初值選取方法，這些方法的提出極大減少了初值選取的盲目性，并增加了初值可靠性；文獻[6-7]應用同倫算法求解消諧方程組，該方法具有很寬的收斂域，對初值的要求不高，在SHEPWM中得到廣泛應用；文獻[8-10]利用Walsh域和傅里葉域間的變換關系，將傅里葉域下的非線性超越方程組變換為Walsh域下的分段線性方程組，并對其進行求解，該方法提高了SHEPWM控制技術中計算機實時控制的可能性。以上研究解決了SHEPWM技術的一些關鍵問題，但對于該技術的在線實現國內外很少文獻提及，其主要受困于非線性方程組求解的難度。文獻[11]提到可以利用查表法實現，但由于無法得到合理的開關角度解而阻礙了其對查表法的進一步研究。文獻[12-13]提出了一種利用三角函數倍角關系將SHEPWM非線性方程組轉換成代數多項式方程組，并利用合成理論對方程組進行求解，得到了非線性方程組的所有解，并且該方法不需要初值，但采用合成理論求解多項式的計算量大，計算速度慢且計算機編程實現復雜。

非線性方程組轉換成代數多項式方程組求解的方法，可以獲得方程組的所有解，這為SHEPWM技術在線實現提供了契機。本文結合已有研究，從非線性方程組轉換成代數多項式方程組的角度出發(fā)，利用MATLAB專門提供求解多項式方程組的Solve函數對代數多項式方程組進行求解，該方法簡單、高效、快速，并且可以獲得比較好的消諧效果。本文利用該方法求解得到了七電平逆變器SHEPWM方程組的所有解，繪制了開關角度解軌跡，選取了合理的開關角度解，并分別利用線性插值法和牛頓迭代法，實現了SHEPWM開關角度的在線計算。最后，比較分析了2種方法的特點，這對SHEPWM的在線控制具有實際意義。

1 SHEPWM消諧模型

1.1 三角函數模型建立

級聯(lián)七電平逆變器由3個H橋單元構成，其拓撲圖如圖1所示。由于階梯波調制方式在級聯(lián)多電平逆變器上容易實現，所以此種調制方式具有較好的實用性。

圖1 H橋七電平逆變器拓撲Fig.1 Topology of H-bridge seven-level inverter

階梯波多電平逆變器輸出電壓諧波系數數學表達式如下：

其中，0＜θ1＜θ2＜…＜θN；bn為諧波系數；pk在 θk上升沿處記+1，下降沿處記-1。

圖2 級聯(lián)七電平逆變器階梯波合成模式Fig.2 Staircase wave synthesis mode of cascaded seven-level inverters

根據式（1），可以列出三角函數表達式表示的數學消諧模型如下：

1.2 模型轉換

文獻[15]推導了余弦多倍角公式，可以很方便地得出多倍角分解時的系數，將公式進行處理可以得到以下轉換通式。

當n為奇數時，有：

當n為偶數時，有：

根據式（3）計算可得到5倍角和7倍角的分解式分別為：

令 cosθ1=x1，cosθ2=x2，cosθ3=x3，結合式（2）、（5）、（6），可以將余弦函數表示的消諧模型轉換為如下所示的代數多項式消諧模型：

其中，1＞x1＞x2＞x3＞0。

2 多項式消諧模型求解

對于代數多項式的求解有很多種，基本的類型包括數值解法、符號解法和數值符號混合求解[16]。為了得到方程組的全部真實解，本文采用符號解法對代數多項式方程組進行求解。其中，經典的多項式解法是Groebner基法和吳方法，但這二者在計算機編程實現時，難度與文獻[12-13]提及的合成理論難度相當，且計算量大。本文采用數學軟件MATLAB中提供的專門解代數方程（組）的符號（解析）解的函數——Solve函數，利用它可以求解本文的代數多項式模型，并可以輕易地得到方程組的解，這種方法簡單、高效且不需要初值。本文利用這種方法對級聯(lián)七電平逆變器SHEPWM消諧模型進行求解。其具體步驟如下：

a.將調制比系數m代入式（7）；

b.利用Solve函數對代數多項式方程組進行求解得到 x1、x2、x3；

c.將步驟b中的x1、x2、x3的解進行反余弦運算，[θ1θ2θ3]=[arccosx1arccosx2arccosx3]得到開關角度 θ1、θ2、θ3。

按照上面的步驟求解得到了級聯(lián)七電平逆變器階梯波調制的所有解，其調制比范圍為[0.485，1.07]。

圖3 開關角度隨調制比變化的軌跡Fig.3 Curves of switching angle vs.modulation ratio

圖3為開關角度隨調制比變化的開關角度軌跡（按調制比增量Δm=0.01進行繪制）。 其中，調制比[0.637，0.786]區(qū)間內消諧方程組含有 2 組解。為了解所求解的特性，本文對所有開關角度進行了逐個仿真，并記錄了仿真中的線電壓的THD。線電壓THD與調制比m的關系曲線如圖4所示，在整個階梯波調制區(qū)間內，線電壓總諧波含量都小于20%，且在大部分調制區(qū)間內第1組解控制效果優(yōu)于第2組解。

圖4 線電壓THD與調制比的關系曲線Fig.4 Curves of line voltage THD vs.modulation ratio

3 DSP在線控制

本文利用上文中求得的開關角，分別采用線性插值和牛頓迭代2種方法實現特定諧波消除技術開關角度的在線計算，并比較分析了2種方法的特點。其中，2種方法采用的均為第1組開關角度解。下文所述的2種方法均采用DSP2812實現。

3.1 線性插值法

七電平逆變器SHEPWM調制比范圍為[0.485，1.07]，為了方便建立數據表格，此處取調制比區(qū)間為[0.49，1.07]。 由第2節(jié)可知調制比增量為Δm=0.01，因此可建立大小為1×59的數據表格，如下所示：

該數據表格為本文線性插值法中存入DSP2812寄存器的數據，其中A1、A2、A3分別對應開關角度θ1、θ2、θ3。

由于調制比增量為Δm=0.01足夠小，因此該方法中近似認為第i個開關角度到第i+1個開關角度的軌跡是一條直線。線性插值法示意圖如圖5所示，其中 θN（N=1，2，3）為開關角度，i為區(qū)間段號，θNm為調制比為m時對應的開關角度。

圖5 線性插值法在線計算角度示意圖Fig.5 Schematic diagram of online switching angle calculation by linear interpolation method

由線性關系可知開關角度計算式如下：

將 Δm=0.01代入式（8），整理得：

其中，由給定的調制比m可依據DSP數學函數庫math.h中的floor函數求得區(qū)段i的值，具體公式如下：

當區(qū)段 i確定時，θN[i]、θN[i＋1]可以查表得到，因此可以依據式（9）獲得對應調制比下開關角度的解 θNm。

綜上所述，可以得到線性插值法實現SHEPWM的在線計算流程圖，如圖6所示。

為了驗證該方法的可行性及消諧效果，取任意10個調制比下求得的開關角度做數據分析，數據分析結果如表1所示。其中，耗時表示CCS3.3編程環(huán)境下測得的計算開關角度花費的時間（DSP計算時間）；UANx／UAN1（x=5，7）表示消諧后 5、7 次諧波剩余量。

由表1中所測數據可知，在采用線性插值法實現SHEPWM開關角度在線計算時，DSP所耗費時間為160 μs左右，計算的開關角度控制結果中5、7次諧波剩余量基本控制在基波幅值的1／10000數量級之內，具有較好的控制效果。

由上文的分析可知，在該方法中區(qū)間越多，即事先建立的數據表格越長，在線計算精度越高。因此，本文認為在不影響DSP數據空間的情況下（有足夠儲存空間完成控制算法），可適當增加離線計算的數據長度（數據過大導致工作量加大）。

圖6 線性插值法實現流程Fig.6 Flowchart of linear interpolation method

由表1中知，運用本節(jié)所述方法求取的七電平逆變器SHEPWM控制下調制比m為0.863時的3個開關角度為 θ1=21.79956°、θ2=48.34290°、θ3=64.63573°，對其進行了MATLAB／Simulink仿真實驗。仿真中，直流電壓源幅值50 V，頻率50 Hz，純電阻負載。仿真實驗結果如圖7、圖8所示。由圖8中頻譜可以看出相電壓及線電壓中5、7次諧波基本得到消除，并且仿真結果中調制比m′=128.7／150=0.858，幅值誤差為：

這就證明了，本文所述利用Solve函數求解多項式方程組得到的開關角度制作成數據表格，進而利用線性插值法在線計算不同調制比下的開關角度可以達到消除特定諧波的目的。

3.2 牛頓迭代法

圖7 線性插值法計算結果的相電壓及線電壓仿真波形Fig.7 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by linear interpolation method

圖8 線性插值法計算結果的輸出電壓頻譜Fig.8 Spectrum of output voltage by linear interpolation method

由圖3中可以看出，開關角度解隨調制比變化的軌跡中大部分成線性分布，由此本文將求解得到的開關角度擬合成關于調制比m的一元線性方程[16]，再利用牛頓迭代法在線求解開關角度，迭代初值由擬合的一元線性方程決定。將圖3中第1組解一元線性擬合得到的方程如式（11）所示，單位為度，DSP計算時需轉換為弧度制單位。

由上文論述總結牛頓迭代法實現SHEPWM的在線計算流程圖，如圖9所示。

利用牛頓迭代法取表1中的10組調制比得到計算結果如表2所示，其中迭代精度為10-7。

表2表明在DSP實現牛頓迭代法在線計算SHEPWM開關角度時，迭代次數可控制在5次左右，耗費時間隨迭代次數增加而有所增加，5、7次諧波剩余量可控制在10-6以內。與前文所述線性插值法相比，精度是它的1／1000左右，但耗費時間卻是它的30～50倍，與迭代次數有關。在實際工程應用中，選擇反應速度較快的線性插值法亦或是精度較高的牛頓迭代法，可視具體情況選擇。

表1 線性插值法在線求解數據分析Table 1 Analysis of data solved by linear interpolation method

圖9 牛頓迭代法實現流程Fig.9 Flowchart of Newton iteration method

由表2知，利用本節(jié)所述牛頓迭代法求取的調制比m為0.863時的3個開關角度為θ1=21.2312°、θ2=47.695 65°、θ3=64.646 59°，仿真實驗結果如圖10、圖11所示。由圖11中頻譜可以看出相電壓及線電壓中5、7次諧波基本得到消除。仿真結果中調制比 m′=129.5 ／150=2.59 ／3，幅值誤差為：

因此證明了，本文所述利用Solve函數求解多項式方程組得到的開關角度擬合成一元線性方程作為牛頓迭代的初值，進而在線計算不同調制比下的開關角度，同樣可以達到消除特定諧波的目的。且牛頓迭代法相比于線性插值法精度更高，幅值誤差ΔU僅為0.0333%。

4 實驗驗證

為了驗證其實際消諧效果，在級聯(lián)七電平試驗樣機上進行了實驗，該樣機開關管選擇MOSFET IRFIZ24N，A3120作驅動，輸入直流側電壓為22 V，輸出電壓頻率50 Hz，224 Ω水泥電阻作為負載。實驗中采用DSP（TMS320F2812）進行控制，實現了上文中提到的2種開關角度的在線實時計算方法。為簡便起見，實驗中給定調制比代替實際工程中“取參考電壓”環(huán)節(jié)[17]。

圖10 牛頓迭代法計算結果的相電壓及線電壓仿真波形Fig.10 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by Newton iteration method

圖11 牛頓迭代法計算結果輸出電壓頻譜Fig.11 Spectrum of output voltage by Newton iteration method

圖12、圖13所示為調制比m=0.863時，利用牛頓迭代法在線計算開關角度的實驗波形。由頻譜可以看出指定消除的5、7次諧波基本得到消除，從而證明利用Solve函數求解多項式方程組得到的開關角度擬合成一元線性方程作為牛頓迭代的初值進而在線計算的開關角度是正確的，可以達到消除特定諧波的目的。同時證明了該系統(tǒng)可實現實時控制。由表1、表2知，2種在線計算方法的角度計算結果差別不大，因此這里只給出牛頓迭代法的實驗波形。

表2 牛頓迭代法在線求解數據分析Table 2 Analysis of data solved by Newton iteration method

圖12 相電壓及線電壓實驗波形Fig.12 Experimental waveforms of phase voltage and line voltage

圖13 相電壓及線電壓頻譜Fig.13 Spectra of phase voltage and line voltage

5 結論

本文在DSP中分別用線性插值法和牛頓迭代法實現了特定諧波消除技術開關角度的在線計算。首先，將三角函數形式的消諧模型轉換為代數多項式的形式，并用MATLAB中Solve函數進行求解得到了七電平逆變器SHEPWM開關角度的所有解；然后，結合求解得到的開關角度，分別利用線性插值和牛頓迭代法實現了開關角度的在線計算。仿真和實驗得出了以下結論：

a.利用三角函數倍角關系將非線性方程組轉換成代數多項式結合Solve函數求解開關角度的方法是可行的，可以求得消諧方程組的所有解，具有簡單、高效且可避免初值問題的優(yōu)點；

b.在使用線性插值法實現開關角度在線計算時，不同調制比下DSP計算時間基本相等大約160 μs，消除的諧波剩余量數量級大約可控制在10-4，且數據表格越長精度越高，但存儲空間隨之加大；

c.在使用牛頓迭代法實現開關角度在線計算時，不同調制比下DSP計算時間不同，與迭代次數有關，本文中迭代次數可控制在5次左右，消除的諧波剩余量數量級可控制在10-7，采用線性擬合作為牛頓迭代的初值可大幅節(jié)約數據儲存空間，且精度比線性插值法高，但該方法在線計算開關角度時間比線性插值法長，實時性相對較弱。

總之，本文所述2種方法有各自的特點，且都可實現特定諧波消除技術開關角度的在線計算?？梢姡肧olve函數求解轉化代數多項式消諧模型獲得方程組的全部解，而后選取開關角度進行相關處理實現SHEPWM實時控制是一種可行思路。