玩中學(xué)演中悟 從三個(gè)水平層次管窺直觀想象素養(yǎng)
——以2020年浙江高考立體幾何解答題為例

王崢嶸 王奇佳 沈 恒

(浙江省湖州市第二中學(xué) 313000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科直觀想象素養(yǎng)主要表現(xiàn)在建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.可以說，直觀想象素養(yǎng)是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體落實(shí)，在學(xué)生頭腦中建立起從一維數(shù)軸——二維平面——三維空間的逐步學(xué)習(xí)過程，形成一種具備直觀感受下的空間思考能力.

直觀想象素養(yǎng)分為三個(gè)水平層次，其一是直面感官想象的能力；其二是形成數(shù)形結(jié)合的思想；其三是構(gòu)建直觀模型的體系.課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，我們教學(xué)需要適配的三個(gè)方向，即認(rèn)識(shí)、形成、構(gòu)建！本文結(jié)合2020年浙江省高考立體幾何解答題，從直觀想象三個(gè)水平層次的角度，談一談如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

題目(2020年浙江卷第19題)如圖1，三棱臺(tái)DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

(1)證明：EF⊥DB；

(2)求DF與面DBC所成角的正弦值.

層次一：興于形——直面感官想象的能力

立體幾何解答題往往已經(jīng)給出圖形，這就在水平層次一上.讀懂幾何試題的一般圖形，是最直接的感官想象能力.具體分析一下，第(1)問考查的是異面直線垂直問題，是一個(gè)常規(guī)問題，這類問題的基本策略就是借助線面垂直證明線線垂直．此處可直接利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理(如圖2)：兩個(gè)平面(α和β)垂直，則一個(gè)平面垂直于交線(l)的直線(b?α，b⊥l)與另一個(gè)平面垂直(b⊥β)．

層次二：立于思——形成數(shù)形結(jié)合的思想

空間幾何本身就是以圖形為載體，通過傳統(tǒng)歐式幾何定理，利用“形”的視角解決問題，也可以從“數(shù)”的視角，利用向量運(yùn)算解決問題.縱觀近年來浙江高考立體幾何解答題，我們不難發(fā)現(xiàn)，命題組一直努力在尋求兩種方式的平衡，即不能讓“代數(shù)運(yùn)算”的向量方式占據(jù)絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，因此命題組在傳統(tǒng)歐式幾何方式和建系向量方式上努力尋求平衡點(diǎn).這一命題思路，正是暗示了我們的一線教學(xué)，需要從兩個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)，“形解”和“數(shù)解”都要掌握，因此筆者提出，立體幾何教學(xué)要兩法并舉、齊頭并進(jìn)，切勿“單腿走路”.現(xiàn)在一線教學(xué)對(duì)于傳統(tǒng)歐式定理的教學(xué)往往有所放松，而中學(xué)數(shù)學(xué)更注重“形”的培養(yǎng)，以形輔數(shù)在數(shù)形結(jié)合思想中占據(jù)著更為重要的地位，來看“形”解：

解析(1)如圖3，過點(diǎn)D作DO⊥AC于點(diǎn)O，連接OB.

所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB.

由三棱臺(tái)ABC-DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB.

(2)過點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接CH.

由三棱臺(tái)ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角.

由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD.

所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角.

層次三：成于新——構(gòu)建直觀模型的體系

隨著學(xué)生掌握知識(shí)的進(jìn)步，我們發(fā)現(xiàn)愈來愈多的學(xué)生會(huì)利用空間向量的方式解決立體幾何問題，這也是方法的進(jìn)步.記得浙江大學(xué)金蒙偉教授說過：我們一直想努力命一道傳統(tǒng)歐式幾何法不吃虧、空間向量不占便宜的立體幾何試題，但是真的很難，就好比是有了計(jì)算器之后，無論如何使用算盤都占不到便宜！在教學(xué)中，如何快速引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)直觀模型，是空間幾何學(xué)習(xí)的必備方向.

解析由三棱臺(tái)ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為θ，如圖4，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OC，OD為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)平面BCD的法向量n=(x,y,z).

“數(shù)”解方式——空間向量法在計(jì)算中設(shè)而不求的思想在解析幾何中常見，在立體幾何中不常見，對(duì)學(xué)生是否敢于嘗試帶參數(shù)求解是一個(gè)考驗(yàn)．筆者嘗試將這個(gè)題目給高二學(xué)生去做，竟然有了一個(gè)“驚人”的發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了兩種不按常理出牌的思路，通過對(duì)這兩位學(xué)生的了解發(fā)現(xiàn)，他們能準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)果和點(diǎn)E，F(xiàn)的位置無關(guān)，僅和兩個(gè)45°有關(guān)．

第一種思想是將這個(gè)臺(tái)體圖形內(nèi)置到一個(gè)正方體內(nèi)，問題就變成了正方體的棱AC和面CMN所成角的問題(如圖5所示)，這也是此題可以設(shè)而不求的幾何背景．

拋開這兩種解題過程，筆者發(fā)現(xiàn)，提供這兩種解法的學(xué)生都是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)成員，并且都是參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)積極性很高的學(xué)員.在解題過程中聯(lián)系平時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，提出“猜想”，筆者認(rèn)為這就是“直觀想象”的一種體現(xiàn).

因此，于教師而言：作為數(shù)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)直觀想象而言，筆者從課程標(biāo)準(zhǔn)的三個(gè)水平層次進(jìn)行了與一線教學(xué)落地的對(duì)比解讀．而將核心素養(yǎng)進(jìn)行落地，是需要一線教師在認(rèn)真研學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，融入自身教學(xué)的思考．

于教學(xué)而言：

興于形——初等數(shù)學(xué)要注重幾何圖形的掌握；

立于思——問題解決要關(guān)注數(shù)形結(jié)合的魅力；

成于新——類比學(xué)習(xí)要尋求思維創(chuàng)新的突破.

因此直觀想象素養(yǎng)恰恰是要求我們將這種啟發(fā)、引導(dǎo)、創(chuàng)新帶給學(xué)生，從而提高學(xué)生直觀想象能力和思維的含量，獲得更好的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)體驗(yàn)，是為直觀想象素養(yǎng)三個(gè)水平層次．