例談解析幾何若干活動經(jīng)驗的優(yōu)化與重構(gòu)

李永革

(安徽省巢湖市第一中學(xué) 238000)

經(jīng)驗是影響數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要因素，數(shù)學(xué)的認識歸根結(jié)蒂來自經(jīng)驗、來自實踐.經(jīng)驗在數(shù)學(xué)教育中的積極作用正在被人們所重視.但是，經(jīng)驗在數(shù)學(xué)教學(xué)中的消極作用卻容易被忽視.杜威指出：“每一種經(jīng)驗就是一種推動力，經(jīng)驗的價值只能由它所推動的方向來評斷.相信一切真正的教育是來自于經(jīng)驗的，這并不表明一切經(jīng)驗都具有真正的或相同的教育性質(zhì)，不能把經(jīng)驗和教育直接地彼此等同起來.因為有些經(jīng)驗具有錯誤的教育作用”.

本文列舉學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中若干活動經(jīng)驗的常見誤區(qū)，提出優(yōu)化的建議.

一、“設(shè)而不求”經(jīng)驗的優(yōu)化

本活動經(jīng)驗來自于直線與圓錐曲線相交的背景下，處理弦長、中點弦、垂直等問題時對交點坐標(biāo)只設(shè)不求，運用韋達定理整體代換，交點坐標(biāo)起到幾何特征代數(shù)化的過渡作用，可有效減少運算量.學(xué)生對本活動經(jīng)驗的常見誤區(qū)有：

(1)只能在直線與曲線相交的情況下才能運用，在相切等其他位置關(guān)系下不能運用;

(2)只能用韋達定理整體代換消去坐標(biāo)參數(shù);

(3)直線與圓錐曲線相交，交點坐標(biāo)只能設(shè)，不能求.

教學(xué)中可通過典型例習(xí)題的剖析與訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷“設(shè)而不求”經(jīng)驗的優(yōu)化、重構(gòu)過程.

整理，得2tx1-2y1+1=0.

同理可得2tx2-2y2+1=0.

故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.

解題反思本題用到了“設(shè)而不求”的方法，但直線與拋物線的位置關(guān)系不是相交，而是相切.本題不是依靠韋達定理來消去切點坐標(biāo)，而是利用過兩點的直線的唯一性與曲線方程的定義(坐標(biāo)滿足方程，則點在曲線上).

經(jīng)驗優(yōu)化“設(shè)而不求”的解題方法既可以用在直線與曲線相交的情形，也可用在相切的情形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，R(x0,y0)，

①

②

③

④

⑤

⑥

⑤×3+⑥×4,得

解得x0=-1，故點R在定直線x=-1上.

解題反思本題也運用了“設(shè)而不求”的解題方法，但消去坐標(biāo)參數(shù)的方法不是運用韋達定理，而是利用點在橢圓上，點的坐標(biāo)滿足橢圓方程.

經(jīng)驗優(yōu)化運用“設(shè)而不求”的解題方法時，消去交點坐標(biāo)的方法不只是韋達定理，還有“點差法”“代入方程消元”“代入方程湊常數(shù)”等.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連接QE并延長交C于點G.證明：△PQG是直角三角形.

(2)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k>0).

得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0．

①

設(shè)G(xG，yG)，則-u和x2G是方程①的解.

所以PQ⊥PG，所以△PQG是直角三角形．

解題反思題中直線PQ與橢圓相交，但由于它經(jīng)過原點，故PQ的方程較為簡潔，與橢圓方程聯(lián)立求交點坐標(biāo)并不繁瑣.直線QG也與橢圓相交，但由于其中一個交點Q的坐標(biāo)“已知”，故點G坐標(biāo)也求出來了.考慮到交點P，Q的橫坐標(biāo)里含有根式，比較復(fù)雜，解題中采取“換元”，暫緩代入的解題策略減少了運算量，完成了證明.

經(jīng)驗優(yōu)化當(dāng)直線過原點或直線與曲線其中一個交點坐標(biāo)已知時，求直線與曲線交點坐標(biāo)并不麻煩，可以設(shè)而求.

二、“合理引參”經(jīng)驗的優(yōu)化

參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)?shù)，就可用參數(shù)來表示點的坐標(biāo)與線的方程的系數(shù)，從而刻畫點與線的運動變化，將參數(shù)視為常量，以相對靜止來控制變化，實現(xiàn)變與不變的轉(zhuǎn)化.參數(shù)在解題過程中可將其消去，起到設(shè)而不求的效果.

參數(shù)法在求動點軌跡、定點、定值、最值、探索性問題中應(yīng)用廣泛.但如何引參，學(xué)生往往感到棘手，經(jīng)驗不足.常存在以下誤區(qū)：

(1)參數(shù)越少，運算量越?。?/p>

(2)必須根據(jù)圖形變化的根源選擇參數(shù).

教學(xué)中可通過對以下典型問題的思考與解答積累合理的引參經(jīng)驗.

例3(2019全國Ⅱ卷理21)第(2)小題.

進而有PG⊥PQ,所以△PQG是直角三角形.

解題反思解法2與解法1相比，增加了參數(shù)的個數(shù)(從1個增加到5個，分別是x1，y1，x0，y0，k)，快速找到了線段PQ與PG的斜率關(guān)系，大大減少了運算量.

經(jīng)驗優(yōu)化參數(shù)的個數(shù)并非越少越好.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M,N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，橢圓上一點P滿足|PM|=|PN|，試判斷直線PM,PN與圓C′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)因為M,N關(guān)于原點對稱，|PM|=|PN|，

所以O(shè)P⊥MN.

設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，當(dāng)直線PM的斜率存在時，設(shè)直線PM的方程為y=kx+m.

由直線和橢圓方程聯(lián)立，得x2+2(kx+m)2=6.

即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

所以m2-2k2-2=0,即m2=2k2+2.

所以直線PM與圓C′相切.

當(dāng)直線PM的斜率不存在時，依題意，得N(-x1,-y1),P(x1,-y1).

由|PM|=|PN|，得|2x1|=|2y1|.

所以直線PM與圓C′也相切.

同理可得，直線PN與圓C′也相切.

所以直線PM,PN與圓C′相切.

解題反思從考情分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生解答時選擇直線MN的斜率k作為參數(shù)，然后聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程求出M、N兩點坐標(biāo)(用k表示)，再用兩點式求直線MP的方程(用k表示)，最后用點到直線距離公式求點O到直線PM的距離并與圓C′的半徑作比較，結(jié)果運算量過大，無功而返.這種思路顯然受到前面所說的“經(jīng)驗”影響.從圖形運動的根源出發(fā)選擇參數(shù)，又想讓參數(shù)數(shù)量最少，將圖中點的坐標(biāo)與直線方程都用唯一的參數(shù)k來表示，結(jié)果造成式子復(fù)雜、運算繁瑣.解法1改設(shè)直線MP的斜截式方程(即引進直線MP的斜率與縱截距作為參數(shù))，巧妙地解決了點O到直線PM距離難求的問題.

經(jīng)驗優(yōu)化參數(shù)的選擇往往是通過設(shè)點或設(shè)線的方式實現(xiàn)的，到底選擇誰？選幾個？前面所說的兩個“經(jīng)驗”確實具有較為廣泛的適用性，但不能絕對，一切要從思想方法的高度思考問題，以運算簡潔為標(biāo)準(zhǔn).不能模式化思考，過于教條.

三、“選系建系”經(jīng)驗的優(yōu)化

建系求曲線方程是解析幾何兩大基本問題之一.坐標(biāo)系建得好，可使方程推導(dǎo)的過程簡單，方程的形式簡潔，為下一步利用方程研究曲線性質(zhì)奠定基礎(chǔ).學(xué)完解析幾何之后學(xué)生一般都積累了一定的建系經(jīng)驗.都知道利用圖形自身的對稱性建系，利用圖中垂直關(guān)系建系，若已知定點或定直線，知道將定點與定直線放在坐標(biāo)軸上.但是學(xué)生在選系、建系上往往局限于建立直角坐標(biāo)系，很少考慮其它坐標(biāo)系，這樣會影響學(xué)生解決問題能力的提高.

例4(合肥市2020年高三一模理20)

解法2由題意可知點P在弦MN的中垂線上，所以O(shè)M⊥OP，以O(shè)點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+sin2θ)=6.

所以點O到PM的距離為

所以PM與圓C′相切.

解題反思解法2在計算點O到直線PM的距離時利用了線段OP和線段OM的長度，而這兩條線段都是從原點O點出發(fā)的線段.考慮到P、M是橢圓上的點，故可用橢圓的極坐標(biāo)方程快速求出OP、OM的長度.

經(jīng)驗優(yōu)化當(dāng)已知條件或結(jié)論涉及從某點出發(fā)的幾條線段長度時，可考慮以該點為極點建立極坐標(biāo)系，求出曲線的極坐標(biāo)方程.

四、“弦長公式使用”經(jīng)驗的優(yōu)化

例5(2015年湖北，21)一種作圖工具如圖6所示，O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周(D不動時,N也不動)，M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖7所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的方程;

(2)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P，Q兩點.若直線l總與曲線C有且只有一個公共點，試探究:△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，

所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0.

即m2=16k2+4.

①

②

將①代入②，得

解題反思本例中斜線段PQ并非弦，但它的長度依然可用弦長公式計算.

經(jīng)驗優(yōu)化弦長公式不僅可以求直線與圓錐曲線相交所得弦的長度，而且可以求坐標(biāo)平面內(nèi)其它斜線段長度.