構(gòu)建函數(shù)解不等式

顧冬梅

(江蘇省海門市第一中學(xué) 226100)

函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，構(gòu)建函數(shù)是這兩種思想的體現(xiàn).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有一類是導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合問題，學(xué)生感到有點棘手，本文針對常出現(xiàn)的三類不等式怎樣構(gòu)造函數(shù)作了一點總結(jié)，希望對大家有所啟發(fā).

總結(jié)這類問題將導(dǎo)數(shù)不等式與所求不等式形式相結(jié)合投石問路構(gòu)造新函數(shù)，有些表面上看似復(fù)雜，但若用整體的思想看待問題，抓住本質(zhì)，問題就迎刃而解了.而基于例題的變式又是將解題的關(guān)鍵由點及面、舉一反三的效果，真正訓(xùn)練了學(xué)生的感悟深度和效度.

變式設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0，求不等式xf(x)<0的解集.

分析例2中突破口是f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，移項后得f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0.

例2的變題中有xf′(x)+f(x)<0，根據(jù)求導(dǎo)的乘法法則自然會構(gòu)建函數(shù)h(x)=xf(x),構(gòu)建的函數(shù)完全與所求不等式xf(x)<0吻合.

解析構(gòu)建函數(shù)h(x)=xf(x)，在(-∞，0)上有xf′(x)+f(x)<0,則h(x)=xf(x) 在(-∞，0)是單調(diào)減函數(shù)，且由f(x)是R上的奇函數(shù)得h(x)在R上為偶函數(shù)，由f(-2)=0得到h(-2)=0.有了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，不妨畫出函數(shù)好h(x)圖象(如圖2)，得xf(x)<0的解為(-2,2).

總結(jié)例2及其變題都是以乘法、除法的求導(dǎo)法則為突破口構(gòu)建相應(yīng)函數(shù).我們要通過問題的形式讓學(xué)生自發(fā)地總結(jié)求導(dǎo)的一般特點和一般方法，讓學(xué)生在感悟中總結(jié)，總結(jié)中提升.

分析本題將不等式f(x2)-f(x1)f(x2)，那么f(x)就是在這個區(qū)間上的減函數(shù))，不妨構(gòu)建g(x)=f(x)-x.

總結(jié)例3及其變式都是緊緊抓住函數(shù)單調(diào)性的定義，因為題目中涉及x1，x2，所以比較自然地聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性的定義，根據(jù)定義把已知進(jìn)行條件變形，那么構(gòu)建函數(shù)也就不難了.

構(gòu)造函數(shù)本就是解決問題的一種技巧，它考查了學(xué)生的觀察和動手能力，本文通過三個例題講述了在導(dǎo)數(shù)知識中需要構(gòu)建函數(shù)解不等式問題.但是用構(gòu)建函數(shù)解不等式或證明不等式的題目大量存在，還需要學(xué)生進(jìn)一步思考和總結(jié).