一類常微分方程第二特征值的研究

吳 平

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104）

1 問題的提出

本研究將文獻(xiàn)[1]所討論的常微分方程進(jìn)行推廣，得到如下的此類常微分方程的普遍形式，即：

其中c1和c2為任意的正常數(shù)。c1=c2=1的情況已在文獻(xiàn)[1]中進(jìn)行了研究，因此文獻(xiàn)[1]中的方程是方程（1）的特例，方程（1）是文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]中方程的推廣。當(dāng)λ是方程(1)的特征值時(shí)，可基于文獻(xiàn)[1]和[2]中的方程及研究思路研究其第一特征值1λ和第二特征值2λ的關(guān)系。

設(shè)u1，u2為正常數(shù)，u1≤u2, 并且

設(shè)1λ是方程(1)的第一特征值，對應(yīng)的特征函數(shù)為y，則滿足

由文獻(xiàn)[2]的式（3）和分部積分法，可得

由分部積分法和式（4），可得

由式（2）和式（5），可得

則利用分部積分，可求得

由t的定義及式（4），可得式（7）等于0，即

由式（8）可知，?與y廣義正交，并且滿足

由文獻(xiàn)[1]的式（2.6）和Rayleigh定理 ，可得方程（1）的第二特征值2λ滿足

計(jì)算得

即

由式（10）和式（11），得

設(shè)

由式（12），得

由式（9）和式（13），得

2 引理

為了證明方程（1）的第一特征值1λ和第二特征值2λ的關(guān)系，必須先證明下面的引理。本研究將文獻(xiàn)[3]中引理的證明方法作進(jìn)一步推廣。

引理1若y是方程（1）對應(yīng)的第一特征值1λ的特征函數(shù)，則

證明 由式（4），可得引理1（1）；

由分部積分，Schwartz不等式，式（6）和引理1（1），可得

引理2若y是問題（1）對應(yīng)的第一特征值1λ的特征函數(shù)，則

證明 由文獻(xiàn)[3]的引理2（a) ，式（2）和引理1（2），得

則引理2（1）得證；

由文獻(xiàn)[3]的引理2（b) ，式（2），式（5) ，引理1和Schwartz不等式，得

引理3若1λ為方程（1）的第一特征值，則

同理，可得

由式（15），式（16）和式（17），得

由式（15）和引理2，得

引理4對?和1λ，則有

由式（18），得

同理，可得

由式（19）和式（20），得

由式（19）～式（21），引理1和Schwartz不等式，得

整理即得引理4。

3 結(jié)論

因本研究中的定理及其證明方法是文獻(xiàn)[3]中定理及證明方法的推廣，故借鑒文獻(xiàn)[3]中定理的證明方法來研究方程（1）的第一特征值1λ和第二特征值2λ的關(guān)系。

定理設(shè)1λ、2λ分別是方程（1）的第一、第二特征值，且0＜1λ≤2λ，則有

證明 由文獻(xiàn)[3]的式（4），引理3，引理4和式（14），可得定理（1）；用u1替換u2，即得定理（2）。

常微分方程特征值的關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一類重要問題，本研究探討了一類更為普遍的常微分方程，對其特征值的關(guān)系做了分析和研究，得到了其第一特征值和第二特征值之間關(guān)系，相關(guān)結(jié)論在常微分方程特征值的研究有著重要作用，在力學(xué)等物理學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛應(yīng)用。