內(nèi)凹負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)雙軸沖擊響應

姚永永，蘇步云，肖革勝，許海濤，樹學峰

（太原理工大學機械與運載工程學院應用力學研究所，山西 太原 030024）

負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)又稱拉脹結(jié)構(gòu)，因具有許多常規(guī)結(jié)構(gòu)不具備的力學特性[1]，而成為研究熱點。蜂窩材料具有較高的相對剛度、強度和高效的能量吸收能力，在抗剪切、抗屈曲、提高硬度以及抗疲勞等方面擁有獨特的優(yōu)越性[2-3]，在一些應用領(lǐng)域中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，如汽車、航空、軍事、醫(yī)學領(lǐng)域[4]。多孔結(jié)構(gòu)的力學性能主要取決于細觀上的拓撲結(jié)構(gòu)。近年來，通過改變細觀結(jié)構(gòu)，人們發(fā)現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)具有很多特殊優(yōu)勢，因而被廣泛應用[5]。

馬芳武等[6]研究了一種內(nèi)凹三角形負泊松比結(jié)構(gòu)，通過改變內(nèi)凹角度，分析了沖擊端和固定端的平臺應力和能量吸收能力，并與內(nèi)凹六邊形進行了對比。Zhang 等[7]分析了內(nèi)凹六邊形蜂窩在兩個正交方向上的后繼屈服拉伸行為，同時考慮結(jié)構(gòu)的塑性影響以及孔壁的非線性行為分析模型，提出了單胞結(jié)構(gòu)的塑性鉸變形機制，得到了單胞結(jié)構(gòu)的應力-應變曲線。Li 等[8-9]對內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)進行分級、強化，并將正弦曲線引入內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)，得到了新的改進模型，進而分析了結(jié)構(gòu)的泊松比和能量吸收變化。鄧小林等[10]研究了全參數(shù)化的正弦曲線蜂窩結(jié)構(gòu)，以不同振幅、不同厚度建立模型，研究了蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的動力響應，發(fā)現(xiàn)正弦曲線蜂窩較常規(guī)六邊形蜂窩有更好的能量吸收效果。崔世堂等[11]利用有限元模擬方法研究了負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)沖擊動力學特性，發(fā)現(xiàn)平臺應力和結(jié)構(gòu)的比吸能隨沖擊速度的增大而增高，隨胞元擴展角的增大而降低。陳鵬等[12]研究了具有零泊松比特征的半凹角蜂窩結(jié)構(gòu)，并將其與正六邊形蜂窩和內(nèi)凹負泊松比蜂窩在面內(nèi)沖擊荷載作用下的抗沖擊性能進行對比分析，數(shù)值結(jié)果表明，半凹角蜂窩的抗沖擊性能介于正六邊形蜂窩和內(nèi)凹蜂窩之間。Hu 等[13]通過理論分析和數(shù)值模擬，研究了內(nèi)凹角度和壁長對內(nèi)凹負泊松比蜂窩在大變形下的單軸動態(tài)沖擊性能的影響，推導出沖擊過程中平均沖擊應力的經(jīng)驗公式。Zhang 等[14]通過有限元模擬，研究了內(nèi)凹蜂窩x 方向的平面內(nèi)動態(tài)沖擊行為，發(fā)現(xiàn)內(nèi)凹蜂窩的面內(nèi)動態(tài)性能不僅與沖擊速度和邊緣厚度有關(guān)，還受蜂窩壁角的影響。Li 等[15]通過單軸和雙軸壓縮模擬以及理論分析，研究了正六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)壓縮動態(tài)力學性能，分析了雙軸壓縮的變形模式，結(jié)果表明：相比單軸沖擊，雙軸沖擊下在x 和y 方向的真實應力增強，能量吸收能力也得到了提高，且完全致密化階段比單軸壓縮階段更平滑。此外，Li 等[16]研究了六邊形、內(nèi)凹、混合3 種蜂窩模型在單、雙軸沖擊下的面內(nèi)動態(tài)力學性能，結(jié)果表明：正交雙軸沖擊下，六邊形蜂窩表現(xiàn)出3 種變形模式，內(nèi)凹和混合型蜂窩沒有明顯的過渡模式，由于負泊松比效應的影響，內(nèi)凹蜂窩具有較差的耗能能力。

值得注意的是，自然界中的蜂窩結(jié)構(gòu)和人造蜂窩結(jié)構(gòu)在細觀上總存在一定的缺陷，從而引起結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，力學性能也會發(fā)生一定的變化。Ajdari 等[17]通過數(shù)值模擬研究了正六邊形和不規(guī)則二維蜂窩的平面內(nèi)動態(tài)沖擊問題，分析了孔壁缺失和空間擾動形成的結(jié)構(gòu)微觀不規(guī)則性對力學性能的影響。Alkhader 等[18]用函數(shù)定義六邊形蜂窩、隨機Voronoi 泡沫以及正方形和三角形拓撲結(jié)構(gòu)等多種二維拓撲結(jié)構(gòu)的不規(guī)則程度，以研究其單軸壓縮響應，結(jié)果表明，相對于以彎曲為主的結(jié)構(gòu)，以拉伸為主的結(jié)構(gòu)有表現(xiàn)出災難性屈服后軟化反應的趨勢，而不規(guī)則性則會導致更多的彎曲現(xiàn)象。Liu 等[19]對內(nèi)凹蜂窩材料的面內(nèi)動態(tài)沖擊過程進行了數(shù)值模擬，并在此基礎(chǔ)上定義了內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，分析發(fā)現(xiàn)，在準靜態(tài)下不規(guī)則的內(nèi)凹蜂窩比規(guī)則的正六邊形蜂窩能吸收更多的能量，但這種情況在高速撞擊下逆轉(zhuǎn)。Zheng 等[20]通過數(shù)值模擬研究了坐標擾動和Voronoi 隨機模型兩種不規(guī)則模型與正六邊形蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式和平臺沖擊力，得到不規(guī)則性結(jié)構(gòu)更具復雜性的結(jié)論。Zhu 等[21]研究了孔的不規(guī)則性對二維隨機泡沫彈性性能的影響，構(gòu)造了不規(guī)則度不同的周期性隨機結(jié)構(gòu)，并通過數(shù)值模擬確定了其有效彈性性能，結(jié)果表明，二維隨機泡沫體形狀越不規(guī)則，有效彈性模量和剪切模量越大，在一定的壓比相對密度下，體積模量越小。

綜上所述，實際中蜂窩結(jié)構(gòu)往往是不規(guī)則的，且易受雙軸沖擊載荷作用。而關(guān)于不規(guī)則結(jié)構(gòu)在雙軸沖擊下的研究較少，為此本工作將針對不規(guī)則內(nèi)凹負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)在雙軸沖擊下的面內(nèi)沖擊響應，分析規(guī)則度和沖擊速度對結(jié)構(gòu)變形影響的規(guī)律。

1 計算模型

1.1 不規(guī)則內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)有限元模型的建立

采用如圖1 所示的節(jié)點擾動方法來建立不規(guī)則內(nèi)凹蜂窩的有限元模型。

圖1 坐標擾動Fig. 1 Coordinate perturbation

如圖1 所示，將規(guī)則的內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的每個節(jié)點按照式(1)中的方法進行隨機擾動

式中： μ為節(jié)點擾動的隨機長度； μm為擾動的最大長度， 0 ≤μm≤l1/2。內(nèi)凹負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的不規(guī)則度 可以定義為

式中： l1為規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)的最短棱壁長度。

假設(shè)蜂窩結(jié)構(gòu)所有棱壁的厚度均相同，則可通過改變棱壁的厚度來調(diào)節(jié)蜂窩結(jié)構(gòu)的相對密度。本研究采用15%的相對密度進行分析，圖2 顯示了部分模型。

圖2 不規(guī)則蜂窩模型的建立Fig. 2 Establishment of irregular honeycomb model

圖2 中內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的相對密度 Δρ可以表示為

此 外，對于規(guī)則的內(nèi)凹負泊松比蜂窩，其相對密度 Δρr也可以表示為

式中： ρ*為模型的密度， ρs為基體材料的密度， li為各個孔壁的長度， t 為孔壁的厚度， N為孔壁的數(shù)量， L1、 L2為整個蜂窩結(jié)構(gòu)的長度和寬度，l2為規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)的最長棱壁長度。

1.2 有限元模型

采用ABAQUS/EXPLICIT 軟件進行分析。模型的邊界條件設(shè)置：在兩個正交方向上，將模型置于兩塊剛性板之間、底部剛性板之上，底部和左端的剛性板作為固定端， 頂部和右端作為沖擊端，沖擊速度為3～100 m/s，同時約束內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由度，如圖3 所示。建立的內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)為L1= 129.9 mm, L2= 120.0 mm, l1= 5 mm, l2= 10 mm， θ= 60°。由于蜂窩鋁具有高強度和高剛度的良好力學性能，本研究采用鋁合金作為基體材料，主要參數(shù)為：密度 ρ = 2 700 kg/m3，彈性模量E = 72 GPa，泊松比為0.33，屈服強度 σy= 103 MPa，并采用線性強化模型，圖4 為結(jié)構(gòu)基體材料的本構(gòu)關(guān)系，其中Et為切線模量， σs為線性強化模型的屈服強度。蜂窩細胞數(shù)量為15 × 15，可保證材料不受尺寸效應的影響。所有單元均采用4 節(jié)點殼單元進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元尺寸為0.5 mm，節(jié)點數(shù)為28 660，網(wǎng)格數(shù)為 19 540，建 立無摩擦和通用接觸。

（b）The author，who graduated from the same university I did，gave a wonderful presentation.

圖3 雙軸加載模型的邊界條件Fig. 3 Boundary conditions for the biaxial loading model

圖4 基體材料的本構(gòu)關(guān)系Fig. 4 Constitutive relation of the matrix material

2 結(jié)果與討論

2.1 雙軸沖擊下的變形模式

為了對雙軸沖擊條件進行分類，采用與雙軸沖擊有關(guān)的參數(shù) λ，表達式為 λ=vx/vy，其中 vx、 vy分別為 x、y 方向的沖擊速度。這里只討論 λ =1 的情況，顯然 λ =1 時為等雙軸沖擊。首先研究了不同規(guī)則度（K = 0, 0.6, 1.0）的內(nèi)凹負泊松比在不同沖擊速度（6、50 和100 m/s）下的變形模式。圖5、圖6 和圖7 給出了內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)變形情況。需要說明的是，為更好地展示變形結(jié)果，每隔約10%的應變截取一張變形模態(tài)圖，同時為了清晰、規(guī)律地顯示圖像，所有圖形都設(shè)置了相同的大小。

圖5 K = 0 時不同沖擊速度下的變形模態(tài)Fig. 5 Deformation modes under different impact velocities at K = 0

圖6 K = 0.6 時不同沖擊速度下的變形模態(tài)Fig. 6 Deformation modes under different impact velocities at K = 0.6

從圖5 可以看出，對于規(guī)則的內(nèi)凹蜂窩，在等雙軸低速沖擊過程中，結(jié)構(gòu)首先在交叉處棱壁堆積，從而使內(nèi)部先形成四邊形，結(jié)構(gòu)整體的變形在近端和遠端都較均勻。這與文獻[15]中內(nèi)凹蜂窩的變形是一致的，也驗證了本模型的有效性。持續(xù)的壓縮使孔壁進一步堆積形成局部致密化，結(jié)構(gòu)的致密過程主要是局部致密。由于負泊松比效應的影響，材料在一個方向受壓時，其另一個正交方向會出現(xiàn)頸縮。因此，在雙向沖擊受壓的情況下，結(jié)構(gòu)會更早進入完全密實階段。隨著沖擊速度的增大，結(jié)構(gòu)從沖擊端（上部和右端）開始密實，而固定端幾乎沒有變形。隨著應變增加，致密向固定端傳遞，直至完全進入密實化。從圖5 中第2 行和第3 行圖像還可以看出，隨著沖擊速度的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)的下端會產(chǎn)生部分“翹起”現(xiàn)象，這是由于負泊松比效應的影響會導致結(jié)構(gòu)頸縮，且結(jié)構(gòu)與固定端端部是無綁定約束，從而造成這類現(xiàn)象。

圖7 K = 1.0 時不同沖擊速度下的變形模態(tài)Fig. 7 Deformation modes under different impact velocities at K = 1.0

與規(guī)則蜂窩不同的是，不規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)在低速沖擊下，其內(nèi)部不會形成較為規(guī)則的四邊形。這是由于不規(guī)則度的存在使結(jié)構(gòu)棱壁處的堆疊也變得不規(guī)則。此外，從圖5～圖7 中 ε=0.5 列可以看出，由于不規(guī)則度的引入，結(jié)構(gòu)的變形模式由局部密實轉(zhuǎn)變?yōu)檎w密實，從而使內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在相同壓縮程度下，密實化程度明顯降低。在高速沖擊下（v = 100 m/s），從圖5～圖7 中可以看出，不規(guī)則程度越高，沖擊端的致密程度越大。這是因為高速沖擊下，結(jié)構(gòu)在沖擊端的密實主要是棱壁的彎曲折疊過程，隨著不規(guī)則度的增加，棱壁的彎曲折疊受到的約束增大，向固定端傳遞的速度也會降低，所以不規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)的密實過程會更長，而在沖擊端密實程度也會更高。此外，從圖6、圖7 中 ε =0.6、v = 100 m/s 對應的變形情況可以看出，固定端還有尚未變形進入密實的孔，說明不規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)具有較長的平臺階段，能 夠承受更大的壓縮變形。

2.2 不同沖擊速度下的應力-應變曲線

圖8 和圖9 給出了蜂窩結(jié)構(gòu)在雙軸沖擊下兩個正交方向沖擊端的名義應力-應變曲線，其中名義應力 σ通過沖擊端的反力除以對應截面的原始面積獲得，名義應變 ε通過沖擊位移除以對應的原長獲得。從圖中可以看出，內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在不同方向上的 σ-ε曲線均表現(xiàn)出典型多孔材料在受壓時所具有的彈性階段、平臺階段和密實階段3 部分。

圖8 蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下x 方向的應力-應變曲線Fig. 8 Stress-strain curves of honeycomb structure in x direction under different impact velocities

圖9 蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下y 方向上的應力-應變曲線Fig. 9 Stress-strain curves of honeycomb structure in y direction under different impact velocities

從圖8 和圖9 中v = 6 m/s 時的曲線可以看出，對于K = 0 時的應力-應變曲線，在應變接近0.4 處，結(jié)構(gòu)變形的平臺階段均出現(xiàn)一個上升的階梯，并且x 方向最明顯。結(jié)合2.1 節(jié)關(guān)于變形模態(tài)的分析，認為這主要是由于在等低速雙軸沖擊下內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)變形主要經(jīng)歷兩種棱壁堆疊過程，即堆疊形成四邊形以及四邊形的進一步彎曲堆疊。由于第1 步的堆疊，棱壁基本不會屈曲，主要是旋轉(zhuǎn)折疊，因此這一平臺階段的應力水平較低；第2 步的堆疊主要是棱壁的屈曲折疊，所以此階段的應力水平較高。從圖8 和圖9 中也可以看出，K = 0 時，結(jié)構(gòu)會更早進入密實化階段，而不規(guī)則度的引入使結(jié)構(gòu)擁有較長的平臺階段，密實化階段出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，此現(xiàn)象與2.1 節(jié)中變形模態(tài)的分析結(jié)果是一致的。隨著沖擊速度的增大，平臺階段的應力升高，說明結(jié)構(gòu)的能量吸收能力隨著沖擊速度的增大而增強。

蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺應力一般表示為

式中： σp為 平臺應力； ε0為對應初始應力峰值的名義應變； εd為鎖定應變，為蜂窩結(jié)構(gòu)密實化階段所對應的應變； σ(ε)為名義應力-應變曲線。

圖10 給出了不規(guī)則度不同的內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在兩個正交方向上不同沖擊速度下的平臺應力變化趨勢。從圖10 可以看到：隨著沖擊速度的增大，兩個方向上的平臺應力值都會上升；對于K = 0的規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)，其在兩個方向上的平臺應力相差較大，這是結(jié)構(gòu)的各向異性所導致的。引入不規(guī)則度時，在高速沖擊下兩個方向上的平臺應力變化大小及趨勢都較接近，說明結(jié)構(gòu)的各向異性降低，這一點從2.1 節(jié)內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的變形模態(tài)中也可以看出。

圖10 不同沖擊速度下不規(guī)則內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在x、y 方向的平臺應力比較Fig. 10 Comparison of the plateau stress of irregular re-entrant honeycomb structures in x and y directions under different velocities

2.3 內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的能量吸收能力

在動態(tài)沖擊過程中，能量主要由材料的塑性變形消耗。采用比塑性耗散能表征單位質(zhì)量的能量吸收能力，表達式為

式中： EPED為塑性耗散能，可以從有限元分析軟件中直接獲得；M 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

圖11 給出了內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在6、50 和100 m/s 3 種不同沖擊速度下的比塑性能量耗散與 y 方向沖擊應變的關(guān)系。從圖11 中可以看出，當應變較低時，比塑性耗散能 W上升較緩慢，且所有曲線基本重合。這表明在早期，不規(guī)則度對內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的影響較小。隨著壓縮程度的增加， W增加的速率變大，且K = 0 時， W增加得最快，表明結(jié)構(gòu)開始進入密實階段，這是由結(jié)構(gòu)的負泊松比效應引起的。對于不規(guī)則蜂窩結(jié)構(gòu)，曲線上升得較緩慢，表明不規(guī)則度的引入使結(jié)構(gòu)的平臺階段延長，結(jié)構(gòu)具有更強的能量吸 收能力。

圖11 蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的比塑性耗散能曲線Fig. 11 Specific plastic dissipation energy curves of honeycomb structure at different impact velocities

3 結(jié) 論

采用有限元方法研究了具有不同不規(guī)則度內(nèi)凹負泊松比結(jié)構(gòu)的面內(nèi)雙軸沖擊響應，得到了以下結(jié)論。

(1)內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的變形受沖擊速度的影響。隨著沖擊速度的提高，蜂窩結(jié)構(gòu)的變形逐漸轉(zhuǎn)向逐層致密，受結(jié)構(gòu)負泊松比效應的影響，在等高速雙軸壓縮時，結(jié)構(gòu)的固定端會有局部“翹起”現(xiàn)象。此外，由于不規(guī)則度的引入，在低速沖擊下，結(jié)構(gòu)的密實化過程從局部致密轉(zhuǎn)變?yōu)檎w致密，從而導致在相同的壓縮程度下，結(jié)構(gòu)的密實化程度降低。

(2)隨著沖擊速度的增大，平臺階段的應力上升，能量吸收能力更強，比塑性耗散能也上升。不規(guī)則度的引入延長了平臺階段，降低了結(jié)構(gòu)的各向異性程度，從而提高了結(jié)構(gòu)的能量吸收能力。