帶有攻擊角和視場角約束的制導(dǎo)炮彈導(dǎo)引律設(shè)計

郭佳暉, 蔣濱安, 田宗浩

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院高過載彈藥制導(dǎo)控制與信息感知實驗室, 安徽 合肥 230031)

0 引 言

為了提高彈藥的毀傷效能,往往要求精確制導(dǎo)炮彈以特定的攻擊角度命中目標(biāo)。對此,前人在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上相繼提出了多種帶有攻擊角約束的導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[1]基于彈道落角約束,提出了偏置比例導(dǎo)引法。文獻(xiàn)[2]在偏置比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上研究了落角約束對法向過載的影響,并通過盲區(qū)控制減小導(dǎo)彈在命中點(diǎn)處的法向過載。文獻(xiàn)[3]設(shè)計了基于碰撞點(diǎn)預(yù)測的剩余飛行時間估計方法,并在偏置項中加入了彈目的相對運(yùn)動狀態(tài),以實現(xiàn)對目標(biāo)特定角度的攻擊。

滑?？刂朴捎诰哂兴惴ê唵巍Ⅳ敯粜院?、可靠性高等優(yōu)點(diǎn),近些年被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)引律的設(shè)計之中。文獻(xiàn)[4-6]通過構(gòu)造非線性終端滑模面,使得制導(dǎo)系統(tǒng)能在有限時間收斂,提高了命中精度。文獻(xiàn)[7-9]針對終端滑模的奇異現(xiàn)象,設(shè)計了帶攻擊角度約束的非奇異終端滑模導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[10]對非奇異終端滑面進(jìn)行了改進(jìn),結(jié)合自適應(yīng)指數(shù)趨近律,提出了自適應(yīng)非奇異終端滑模導(dǎo)引律,并且引入飽和函數(shù)以削弱抖振。文獻(xiàn)[11-14]利用積分滑模面解決了有限時間導(dǎo)引律存在的奇異和非光滑問題。文獻(xiàn)[15-16]將反演控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合,提出了自適應(yīng)反演滑模導(dǎo)引律。

然而,在解決攻擊角約束的過程中,由于彈道彎曲,可能會使目標(biāo)超出導(dǎo)引頭的視場范圍,進(jìn)而導(dǎo)致導(dǎo)引律失效,因此還應(yīng)研究視場角的影響。文獻(xiàn)[17]通過選擇合適的初始視線角或放寬攻擊角度約束,來保證視場角約束不被違背,由于初始條件受限以及約束條件降低,因此其在實際應(yīng)用中受到了較多限制。文獻(xiàn)[18]提出了范圍多項式制導(dǎo)律,并利用邊界條件確定制導(dǎo)參數(shù),可在視場角受限的情況下命中目標(biāo)。文獻(xiàn)[19-21]采用了切換邏輯的控制方法,在落角約束導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上增加了偏置開關(guān)項,并在視場角達(dá)到閾值時開始介入,以保證目標(biāo)始終處于導(dǎo)引頭視場范圍之內(nèi),但是該方法存在導(dǎo)引指令跳變的問題。文獻(xiàn)[22]為了避免偏置項的突然介入而產(chǎn)生指令跳變,在偏置項上乘以一個時變的約束系數(shù),以合理調(diào)節(jié)偏置項所占比重。

上述導(dǎo)引律的研究對象大多為有動力的導(dǎo)彈,并假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度恒定,但是制導(dǎo)炮彈全程均為無動力飛行,機(jī)動能力較弱,僅通過改變攻角難以維持速度恒定,而且目標(biāo)的速度可能會發(fā)生變化。本文基于制導(dǎo)炮彈作戰(zhàn)使用流程和彈道特點(diǎn),構(gòu)建了制導(dǎo)炮彈攻擊地面速度變化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)目標(biāo)視線角的實際取值范圍,設(shè)計了帶有視場角約束的終端滑模面,以保證狀態(tài)變量在受限的情況下沿滑模面有限時間收斂,并利用正切型障礙李雅普諾夫函數(shù)來解決滑模面到達(dá)段的視場角約束問題,由于在導(dǎo)引律的設(shè)計之初就考慮了約束條件,因此有效解決了導(dǎo)引指令跳變等問題。設(shè)計了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)對目標(biāo)機(jī)動引起的擾動進(jìn)行估計與補(bǔ)償,以減小滑?？刂浦星袚Q項的增益,削弱了滑模控制的抖振現(xiàn)象。通過仿真驗證了該導(dǎo)引律能在視場角受限的情況下以不同的攻擊角度命中目標(biāo),并與現(xiàn)有的導(dǎo)引算法進(jìn)行了對比,結(jié)果表明,該導(dǎo)引律的制導(dǎo)時間更短,彈丸落速更大,命中精度更高。

1 問題描述及基礎(chǔ)知識

1.1 問題描述

考慮炮彈在縱向平面內(nèi)的導(dǎo)引問題,彈目相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目相對運(yùn)動關(guān)系

(1)

式中,g為重力加速度;VT0為末制導(dǎo)開始時目標(biāo)的速度;t0為末制導(dǎo)開始時刻。

(2)

1.2 基礎(chǔ)知識

性質(zhì) 1V(x)在開區(qū)間D內(nèi)正定連續(xù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);

性質(zhì) 2當(dāng)x趨近開區(qū)間D的邊界時,V(x)趨近無窮大;

性質(zhì) 3對任意t≥0且x(0)∈D,都存在正常數(shù)b,使得V(x)≤b成立。

引理 1對于任意的x∈[0,π/2),若正實數(shù)λ滿足0<λ<1,則不等式-sec2x<-2λtanλx恒成立。

證明

由此可得-sec2x<-2λtanλx。

證畢

引理 2[26]假設(shè)存在一個定義在包含原點(diǎn)的區(qū)間U∈Rn上的C1光滑正定函數(shù)V(t),且V(t)滿足不等式

(3)

(4)

2 導(dǎo)引律設(shè)計

2.1 選取狀態(tài)變量

(5)

(6)

式中,w(t)為目標(biāo)機(jī)動導(dǎo)致的不確定項,可以表示為

(7)

不失一般性,可以對制導(dǎo)系統(tǒng)做出如下合理的假設(shè)。

假設(shè) 1目標(biāo)的速度遠(yuǎn)小于炮彈的速度,即

(8)

假設(shè) 2目標(biāo)的機(jī)動能力有限,因此由機(jī)動導(dǎo)致的不確定項w(t)有界,且上界為Δ1,即

|w(t)|≤Δ1

(9)

假設(shè) 3末制導(dǎo)開始時,目標(biāo)處于導(dǎo)引頭的視場范圍內(nèi),即炮彈的初始前置角滿足不等式:

(10)

|x2|≤kc

(11)

(12)

由于炮彈的速度遠(yuǎn)大于目標(biāo)的速度,故可以認(rèn)為kc>0。

2.2 構(gòu)造ESO

ESO常被用于估計系統(tǒng)的擾動,其只需要系統(tǒng)的輸入以及輸出信息即可準(zhǔn)確估計出擾動,具有較高的實用價值,本文通過構(gòu)建ESO來估計目標(biāo)機(jī)動所導(dǎo)致的不確定項w(t)。

(13)

(14)

2.3 滑模導(dǎo)引律設(shè)計

構(gòu)造終端滑模面

(15)

將滑模變量s對時間t求導(dǎo)，得

(16)

式中,

(17)

為了使滑模變量收斂于零,且在收斂的過程中滿足狀態(tài)約束式(11),可以構(gòu)造如下正切型障礙李雅普諾夫函數(shù):

(18)

式中,

(19)

(20)

式中,

(21)

(22)

式中,k1，k2>0。為了方便記敘,將本文設(shè)計的導(dǎo)引律簡記為FCIASMG。

3 導(dǎo)引律的穩(wěn)定性分析與證明

定理 1本文所構(gòu)造的滑模面式(15)將在導(dǎo)引指令式(22)的作用下有限時間收斂于零。

證明將導(dǎo)引律式(22)代入障礙李雅普諾夫函數(shù)式(18)中,并對其求導(dǎo)得

-sec2B(k1s2+k2|s|)≤-k1s2sec2B

(23)

根據(jù)引理1可知：

(24)

(25)

根據(jù)引理2可知,滑模面s將在有限時間收斂于零。

證畢

定理 2狀態(tài)變量x1和x2將在導(dǎo)引指令式(22)的作用下沿滑模面有限時間收斂于零。

證明考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

(26)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后,

(27)

對式(26)求導(dǎo)，得

(28)

(29)

根據(jù)引理2可知,狀態(tài)變量x1和x2將在有限時間沿滑模面收斂于零。

證畢

證明為了保證視場角滿足約束條件,只需證明狀態(tài)約束式(11)在導(dǎo)引過程中不會被違背即可。

(1)狀態(tài)約束式(11)在滑模面到達(dá)階段不會被違背。

(2)狀態(tài)約束式(11)在滑模面上不會被違背。

對于制導(dǎo)炮彈來說,其機(jī)動能力較弱,難以攻擊位于其上方和后方的目標(biāo),因此目標(biāo)視線角滿足q∈[-π/2,0],則x1滿足x1∈[-π/2,π/2]。

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后,s=0,此時

(30)

證畢

4 仿真分析

本節(jié)對設(shè)計的導(dǎo)引律進(jìn)行仿真分析,假設(shè)末制導(dǎo)開始時,炮彈和目標(biāo)的初始坐標(biāo)分別為(0 m,2 500 m)和(2 500 m,0 m),炮彈和目標(biāo)的初速度分別為210 m/s和20 m/s,炮彈的初始彈道傾角為-30°,導(dǎo)引頭視場角約束為[-20°,20°],目標(biāo)按加速度AT=8 cos(0.8t)進(jìn)行機(jī)動,炮彈的攻角限制為[-6°,6°],導(dǎo)引律的參數(shù)設(shè)定為:k1=4,k2=0.2,p=5,m=3,a1=2,a2=1,仿真步長10 ms,當(dāng)炮彈高度小于1 m時,仿真結(jié)束。

炮彈的法向過載主要由其攻角產(chǎn)生,因此過載限制可以轉(zhuǎn)化為攻角限制。

4.1 以不同攻擊角打擊目標(biāo)

假設(shè)炮彈的期望攻擊角分別為-40°、-50°和-60°,針對本文設(shè)計的FCIASMG進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖2所示。

圖2 以不同攻擊角攻擊目標(biāo)的仿真結(jié)果

從圖2(a)可以看出,無論炮彈以何種期望攻擊角均可成功命中目標(biāo)。從圖2(b)可以看出,該導(dǎo)引律能夠在有限時間內(nèi)使炮彈的攻擊角收斂到期望值。從圖2(c)可以看出,在整個導(dǎo)引過程中,炮彈的視場角始終滿足約束條件。從圖2(d)可以看出,在末制導(dǎo)開始時,各個攻擊角度對應(yīng)的導(dǎo)引指令均出現(xiàn)了不同程度的飽和,隨后慢慢減小,在導(dǎo)引末端,導(dǎo)引指令均較小。

不同期望攻擊角度的仿真結(jié)果如表1所示,可以看出,炮彈的落速和導(dǎo)引時間均隨攻擊角度的增加而增加,在該導(dǎo)引律作用下,炮彈的攻擊角誤差可以控制在0.3°以內(nèi),脫靶量可以控制在1.5 m以內(nèi)。

表1 不同攻擊角度導(dǎo)引結(jié)果

4.2 算法對比

為了進(jìn)一步分析本文算法的制導(dǎo)性能,將其與文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[15]的算法進(jìn)行對比分析。

文獻(xiàn)[15]設(shè)計了一種基于切換邏輯的考慮攻擊角和視場角約束的導(dǎo)引律，簡記為FSMCG,其具體形式如下:

k1s+k2|s|βsign(s)]

文獻(xiàn)[8]設(shè)計了一種非奇異快速終端滑模導(dǎo)引律，簡記為ANFTSMG,其具體形式如下：

假設(shè)炮彈期望的攻擊角為-60°,分別對導(dǎo)引律FCIASMG，F(xiàn)SMCG，ANFTSMG的制導(dǎo)性能進(jìn)行仿真分析,結(jié)果如圖3所示。從圖3(a)和圖3(b)中可以看出,3種導(dǎo)引律均能以期望的攻擊角度命中目標(biāo)。從圖3(c)中可以看出,ANFTSMG由于沒有考慮視場角約束,因此在機(jī)動的過程中違背了視場角約束,而FCIASMG和FSMCG均能滿足視場角約束。從圖3(d)中可以看出,3種導(dǎo)引律均出現(xiàn)了指令飽和的現(xiàn)象,但是FCIASMG的飽和時間最短,FSMCG次之,ANFTSMG飽和時間最長,FSMCG由于采用了切換邏輯,在A點(diǎn)處出現(xiàn)了明顯的指令跳變現(xiàn)象,且該方法在導(dǎo)引末端的攻角較大,不利于制導(dǎo)控制。3種導(dǎo)引律的仿真結(jié)果如表2所示,可以看出,3種導(dǎo)引律的脫靶量和攻擊角度誤差均令人滿意,但是本文所設(shè)計導(dǎo)引律的制導(dǎo)時間最短,彈丸落速最大,攻擊角誤差和脫靶量最小,相比其他兩種導(dǎo)引律具有明顯的優(yōu)勢。

表2 不同導(dǎo)引律的導(dǎo)引結(jié)果

圖3 不同導(dǎo)引律仿真效果對比

5 結(jié) 論

本文以制導(dǎo)炮彈為平臺,針對速度可變的地面目標(biāo)設(shè)計了一種帶有攻擊角和視場角約束的終端滑模導(dǎo)引律,并在導(dǎo)引律設(shè)計階段就考慮了約束條件,避免了指令切換,并通過仿真分析和對比,對算法進(jìn)行驗證,相關(guān)結(jié)論如下:

(1)通過構(gòu)造帶有約束條件的終端滑模面以及正切型障礙李雅普諾夫函數(shù),使得炮彈可以在視場角約束不被違背的情況下以特定的攻擊角度命中目標(biāo);

(2)采用了ESO來估計和補(bǔ)償目標(biāo)速度變化引起的擾動,減小了切換項的增益,有效削弱了滑?？刂拼嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象;

(3)通過算法對比與分析可以發(fā)現(xiàn),本文設(shè)計的導(dǎo)引律具有制導(dǎo)時間短,導(dǎo)引指令飽和時間短,制導(dǎo)精度高,彈丸落速大,無指令跳變等優(yōu)點(diǎn)。