高中數(shù)學線上“概念課”授課模式應用研究
——以“事件的相互獨立性”為例

王曼鈴

（大慶實驗中學，黑龍江 大慶 163711）

一、引言

隨著客觀環(huán)境及教育改革的不斷推進，在線教學作為新的教學形式已經(jīng)成為未來的發(fā)展趨勢。如何將諸多方法、內(nèi)容以及硬件和軟件有機結(jié)合，更好地服務于教學，依然有待探討和深入挖掘。本文以高中數(shù)學“概念課”教學為切入點，細致分析線上教學模式，以期在實踐中逐步完善并提升在線教學理念和方法。

概念課，一般來說是學生在教師的指導下，根據(jù)自己已有的認知結(jié)構(gòu)，經(jīng)過同化或順應，對材料形成活動體驗或直觀感知，經(jīng)過程序加工，形成深度理解，最后豐富自己的知識結(jié)構(gòu)、形成完整概念圖示的過程。高中數(shù)學的概念教學更加強調(diào)學生對于知識本身的理解和內(nèi)化。

越來越多的教師開始重視“概念課”教學形式的設計與創(chuàng)新，在每一次課程變革下都會首先對“概念課”的教學進行研究。在信息技術(shù)與線下教學相融合的背景下、在新的教學方式的驅(qū)使下、在新課改對學生核心素養(yǎng)提升的要求下，教師更要思考如何從“概念課”入手來探究課堂形式的轉(zhuǎn)換以適應新的教學常態(tài)，提升教學效果。

二、“概念課”在線教學的創(chuàng)新思路

線下的“概念課”模式，以教師講授為主，一般將課堂分成三部分：①新知引入，教師大概利用課堂的前10分鐘的時間展示概念的背景和形成過程；②概念辨析，接下來的15～20分鐘主要是對概念的深入講解，從不同的角度剖析概念中的關(guān)鍵詞、適用范圍、注意事項等；③概念應用，最后的10～15分鐘，是對概念進行應用練習，加深學生對于這些知識的理解以及知識的遷移，布置課后作業(yè)，幫助學生消化理解。

線上教學與線下課堂最大的區(qū)別在于，在線教學可以打破空間的限制，完成“云”端學習，這就包括：學習者的人數(shù)不再局限于教室，可以利用的資源不再局限于紙筆和觀看教師展示；學習的進度不要求全部整齊劃一；學習者的反饋不再需要等到課后的測試才能被看到（陳勁松，2015）。線上教學并不是“課堂搬家”，它是將線下教學的基本方式與線上的交互性優(yōu)勢相結(jié)合，填補了線下教學教師為主導的課堂難以改變的現(xiàn)狀。線上教學包容性更強，涵蓋了線下教學的所有內(nèi)容和方式。

三、高中數(shù)學“概念課”在線教學的理論支撐

（一）協(xié)同教學理論

協(xié)同教學（Team Teaching）是美國20世紀50年代提出的一種教學形態(tài)，主要的方式是由多位教師合作計劃和設計教學過程以及評價方式，充分整合教師的個人能力和資源，使教學方式發(fā)生變化，讓教學效益達到最大化（董官明，2016） 。

線下教學中多為教師在班級對固定學生進行授課，很難實現(xiàn)教師之間的協(xié)同，而在線教學的空間靈活性就可以將協(xié)同理論應用于數(shù)學線上“概念課”教學的全過程。在課前教師以備課小組為單位，由兩名或三名教師組成備課團隊，多師協(xié)同準備教學資源包，使得備課資料更具有普適性；在課上教學的過程中可以實行大班教學，課上兩位教師進行雙師協(xié)同，由一名主講教師講解，一名作為助教處理學生在評論區(qū)中的提問并進行信息篩選；課后，每位教師對本班學生的個性問題有針對性地進行小組答疑，同時整理反饋信息，這種協(xié)同教學的方式可以極大地整合教師資源，同時能夠針對學生的問題提出更加全面且適當?shù)慕鉀Q策略，而且能夠提高教學效率和學生的學習效果。

（二）學習金字塔理論

美國緬因州的國家訓練實驗室做過類似的研究，提出了“學習金字塔”（Learning Pyramid）理論。各種教學方式在學生頭腦中的知識的保留率各不相同，知識的保留率用百分率呈現(xiàn)出來，從小到大排列成為金字塔的形式（陳華，2019）。

圖1 學習金字塔圖示

學習金字塔理論與《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（2019）》的理念是相吻合的，如果可以將主動學習的方式應用到課堂中，則可以大大改善學生的學習效果和學生各方面能力的培養(yǎng)。在線教學可以更加容易和直觀地實現(xiàn)學生的主動學習，達成超越時間和空間的討論與實踐，例如：在數(shù)學概念課中，可以利用教學平臺將學生進行分組，學生在課前利用視頻的方式進行小組探討；在課下學生可以運用資源包里豐富的資源進行實踐研究；課后設置分享課堂，學生在線上進行展示，實現(xiàn)學生之間知識的共享，達成自主學習的目的。

（三）APOS理論

建構(gòu)主義理論（Constructivism）認為，知識是在特定的情境下，通過其他人的協(xié)助以及資料的供應，利用對于知識方法的建構(gòu)獲得知識的過程。所以在建構(gòu)理論中情境、協(xié)作、對話以及意義的建構(gòu)是非常重要的。

基于建構(gòu)主義理論，20世紀80年代末至90年代初，美國的杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學概念學習的APOS理論模型，認為學生學習數(shù)學概念要經(jīng)歷四個階段的心理建構(gòu)。體驗活動（Action）階段可以由學生在課前通過自選資源完成，確保活動難度適宜；經(jīng)過對課前體驗的內(nèi)化，形成過程（Process）階段可以由線上主講教師統(tǒng)一講解、助教教師輔助完成，確保每位同學掌握的概念準確清晰；學生經(jīng)過操作，是否將過程壓縮為概念整體對象（Object）可以通過變式訓練測試，助教根據(jù)學生的測試成果和提問發(fā)現(xiàn)其中的問題，反饋給主講教師；最后主講教師和學生一起完成對概念的同化與順應，形成圖示（Schema）（曹一鳴，2008）。

在APOS四個環(huán)節(jié)上，線上教學做出了適當?shù)恼{(diào)整，使之更加適合在線教學的規(guī)律，也更加有助于學生對概念的深入理解，促進主動學習。

四、高中數(shù)學“概念課”在線教學模式的構(gòu)建

結(jié)合在線教學實踐經(jīng)驗以及對以上教學理論的學習和應用實踐，發(fā)現(xiàn)以問題為導向能夠提高學生學習的主動性和目的性。高中生已經(jīng)具備了基本的數(shù)學能力，很多概念可以在學生的探討和思考中逐步生成、完善，這種通過線上資源自主生成相關(guān)成果的過程與體驗，對培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)是大有裨益的（韓斌，2018）。

將問題和資料提前交給學生，讓學生主動尋找答案，調(diào)動了在線課堂學生的學習狀態(tài)，能更好地了解學生對概念的理解水平（董官明，2016）。同時還可以借助線上豐富的信息資源，讓學生在小組討論的過程中加深對于抽象的數(shù)學符號、數(shù)學概念的理解，達到深度學習的目的（劉月霞，郭華，2018）。

在線教學的一大優(yōu)勢就是學生可以很方便地進行在線測試，學生通過每次測驗的直觀數(shù)據(jù)了解自身概念掌握的程度，有針對性地解決；教師也能及時掌握學生的情況，及時調(diào)整教學方案。基于以上想法，針對高中數(shù)學的“概念課”在線教學，構(gòu)建教學模式見圖2。

圖2 高中數(shù)學“概念課”在線教學模式

（一）課前準備——對“概念”的初步認識

在課前準備中，將所有的活動分解成五項內(nèi)容，其中前兩項由備課組教師共同完成，后三項由全體同學以“自主預習+小組合作”的方式來完成。

1. 多師協(xié)同

課前由3名教師組成備課小組協(xié)同備課，包括：知識理解的協(xié)同，即教師交流對于概念的理解、教授方式的把握以及考綱的分析；教學經(jīng)驗的協(xié)同，依據(jù)以往的教學經(jīng)驗，針對學生可能存在的問題及誤區(qū)進行預設；資源的協(xié)同，教師共享課程資源，構(gòu)建本節(jié)課的通識資源包。

2. 通識資源包

資源包里應該包含基本知識介紹，學生自主閱讀，了解基本概念；微課，針對幾個核心概念的講解，讓學生對基礎(chǔ)知識有一個直觀的認識；問題性預習材料，根據(jù)對學生的預設，設置有梯度的提問，引導學生自主思考；前測試題，學生自測預習成果，明確本節(jié)課要學習的任務和目的，了解自己在學習過程中的疑問；知識網(wǎng)絡圖，學生在整個學習過程中不斷地進行完善（毛元鳳，2011）。

3. 個性預習

基于多元智能理論，學生可以在資源包中選擇適合自身理解水平的預習資料，這樣更有助于學生形成對于概念初步認識。

4. 小組討論

每個學生完成預習材料、前測試題和知識框架圖之后，進行小組討論、展示和共享。針對一些基礎(chǔ)的問題，同組理解較好的學生可以為理解不足的同學解答，共同完善知識網(wǎng)絡圖，最終確定本組的共性問題并反饋給教師。

5. 個性資源包

每一位學生，將自己閱讀的預習材料、前測試題及反思、小組討論解決的問題及完善后的知識框圖進行整理，存放在自己的電子資源包中，以備積累和課上使用。

（二）課中實踐——對“概念”的深入理解

課中，教師要依據(jù)考綱對這部分知識的理解程度要求以及學生課前預習的實際情況為依據(jù)設計教學，一節(jié)課的容量不宜過多，只需要讓學生體會和掌握核心知識、核心方法和技能即可，為此將設置以下的教學環(huán)節(jié)。

1. 小組展示

上課后，教師先帶領(lǐng)同學們進行統(tǒng)一的復習回顧，引出本節(jié)課的學習內(nèi)容。接下來小組內(nèi)學生進行預習成果展示，先簡單介紹概念的產(chǎn)生和理解，以及知識網(wǎng)絡框圖。之后提出疑問，以便教師調(diào)整教學側(cè)重點，讓學生對知識的學習更有主動性和針對性。

2. 延伸問題牽引

根據(jù)課前預習中學生小組未解決的問題，教師要設計“延伸問題”，引導學生探究新知。延伸問題貫穿整個“概念生成—概念對比—概念應用”的教學過程中，配以及時的跟蹤檢測，不斷地強化學生對于概念的認識。建議教師準備的練習題包含3個梯度，教師可根據(jù)學生對中間梯度問題的完成情況，決定下一步訓練的方向，這樣能使得課堂授課更加高效（范柱寶，2016）。

3. 雙師協(xié)同

在線課堂實行雙師協(xié)同的方式。主講教師根據(jù)提前收集上來的小組學生的疑問，設置延伸問題，將問題進行細化和分解，并要適應學生的知識理解水平。助教教師在網(wǎng)絡課堂中隨時解決個性化的問題，將共性問題推送給主講教師，有助于主講教師高效授課。

4. 課堂小結(jié)

整節(jié)課講解完畢之后，讓小組代表對本節(jié)課的內(nèi)容進行總結(jié)，小組進行知識網(wǎng)絡的完善并與同伴進行分享。各組代表分享后，教師進行點評和補充，以便課后小組在分享課堂中進行進一步的總結(jié)，生成個性的知識網(wǎng)絡圖，讓學生對知識有宏觀的把控和理解。

（三）課后評價反思——對“概念”的內(nèi)化整理

課后，對學生的學習成果進行鞏固訓練和及時評價至關(guān)重要，強調(diào)知識體系的共性化和資源評價的個性化。

1. 后測試題

課后我們要嚴格針對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行問題的設置，問題要以基礎(chǔ)題為主，注重學生對課堂內(nèi)容的夯實和了解。教師通過對學生作業(yè)完成情況的反饋，了解學生漏洞，進而通過答疑課的方式進行解答。

2. 小組研討

小組研討分為在線直播會議研討和線下文字研討兩種。線下文字研討主要是對于一些每天所涉及的知識點和問題進行交流，在線直播會議研討每周兩次，學生可以對近幾天所學的內(nèi)容重點以及自己的一些收獲與同伴分享（蘇金福，2017）。

3. 教師答疑

除了要參加學生研討會議之外，還要每周兩次進行學生疑問的解答，這里教師要做到兩個方面：第一要對學生在作業(yè)批改中以及平時的討論中所遇到的共性問題進行細致的講解，其次要對個別學生存在的特殊的個性化的問題進行一對一的解答。

4. 概念內(nèi)化

后測及教師答疑后，學生繼續(xù)改正不足，通過自己整個課程學習過程中的測試、互動等感受，整理出本節(jié)課的核心概念的“生成→理解→應用”過程的思維導圖，完善知識體系，養(yǎng)成良好的學習習慣。

5. 評價反思

知識層面，針對學生的前測成績、課中檢測以及后測成績，形成學生個人的知識理解水平變化趨勢圖。心理層面，每節(jié)課的開始和結(jié)束讓學生填寫理解水平問卷，了解學生的心理的變化 （朱培雯，2019）。生生互評層面，在課后的小組討論和分享中，學生會對其他小組的展示進行點評和打分，推選出他們認為最優(yōu)和進步最大的小組。

五、“概念課”在線教學的案例設計

基于以上高中數(shù)學“概念課”的教學模式，現(xiàn)以“事件的相互獨立性”一課為例，進行實際應用舉例。

（一）課前準備——對“概念”的初步認識

教師組成3人備課組協(xié)同準備教學資源包，其中包括：微課、預習課件、閱讀材料、預習前測試題、學生知識流程圖、學生預習問題收集。學生個體完成預習任務后，利用前一天的釘釘小組群進行20分鐘的小組討論，主要是：①探討預習中的疑問，如古典概型中的兩個基本事件是不是相互獨立的？相互獨立事件與互斥事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？②互相溝通完善知識網(wǎng)絡圖；③組長將本組主要問題反饋給教師。

（二）課中實踐——對“概念”的深入理解

1. 學生展示環(huán)節(jié)

雙師協(xié)同完善課前預習問題和延伸問題，學生根據(jù)預習情況對知識網(wǎng)絡圖進行小組展示，培養(yǎng)理解能力和自主探究能力。

2. 概念理解過程

1）概念的生成

主講教師設置合理的問題情境，讓學生體會事件的相互獨立性，從而自主歸納出概念，助教針對理解不好的同學進行個別答疑，保證學生認知的連貫性，讓每位學生都能順利地理解。

2）概念的對比

主講教師設置延伸問題，引發(fā)學生辨析“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別；從特殊性質(zhì)入手，類比事件的相互獨立性與條件概率的性質(zhì)的共同點。雙師協(xié)同，助教對于回答錯誤的同學給予指導，將典型問題提交給主講教師解答，及時調(diào)整授課節(jié)奏。學生結(jié)合新知和舊知的對比，加深對新知的理解，注意知識之間的區(qū)別和聯(lián)系。

3）概念的應用

在充分理解概念的基礎(chǔ)上，通過具體事例引導學生主動探究運用所學知識解決實際問題的方法和步驟，將知識標準化、嚴謹化。延伸問題牽引，激發(fā)學生的思考熱情，發(fā)現(xiàn)易錯點和方法之間的巧妙聯(lián)系，例如：①正面計算較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計算；②審題時應注意“至少有一個發(fā)生” “至多有一個發(fā)生” “恰好有一個發(fā)生”等關(guān)鍵的詞句。

4）課堂小結(jié)

學生自主完成本節(jié)課的思維導圖，體會概念產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程，加深理解和記憶。

（三）課后評價反思——對概念的內(nèi)化整理

科學評價學生對概念的內(nèi)化情況，應該從客觀成績評價和主觀態(tài)度評價兩方面進行，既調(diào)查學生對概念的掌握情況，又從學生的真實感受中體會教學目標和效果的達成情況。

客觀成績評價。在所有的課程評價中，成績評價是最公平也是最具有說服力的一種。①分別對比實驗班和對照班的前測和后測成績，比較學生進步幅度的大小，分析班級平均分和離散程度，體現(xiàn)教學模式對提升教學水平的作用；②對比每位學生在“前測—課中練習—后測”的成績變化曲線，精準了解各個學生的概念理解能力的變化；③分析試卷的可信度，保證研究的科學性和數(shù)據(jù)的有效性。

主觀態(tài)度評價。相較于成績分析，主觀態(tài)度的調(diào)查更能體現(xiàn)出課堂教學模式對于學生理解能力的提升和學習興趣的提高。①端正學習態(tài)度，可改善授課方式；②提升求知欲望，可增強學生參與度；③調(diào)動學習主動性，可提高學習效率。

六、“概念課”在線教學效果的數(shù)據(jù)分析

(一)學生前測、后測成績對比分析

1. 學生數(shù)學成績的差異性分析

對于概念課“事件的相互獨立性”教學，將高二理科八班作為實驗班級，理科七班當作對照班級，收集前測成績并進行了配對樣本檢驗（見表1）。

表1 實驗班與對照班前后測成績成對樣本統(tǒng)計量

從表1可以看出七班的前測成績與八班的前測成績均值和標準差都相差較小，說明學生理解水平比較相近，預習情況較好。七班和八班的后測成績的均值差異較大，可以看出不同教學方法的效果的區(qū)別。

表2中的數(shù)據(jù)說明七班和八班的前測成績無顯著差異，后測成績產(chǎn)生了顯著差異，說明概念課教學模式對于學生的學習情況產(chǎn)生了較好的影響。

表2 實驗班與對照班前后測成績差異性統(tǒng)計

表3的數(shù)據(jù)體現(xiàn)出兩個班的成績均有了顯著提升，說明教學有效提升了學生對概念的理解和認知水平。

表3 實驗班前后測、對照班前后測差異性統(tǒng)計

從總體人數(shù)的分布變化來看（見表4），各段人數(shù)均有所增加，并且在授課之后，及格率達到了95%以上，說明無論是傳統(tǒng)教學方式還是新的教學模式，通過課上的探究以及教師的講解，學生對概念都會有更好的理解。

表4 實驗班與對照班及格率和優(yōu)秀率比較

通過數(shù)據(jù)可以看出，實驗班的各段人數(shù)增長幅度更大，后測平均分為84.809，比對照班更高，實驗班本節(jié)課的知識掌握得較好；實驗班后測的及格率達到100%，優(yōu)秀率高達到44.68% ，高于對照班，說明對于一些理解程度比較好的同學，通過這樣的方式可以更好地激發(fā)他們的思考欲望和潛能。同時也不能忽視的是，有個別同學并沒有達到很好的理解效果，這可能與該同學課前預習不足或理解能力稍弱有關(guān)，這部分同學是教師應重點關(guān)注的。

2. 學生數(shù)學成績的個性化分析

如圖3所示，圓點連接成的曲線代表個體學生多次測試得分率的變化，方塊連接成的曲線代表班級平均得分率的變化。通過對學生課前、課中、課后測試的成績跟蹤的對比，可以發(fā)現(xiàn)大部分學生的成績逐步趨于穩(wěn)定，并且在班級平均水平上下浮動，這就說明班級整體成績趨于均衡，學生從開始對于概念理解不到位，完成測試題時準確率波動較大，到隨著課程的深入，對于概念理解更為扎實。

圖3 學生個體成績變化

(二)數(shù)學前測、后測成績的有效性分析

表5 七班、八班試卷成績的相關(guān)性分析

從表5的數(shù)據(jù)中可以看出，七班、八班的前、后測成績顯著相關(guān)，說明了成績的有效性。

（三）學生對教學過程的評價分析

在課前和課后，對學生的學習態(tài)度、求知欲望以及學習主動性三個方面進行線上問卷調(diào)查，了解學生學習前和學習后心理的變化，觀察線上教學模式學生的接受程度，以及對于學生學習主動性的調(diào)動是否有幫助。

從表中6中對比數(shù)據(jù)可以看出，學生起初對于課上提問、展示、分享等形式存在畏懼的心理，害怕說錯，但是經(jīng)過本節(jié)課的學習后，借助于小組討論的方式，增強了自信心，能夠有意識地表達自己的觀點，積極地參與到討論中來，表明在線教學更好地調(diào)動了學生的學習主動性。

表6 學生對教學過程的評價統(tǒng)計

七、教學反思

這種高中數(shù)學教學模式的核心是：在教學設計實現(xiàn)的過程中，始終以學生為主體、以問題為導向進行深度挖掘，讓學生對自己已有的認知進行再思考和再認識，從而加深學生對這部分知識的深度理解和學習。這樣的一節(jié)“概念課”的設計，更能實現(xiàn)課堂互動以及學生學習成果的共享，完成課堂教學任務和目標。在實踐中，發(fā)現(xiàn)該教學模式有以下幾個創(chuàng)新點和需要完善的地方。

（一）創(chuàng)新點

1. 多師協(xié)同教學

多師協(xié)同教學，實現(xiàn)了教師團隊的優(yōu)勢互補，增強了教師隊伍的合作意識，提升了教學效率。

2. 學生個性資源包

該模式下的學生個性資源包的形成是流動的，隨著學習的不斷深入，學生的個性資源包不斷地被教師資源、同伴資源、學生個體資源所填補，真正做到因人而異、個性發(fā)展。

3. 延伸問題

在每個預習問題的背后，教師都根據(jù)小組同學的反饋設置“延伸問題”，加深了學生對于知識的理解，帶動了學生學習的積極性，讓學生學會主動思考和舉一反三，可以達到較好的學習效果。

4. 跟蹤評價

由互聯(lián)網(wǎng)的連通性，設置“前測→課內(nèi)檢測→后測”三個跟蹤評價環(huán)節(jié)，能夠全面地反饋出學生的知識接受程度和理解水平的變化，呈現(xiàn)個體在網(wǎng)絡中的多維變化趨勢， 學生對自身有一個正確的認知，才能不斷地改進和提升（秦婷，徐亞倩，鄭勤華，2020）。

（二）有待完善之處

學生的學習不僅僅來源于課堂本身，更在于課前、課中、課后的一個完整的學習過程，每一個環(huán)節(jié)學生都在進行學習和思考，參與性強，自身能力得到了很好的鍛煉，知識掌握的效果也基本達到了要求。但在課后檢測和深入小組進行答疑的過程中，也發(fā)現(xiàn)學生存在的一些問題，聽取學生的反饋意見后，進行了如下改進，力求讓學生有更好的數(shù)學學習效果和體驗。

1. 細化“預習問題串”

這部分可以把主動權(quán)多交到學生手中，教師給予適當?shù)囊龑Р⒈M可能多地提供學習資源，逐級加深學生的理解。

2. 調(diào)整課堂節(jié)奏

多給學生反饋和思考的時間，多給學生提問和交流的時間，在解決問題的過程中實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

對于一線教師來說，在線教學的授課模式是新的挑戰(zhàn)，也是順應現(xiàn)在教學改革的一條必經(jīng)之路。教師應該從教學實踐出發(fā)，結(jié)合自己所教授學生的實際情況，學習如何將線下教學和線上教學相結(jié)合，凸顯優(yōu)勢，服務教學，從而提高效率和效果，增強學生學習的熱情，最終實現(xiàn)學生綜合能力和核心素養(yǎng)的全面提升。