在計(jì)算教學(xué)中滲透模型思想

劉兆偉

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義上講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，無(wú)論《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，還是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，都將模型思想放在了最核心的位置。計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出的算式就是用于解決實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，而計(jì)算法則也是用于計(jì)算一類算式的數(shù)學(xué)模型，因此在計(jì)算教學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的模型思想，我們應(yīng)在計(jì)算教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而滲透模型思想。筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算”為例，談?wù)勅绾卧谟?jì)算教學(xué)中滲透模型思想，供大家參考。

一、抽象表征，準(zhǔn)備建模

抽象思想與模型思想同為數(shù)學(xué)基本思想，這兩者之間有著緊密的聯(lián)系。通過(guò)抽象能夠舍去事物的非本質(zhì)屬性，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，抽象得到的數(shù)學(xué)對(duì)象本身就是一種數(shù)學(xué)模型，建模是在抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。用計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可以先依據(jù)數(shù)量關(guān)系將生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是一個(gè)將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，以此得到的算式是解決此類問(wèn)題的通用模型。在研究計(jì)算方法時(shí)，我們可以先讓學(xué)生借助直觀表征，理解抽象的算式的意義，從而為學(xué)生探尋具體算法提供幫助。通過(guò)抽象與直觀表征，可以為數(shù)學(xué)建模提供所需的材料，從而為建立算法模型做好準(zhǔn)備。

例如，在教學(xué)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算”時(shí)，可以先將例題中“湖面上飛過(guò)3隊(duì)大雁，每隊(duì)12只，一共有多少只？”這個(gè)生活問(wèn)題依據(jù)數(shù)量關(guān)系抽象為“求3個(gè)12的和是多少”這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷這樣的抽象，使這道算式不僅能夠解決例題中的實(shí)際問(wèn)題，還可以用來(lái)解決與例題具有相似數(shù)量關(guān)系但情境不同的實(shí)際問(wèn)題，這道算式本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。接著，讓學(xué)生用小棒來(lái)直觀表征算式12×3（如圖1），通過(guò)直觀表征能夠?qū)⒊橄蟮乃闶叫蜗蠡?、結(jié)構(gòu)化，從而為學(xué)生探尋算法模型做好準(zhǔn)備。算式的直觀表征方式有很多種，選用哪一種直觀模型要視教學(xué)內(nèi)容而定。如在探尋本課的算法時(shí)，選用整捆加單根的小棒來(lái)表征算式比較合理;而在探尋整數(shù)加法和減法的計(jì)算法則時(shí)，選擇用計(jì)數(shù)器來(lái)表征算式更為恰當(dāng);在探尋分?jǐn)?shù)加法和減法計(jì)算法則時(shí)，運(yùn)用單位面積的正方形或圓來(lái)表征算式更為貼切。

二、探尋算法，嘗試建模

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，在教學(xué)中要使學(xué)習(xí)者將新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立起實(shí)質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程也應(yīng)如此。學(xué)生在學(xué)習(xí)一種新的計(jì)算法則之前，或多或少地從生活中或以前的學(xué)習(xí)中獲得了一些相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為學(xué)生建立新的計(jì)算法則的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生依托已有經(jīng)驗(yàn)建立新的算法模型，或擴(kuò)充頭腦中的已有算法模型形成新的算法模型。只有讓計(jì)算法則從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出來(lái)，學(xué)生才能深刻理解計(jì)算法則，因此在教學(xué)計(jì)算法則之前，應(yīng)先讓學(xué)生自主探尋算法，讓他們嘗試建立自己的算法模型。

如上例，在將生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題并用小棒直觀表征算式后，可以先讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)自主探尋算法，探尋算法的過(guò)程就是一個(gè)自主建模的過(guò)程。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)會(huì)想出多種不同的算法，如圖2所示，有些學(xué)生會(huì)觀察小棒的排列方式或根據(jù)乘法的意義，想到用同數(shù)連加的方法計(jì)算;也有一部分學(xué)生會(huì)根據(jù)小棒中的數(shù)學(xué)信息，先將3個(gè)10相加，再將3個(gè)2相加，最后將兩次計(jì)算的結(jié)果合并;還有一部分學(xué)生會(huì)用三步口算來(lái)計(jì)算。這些算法都可以計(jì)算出12×3的結(jié)果，它們都是計(jì)算這道乘法算式的算法模型，并且與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，是學(xué)生理解通用的算法模型的基礎(chǔ)。

三、統(tǒng)一算法，建立模型

學(xué)生在自主探尋算法的過(guò)程中，由于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式的差異，會(huì)得到不同的算法，每一種算法都是一種模型，都與學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式緊密聯(lián)系，所以帶有明顯的個(gè)性特征，并且有其適用范圍和局限性。而通用的計(jì)算法則是能夠用于更大范圍的、約定俗成的算法模型，所以在學(xué)生建立了自己的算法模型后，需要引領(lǐng)學(xué)生在個(gè)性化的算法模型的基礎(chǔ)上建立并理解通用的算法模型。

上例中，學(xué)生自己建立的算法大部分依托的是已有經(jīng)驗(yàn)中的乘法的意義和口算乘法的計(jì)算方法，雖然每種算法都能計(jì)算例題中的這道算式，但隨著問(wèn)題的不斷加深，運(yùn)用這些算法計(jì)算會(huì)變得越來(lái)越困難，所以需要引領(lǐng)學(xué)生走向通用的、方便的筆算模型。對(duì)于筆算方法，教材中出示了兩種，一種是較為完整的初始豎式，另一種是簡(jiǎn)化的一般寫(xiě)法豎式（如圖3）。這兩種不同寫(xiě)法的豎式本質(zhì)上是一樣的，卻是不可缺少的。初始豎式與學(xué)生自主探尋出的各種算法模型聯(lián)系緊密，是學(xué)生理解一般寫(xiě)法豎式的基礎(chǔ)。一般寫(xiě)法豎式是初始豎式的簡(jiǎn)化、優(yōu)化，是人們普遍使用的算法。在教學(xué)中，應(yīng)先引領(lǐng)學(xué)生將自己的算法模型中的每一步計(jì)算與完整的初始豎式的每一步計(jì)算建立聯(lián)系，從而理解完整的初始豎式，再將完整的初始豎式簡(jiǎn)化成一般寫(xiě)法的豎式，從而讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一般的算法模型。

四、運(yùn)用算法，鞏固模型

應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程不僅能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，而且能夠讓學(xué)生感悟到建立數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。在獲得了一般的算法模型后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用同一算式解決不同的實(shí)際問(wèn)題，以及運(yùn)用一般算法計(jì)算不同算式的過(guò)程，不僅能夠幫助學(xué)生熟悉與鞏固算法，而且能夠讓學(xué)生感受到算式的通用性。

本課中的應(yīng)用可以分兩個(gè)層次進(jìn)行。第一層次，在學(xué)生獲得了12×3的計(jì)算結(jié)果后，可以讓學(xué)生思考這道乘法算式還可以解決哪些問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)思考感受到這道乘法算式除了能夠解決例題中的實(shí)際問(wèn)題，還能夠解決很多與之結(jié)構(gòu)相同的實(shí)際問(wèn)題，從而感受到算式是解決數(shù)量關(guān)系相似的實(shí)際問(wèn)題的一種模型，一個(gè)算式對(duì)應(yīng)著多種不同情境的實(shí)際問(wèn)題。第二層次，讓學(xué)生運(yùn)用12×3的計(jì)算方法計(jì)算31×3，2×42，學(xué)生在練習(xí)中感受到這種計(jì)算方法能夠計(jì)算此類算式，在獲得了這樣的認(rèn)識(shí)后，學(xué)生加強(qiáng)了對(duì)算法模型的理解，從而建立起兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算模型（如圖4）。

五、遷移算法，擴(kuò)充模型

數(shù)學(xué)模型雖然能夠解決問(wèn)題，但也有其局限性，一個(gè)模型只能在一定的范圍內(nèi)適用。當(dāng)遇到超出模型使用范圍的問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)擴(kuò)充模型使原有的模型能夠包容新的問(wèn)題，或調(diào)整原有模型以適應(yīng)新的問(wèn)題，或依據(jù)新的問(wèn)題建立新的模型。整數(shù)乘法計(jì)算法則的學(xué)習(xí)不是一次完成的，需要經(jīng)歷多個(gè)階段，每一階段建立的模型只能解決已學(xué)過(guò)的乘法計(jì)算，在以后的學(xué)習(xí)中還要依據(jù)算式的變化，不斷豐富算法模型，最終形成能夠用于所有整數(shù)乘法算式的筆算模型。

上例中，在學(xué)生掌握了兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）一般筆算方法后，可以讓學(xué)生嘗試計(jì)算123×3。在計(jì)算中，學(xué)生會(huì)自發(fā)地將兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算方法遷移到新的計(jì)算之中，并形成三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算模型。接著，讓學(xué)生依據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的三種乘法筆算模型（如圖5），歸納出多位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算模型。不僅如此，課的最后還可以讓學(xué)生嘗試計(jì)算12×5，因?yàn)檫@道算式個(gè)位上的計(jì)算發(fā)生了進(jìn)位，學(xué)生在運(yùn)用已有模型計(jì)算時(shí)遇到了新的問(wèn)題，所以需要調(diào)整已有的筆算模型以適應(yīng)新的變化，從而將乘法筆算模型擴(kuò)展到更大的范圍之中，形成更為一般的乘法筆算模型。

綜上所述，在計(jì)算教學(xué)中我們不僅要重視讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，而且要重視讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從中感悟模型思想，并運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題，從而讓學(xué)生體會(huì)到模型思想的價(jià)值。

（作者單位：江蘇省高郵實(shí)驗(yàn)小學(xué)東校區(qū)）

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