微積分思想的不變性

毛戰(zhàn)軍

【摘要】挖掘一元函數(shù)微積分思想與二元函數(shù)微積分思想的聯(lián)系.討論兩類微積分中函數(shù)、極限、微分、中值定理、洛必達(dá)法則、牛頓—萊布尼茨公式等思想的不變性.

【關(guān)鍵詞】一元函數(shù);二元函數(shù);思想;不變性

大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容中含有一元函數(shù)微積分學(xué)和多元函數(shù)微積分學(xué)，往往將其分置于教材的上、下兩冊(cè)中.在教學(xué)安排中，也往往將其分置于兩個(gè)學(xué)期.學(xué)生在學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》時(shí)，往往只能分別理解兩者的思想，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分時(shí)感到困難.在教與學(xué)中，可以演繹一元函數(shù)微積分和多元函數(shù)微積分思想的不變性，使一元函數(shù)微積分思想有推廣，多元函數(shù)微積分思想有銜接，把兩者形成一個(gè)有機(jī)的整體.

多元函數(shù)微積分學(xué)往往以二元函數(shù)為代表來介紹其基本內(nèi)容.這樣，工作就放在了去發(fā)掘從一元函數(shù)微積分到二元函數(shù)微積分思想的不變性.下面就談?wù)勔辉瘮?shù)微積分和二元函數(shù)微積分中幾個(gè)重要思想的聯(lián)系.

1.函數(shù)的定義

函數(shù)的定義在形式上不變.

二元函數(shù)u=f（x，y），x∈D的自變量從點(diǎn)P0（x，y）變到P（x+Δx，y+Δy）的增量為（Δx，Δy），類比于一元函數(shù)的表示，在《高等數(shù)學(xué)》中不方便處理.而類比于一元函數(shù)，二元函數(shù)的自變量從點(diǎn)P0（x，y）變化到P（x+Δx，y+Δy）的增量是易于量化的，就是當(dāng)自變量沿任意方向變化和沿坐標(biāo)軸方向變化時(shí)的增量表示，這樣就相應(yīng)地產(chǎn)生了二元函數(shù)的方向?qū)?shù)及偏導(dǎo)數(shù)思想.

4.函數(shù)的微分

函數(shù)的微分中局部線性化思想不變.

通過對(duì)函數(shù)的（全）增量的表示進(jìn)行解析，利用局部線性化的思想得到：一元函數(shù)的微分反映的是相應(yīng)切線上點(diǎn)變化的特點(diǎn);二元函數(shù)的（全）微分反映的是相應(yīng)切平面上點(diǎn)變化的特點(diǎn).

5.中值定理

圖1以拉格朗日微分中值定理為例，在坐標(biāo)面與非坐標(biāo)面上的量的關(guān)系不變.

在相應(yīng)的條件下，如圖1，一元函數(shù)的拉格朗日微分中值定理在幾何上可以這樣理解：在xOy面上，曲線弧AB上至少存在一點(diǎn)C，使得曲線弧AB在點(diǎn)C處的切線與弦AB平行.設(shè)曲線弧AB的方程為y=f（x），x∈[a，b]，則點(diǎn)A（a，f（a）），B（b，f（b）），向量AB=（b-a，f（b）-f（a）），曲線弧AB在點(diǎn)C處的切向量為

6.洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則在公式形式上不變.

7.泰勒公式

泰勒公式用多項(xiàng)式來近似表示函數(shù)的思想不變.

8.定積分、重積分、線面積分

定積分、重積分、線面積分的“和式的極限”思想不變.

9.積分變限函數(shù)的微分

積分變限函數(shù)的微分公式的形式不變.

10.積分中值定理

積分中值定理形式不變.

11.牛頓—萊布尼茨公式

牛頓—萊布尼茨公式化為原函數(shù)的增量的思想不變.

12.結(jié)束語

通過對(duì)一元函數(shù)微積分與二元函數(shù)微積分相關(guān)思想的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)：從一元函數(shù)微積分到二元函數(shù)微積分并不是另起爐灶的新思想，可以認(rèn)為是同一思想在不同條件下的結(jié)論.在教與學(xué)中，如果在思想上能夠?qū)λ鶎W(xué)內(nèi)容統(tǒng)一，那么可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)視野更寬廣，為學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課和向更高層次沖刺打下良好的基礎(chǔ).

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