探秘平面圖形中的幾個(gè)最小值

鞠峰

【摘要】新編人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）85頁(yè)，北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)（下冊(cè)）196頁(yè)“試一試”及浙教版八年級(jí)上冊(cè)50頁(yè)例2，都介紹了“最短路徑”問(wèn)題，又稱“將軍飲馬”問(wèn)題，而近幾年的中考試題中就經(jīng)常出現(xiàn)求“線段和的最小值”問(wèn)題.這類題型綜合性強(qiáng)、靈活性大，相當(dāng)一部分考生感到非常棘手，較易丟分.事實(shí)上，如果考生能抓住這類問(wèn)題的特征及解題方法，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題其實(shí)并非像想象的那么難.本文以2019年部分省市的中考題為例分類談?wù)勅绾吻蟆熬€段和的最小值”.

【關(guān)鍵詞】探秘;平面圖形;最小值

一、在三角形中求線段和的最小值

圖1例1 如圖1所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2，則EM+CM的最小值為.（運(yùn)城市）

分析 因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以由等邊三角形的對(duì)稱性知CM=BM，要求EM+CM的最小值，就是求EM+MB的最小值，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”知：當(dāng)點(diǎn)M在線段BE上時(shí)，BM+EM最小，從而“化折為直”為線段BE的長(zhǎng)度即可.

解 如圖1所示，因?yàn)镃M=BM，所以EM+CM=BM+EM.當(dāng)點(diǎn)M在BE上時(shí)，BM+ME=BE.過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F.因?yàn)锳E=2，AC=6，所以EC=4，在Rt△EFC中，因?yàn)椤螮CF=60°，所以∠FEC=30°.又因?yàn)镋C=4，所以FC=12EC=2.EF=EC2-FC2=42-22=23.因?yàn)锽C=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4.在Rt△BEF中，BE=BF2+EF2=42+（23）2=28=27.故填27.

二、在正方形中求線段和的最小值

圖2例2 如圖2所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+PF的最小值.（麗江市）

分析 正方形的對(duì)角線所在的直線是其對(duì)稱軸，因此本題可作出點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，根據(jù)對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，問(wèn)題即可解決.

解 如圖2所示，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)E′必在AD上，連接E′F交AC于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為滿足題設(shè)的點(diǎn)P.通過(guò)“化折為直”，此時(shí)PE+PF的最小值恰好為線段E′F的長(zhǎng)，故作E′G⊥BC于點(diǎn)G，則E′G=AB=8，F(xiàn)G=8-3-1=4，由勾股定理求得E′F=82+42=45，即PE+PF的最小值為45.

三、在圓中求線段和的最小值

圖3如圖3，已知BC=6 cm，以BC為直徑作⊙O，D是半圓BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，E是半圓BC的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，EP，則DP+EP的最小值是cm.（西寧市）

分析 圓的直徑所在的直線即為圓的對(duì)稱軸，因此本題可作出E點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，再依據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)求出最小值.

解 如圖3，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，故EP=E′P，且點(diǎn)E′在圓上，故線段DE′的長(zhǎng)即為DP+EP的最小值，在這里，弧EC的度數(shù)為30°，則弧E′C的度數(shù)也為30°，弧DE′的度數(shù)為90°，故圓心角∠DOE′=90°.從而可得△DOE′為等腰直角三角形，即DE′=2OD=32，因此DP+EP的最小值是32 cm.

四、在等腰梯形中求線段和的最小值

圖4例4 如圖4，已知四邊形ABCD中，BD=4，直線MN為四邊形ABCD的對(duì)稱軸，P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值.（錦州市）

分析 由于MN為四邊形ABCD的對(duì)稱軸，故連接對(duì)角線AC或BD均交于MN上，即交于P點(diǎn)，因此PA=PD，從而可知PC+PD的最小值即為線段AC之長(zhǎng)，也為BD之長(zhǎng).實(shí)現(xiàn)了折線PC+PD轉(zhuǎn)化為線段AC或BD的變化.

解 如圖4，連接AC，交MN于P，再連接PD，則PD=PA，則PC+PD=PC+PA.易知BD=AC，所以（PC+PD）min=BD=4.

五、在角中求線段和的最小值

圖5例5 如圖5，已知∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.（棗莊市）

分析 點(diǎn)P是角內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，要在角的兩邊各確定一點(diǎn)使三點(diǎn)連成的三角形周長(zhǎng)最小，只需將這三邊的和轉(zhuǎn)化為以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的一條線段，求出線段長(zhǎng)度即可.

解 分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2，易知RP=RP2，QP=QP1.OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而PR+RQ+QP=RP2+RQ+QP1=P1P2，從而實(shí)現(xiàn)了化三線段之和為直線段P1P2的長(zhǎng).因此P1P2=OP21+OP22=102+102=102，這就是△PQR周長(zhǎng)的最小值.

六、在直角坐標(biāo)系中求線段和的最小值

圖6例6 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B（6，4），點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D（6，2），P（2，4）.點(diǎn)N為線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)M為線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PM+MN+ND的最小值.（洛陽(yáng)市）

分析 要求線段PM+MN+ND的最小值，只要作出P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，作出D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，使MN在P′D′上即可.

解 如圖6所示，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，此時(shí)由軸對(duì)稱性知MP′=MP，ND=ND′，連接P′D′，分別交y軸、x軸于M，N兩點(diǎn)，此時(shí)線段PM+MN+ND的最小值=MP′+MN+ND′=線段P′D′的長(zhǎng)度，∴在Rt△P′BD′中，P′D′=BP′2+BD′2=82+62=10，因此線段PM+MN+ND的最小值為10.

七、在菱形中求線段和的最小值

圖7例7 在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，

P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是.（赤峰市）

分析 如圖7，在菱形ABCD中，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，設(shè)DE交AC于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′時(shí)，PE+PB的最小值就是線段DE的長(zhǎng)，用勾股定理可求出DE的長(zhǎng).

解 因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，AD=AB，∠BAD=60°，

所以△ABD是等邊三角形，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，

所以∠DEA=90°，AE=12AB=1，

所以DE=AD2-AE2=

22-12=3，

所以PE+PB的最小值是3.

八、在矩形中求線段和的最小值

圖8例8 如圖8，矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，

若在AC，AB上各取一點(diǎn)M，N，使得MB+MN的值最小，求這個(gè)最小值.（湖州市）

分析 要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法將折線“拉直”，于是從作出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)入手.

解 如圖8，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交DC于P，則點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為AB′上的N′點(diǎn)，這時(shí)BM+MN的最小值等于BM+MN′的最小值，顯然等于B到AB′的距離BH.連接BP，則S△ABP=12×20×10=100（cm2），設(shè)AP=x，則PC=x，DP=20-x.由x2=102+（20-x）2，解得x=12.5.

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于H.

∵S△ABP=12·AP·BH=100，∴BH=100×212.5=16（cm）.∴BM+MN的最小值為16 cm.

綜上所述，求線段和的最小值問(wèn)題，用得較多的依據(jù)是“軸對(duì)稱性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)”，有時(shí)還可依據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所連線段中垂線段最短”求解.

附練習(xí)題

圖91.如圖9，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC=120°，E是AB的中點(diǎn)，當(dāng)F在對(duì)角線AC上時(shí)，F(xiàn)E+FB的最小值是.（宿遷市）

（提示：根據(jù)菱形的性質(zhì)，可知B，D兩點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接DE交AC于點(diǎn)F，則FE+FB=FE+FD=DE.因?yàn)椤螦BC=120°，所以∠DAB=∠ABD=60°，所以△ABD是正三角形，不難求出DE=33，即FE+FB的最小值是33.）

圖102.如圖10，已知點(diǎn)A是半圓MN上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則PA+PB的最小值是 .（北海市）

（提示：作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性可知A′在⊙O上.連接A′B交MN于點(diǎn)P.不難求出弧A′B的度數(shù)等于90°.在Rt△A′OB中，OB=OA′=1，所以A′B=2，即PA+PB的最小值是2.）

圖113.已知點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，請(qǐng)分別在OM，ON上確定點(diǎn)B、點(diǎn)C，使△ABC的周長(zhǎng)最小.如圖11，若∠MON=30°，OA=8，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值是.（溫州市）

（提示：仿例5解，△ABC的周長(zhǎng)的最小值是8.）

圖124.如圖12，BC=6，以BC為邊作△ABC，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，且BC邊上的高為4，BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得△PDE周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出△PDE周長(zhǎng)的最小值.（信陽(yáng)市）

（提示：作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，求出DE′=5，即可求出△PDE周長(zhǎng)的最小值.）

圖135.如圖13，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N，O，P分別在邊AB，BC，CD，DA上.如果AM=BM，DP=3AP，求MN+NO+OP的最小值.（泉州市）

（提示：作點(diǎn)P關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)P′，作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，P′M′分別交BC，CD于點(diǎn)N，O，則MN+NO+OP的最小值=P′M′=1+342+1+122=854.）

【參考文獻(xiàn)】

[1]于志洪.用拋物線軸對(duì)稱性求線段和的最小值[J].初中生天地，2017（7）：90-93.

[2]于志洪.應(yīng)用軸對(duì)稱變換求線段和的最小值[J].現(xiàn)代中學(xué)生，2019（4）：16-18.

[3]胡錦秀.智用軸對(duì)稱巧求最小值[M].初中數(shù)學(xué)一點(diǎn)通，2016（2）：12-14.