為直觀想象插上“翅膀”

夏菁

【摘要】在信息技術(shù)與學(xué)科融合的背景下，利用GeoGebra可解決一次函數(shù)教學(xué)中的幾大難點(diǎn).教師可以設(shè)置一系列探究活動(dòng)和問題交流引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐、觀察、分析、談?wù)?、猜測(cè)和驗(yàn)證，讓學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)動(dòng)態(tài)探究過程，感受函數(shù)圖像探究的一般路徑.

整個(gè)過程中，始終貫穿“由數(shù)想形”和“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以利用GeoGebra將本來較為復(fù)雜的 k，b 與函數(shù)圖像的關(guān)系問題直觀化，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的理解.數(shù)學(xué)需要直觀，但是直觀不是說出來的，而是需要切實(shí)看到的，利用信息技術(shù)幫助學(xué)生“看到”數(shù)學(xué)是值得教師思考與研究的.

【關(guān)鍵詞】GeoGebra;直觀想象;一次函數(shù)的圖像;信息技術(shù)

隨著科技的進(jìn)步，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用屢見不鮮.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生愿意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去.函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，也是初中的一大重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容.“一次函數(shù)的圖像”是學(xué)生初中學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的起點(diǎn)，也是學(xué)生第一次接觸函數(shù)圖像，更是數(shù)形結(jié)合的解析幾何的啟蒙章節(jié)，學(xué)好這一章對(duì)于學(xué)生接下來對(duì)函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)至關(guān)重要.如何有效、直觀地呈現(xiàn)初中第一個(gè)函數(shù)——一次函數(shù)，就顯得尤為重要.直觀想象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，其有效形成可以適當(dāng)借助信息技術(shù)手段來實(shí)現(xiàn).GeoGebra是近幾年世界范圍內(nèi)較為主流的軟件，尤其是在函數(shù)的探索上更能凸顯其優(yōu)勢(shì).本文就以“一次函數(shù)的圖像”的探索片段為例，談?wù)凣eoGebra在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于學(xué)生知識(shí)理解的推進(jìn)作用.

一、 數(shù)據(jù)分析，巧說誤差

燃香“識(shí)”變化，將等距的六炷香擺放在同一直線上，每隔相同的時(shí)間，熄滅一炷香，測(cè)量香的高度，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表格中.分析實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生尋找香燃燒的時(shí)間與燃燒的高度之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系.

傳統(tǒng)教學(xué)中，教師常常在這一步描出幾個(gè)點(diǎn)，就得出“一次函數(shù)圖像是一條直線”的結(jié)論，而對(duì)于實(shí)驗(yàn)中學(xué)生收集數(shù)據(jù)中的誤差往往不在意，因此失去了教學(xué)時(shí)機(jī).

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)據(jù)以表格的形式整理出來，經(jīng)歷函數(shù)作圖的第一步：列表.

打開GeoGebra，讓學(xué)生以時(shí)間與對(duì)應(yīng)高度的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出來，經(jīng)歷函數(shù)作圖的第二步：描點(diǎn).

觀察這些點(diǎn)的特征，借用讀數(shù)的誤差，讓學(xué)生切身感受函數(shù)圖像的生成過程，明確誤差的形成原因以及如何處理誤差，進(jìn)一步提示一次函數(shù)的圖像特征.

設(shè)計(jì)意圖：分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)抽象成點(diǎn)的坐標(biāo)，感受圖像是刻畫實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.這既有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，又通過“由數(shù)想形”和“以形助數(shù)”的轉(zhuǎn)換讓學(xué)生感知“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

二、眼見為實(shí)，突破無限

設(shè)計(jì)三個(gè)探究活動(dòng)：一是自由探究，由學(xué)生自主作圖;二是實(shí)驗(yàn)探究，通過GeoGebra認(rèn)知一次函數(shù)的圖像;三是深度探究，從特殊到一般，抽象出一般規(guī)律.其中實(shí)驗(yàn)探究是本節(jié)課的重點(diǎn)，教師可借助GeoGebra讓學(xué)生精準(zhǔn)感受一次函數(shù)圖像的生成.

猜想：教師通過描點(diǎn)的過程，引導(dǎo)學(xué)生猜想一次函數(shù)的圖像特征.

活動(dòng)一：自由探究，小組合作

以小組為單位，從情境問題出發(fā)，回答問題：這五個(gè)點(diǎn)在一條直線上，通過這五個(gè)點(diǎn)就能斷定圖像一定是直線嗎？

負(fù)數(shù)的選取是否應(yīng)該考慮？在取值時(shí)應(yīng)該注意什么？

一次函數(shù)的圖像大致形狀是什么？

活動(dòng)二：實(shí)驗(yàn)探究，認(rèn)知圖像

引導(dǎo)學(xué)生思考一次函數(shù)圖像，并通過增加選取點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限接近一次函數(shù)的真實(shí)圖像，

將點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)置成一個(gè)變量 a，使橫坐標(biāo)變化后，縱坐標(biāo)也隨之變化.通過GeoGebra繪制點(diǎn) P（a，2a+1）追蹤點(diǎn)的軌跡，生成一串點(diǎn)列，通過觀察點(diǎn) P 的路徑，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想.

三、尋找關(guān)聯(lián)，深入探究

1.實(shí)例驗(yàn)證

使用GeoGebra，由學(xué)生舉例繪制任意一次函數(shù)的圖像，如y=3x+2的圖像，小組合作探究，通過多次不同的舉例，進(jìn)一步驗(yàn)證一次函數(shù)的圖像是一條直線.

2.從特殊到一般

在GeoGebra中，設(shè)定變量k，繪制函數(shù)y=kx+1的圖像.觀察函數(shù)y=kx+1的圖像的變化;設(shè)定變量b，觀察函數(shù)y=2x+b的圖像的變化.

3.總結(jié)歸納

繪制函數(shù)y=kx+b的圖像，設(shè)置參數(shù)k，b，通過滑動(dòng)條的控制，變化k與b的值，觀察函數(shù)y=kx+b圖像的變化，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié).

結(jié)論：一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條直線.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生充分理解一次函數(shù)的圖像特征，解釋一次函數(shù)為什么是一條直線.利用GeoGebra的輔助功能，巧妙地設(shè)置了三個(gè)操作流程，在一連串的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一次函

數(shù)的圖像是一條直線的認(rèn)知順利生成.

四、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，突破抽象

通過初步探究和引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖像位置會(huì)隨著k，b的變化而變化，那么一次函數(shù)圖像的位置與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？傳統(tǒng)教學(xué)通常采用特殊值法，即給k，b賦不同的值，通過畫圖進(jìn)行對(duì)比.整個(gè)探究過程是一種靜態(tài)的對(duì)比，缺少k，b由正到負(fù)、由大到小的變化過程，對(duì)于初學(xué)函數(shù)的學(xué)生來說缺乏直觀感，很難引發(fā)其思考.采用GeoGebra可以呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化過程，化抽象為形象，將一次函數(shù)圖像隨k，b的變化而變化的過程具象化，加深學(xué)生的理解.

如圖所示，可以在GeoGebra中設(shè)定變量k，b.在研究k的變化時(shí)，保持滑動(dòng)條b不動(dòng)，只拖動(dòng)滑動(dòng)條k，觀察圖像的位置變化，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比k值大小、正負(fù)、零值對(duì)函數(shù)圖像的影響，并總結(jié)結(jié)論;同樣，研究b的變化時(shí)，保持滑動(dòng)條k不動(dòng)，只拖動(dòng)滑動(dòng)條b，觀察圖像的位置變化，總結(jié)b值大小、正負(fù)、零值對(duì)函數(shù)圖像的影響.

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)態(tài)演示，采用變量控制法，逐步探究k，b對(duì)圖像位置的影響.演示過程中可清晰觀察到函數(shù)圖像隨著k，b值的變化而變化的規(guī)律，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、直觀化.在動(dòng)態(tài)演示中學(xué)生很容易總結(jié)出規(guī)律，這對(duì)于進(jìn)一步的探究有積極作用，也有利于學(xué)生深度思維的培養(yǎng).

五、巧用技術(shù)，防止極端

通過設(shè)置一系列探究活動(dòng)和問題交流引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐、觀察、分析、談?wù)?、猜測(cè)和驗(yàn)證，讓學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)動(dòng)態(tài)探究過程，感受函數(shù)圖像探究的一般方法.整個(gè)過程，始終貫穿“由數(shù)想形”和“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想，利用GeoGebra將原本較為復(fù)雜的k，b與函數(shù)圖像的關(guān)系問題直觀化，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的理解.

直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的.只有積累足夠的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能有助于接下來的深入學(xué)習(xí).善于并恰當(dāng)?shù)乩眯畔⒓夹g(shù)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通道是現(xiàn)代教師需要思考的重要問題.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的“深度融合”，除了將信息技術(shù)視為教學(xué)的核心要素并經(jīng)常使用外，還要關(guān)注師生信息技術(shù)使用的層次，即針對(duì)不同課程內(nèi)容、學(xué)生個(gè)體特點(diǎn)，創(chuàng)新信息技術(shù)使用方法和策略.

信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用是需要反復(fù)研究的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)乩眯畔⒓夹g(shù)可以提高課堂效率，不恰當(dāng)?shù)乩没蛘邽E用則會(huì)適得其反.

1.生搬硬套

利用粉筆黑板進(jìn)行教學(xué)已經(jīng)延續(xù)幾十年，必有其適用性與實(shí)用性，一些代數(shù)內(nèi)容利用傳統(tǒng)教學(xué)形式反而可以更細(xì)致地進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的講授.所以在運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué)時(shí)，一定要注意其適用性，不能生搬硬套，為了呈現(xiàn)技術(shù)而忽視教學(xué)內(nèi)容，為了“炫技”而教學(xué)是不可取的.

2.直觀濫用

幾何教學(xué)和部分函數(shù)教學(xué)中，通過幾何畫板和GeoGebra可以更直觀地呈現(xiàn)出圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換過程，以及函數(shù)的形成、平移等過程，學(xué)生可以一目了然地了解其變化過程.值得注意的是，在教師“點(diǎn)擊”之下，動(dòng)態(tài)過程直接生成，學(xué)生的思維一下子得到了滿足，求知的欲望也一瞬間消弭于無，缺少了獨(dú)立思考的過程，而給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行思考，正是直觀想象形成的過程，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的良好契機(jī)，由此可見，數(shù)學(xué)的“腳手架”應(yīng)該適當(dāng)搭設(shè)，搭得多了，學(xué)生反而會(huì)失去前進(jìn)的動(dòng)力.

【參考文獻(xiàn)】

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