問題引領(lǐng)，在變式中學(xué)習(xí)幾何模型

馬園園

【摘要】在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何圖形的學(xué)習(xí)是非常重要的.它可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力和論證能力.然而，幾何嚴(yán)密的邏輯性使不少學(xué)生感到很難學(xué).結(jié)合學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時遇到的問題，本文探討了如何在變式中進行解題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進行思維的發(fā)散和收斂，通過思維可視化解決幾何書寫的難題.

【關(guān)鍵詞】幾何圖形教學(xué);思維多樣;思維可視化

一、問題提出

初一學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面圖形的認識”時，接觸到了分類、轉(zhuǎn)化、類比、歸納等常見的數(shù)學(xué)思想方法.在教授章節(jié)復(fù)習(xí)課時，為了讓學(xué)生回顧、思考本章所學(xué)的知識及思想方法，我設(shè)計了這樣一道例題：

已知下列三幅圖中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關(guān)系.

我的教學(xué)預(yù)設(shè)是：期望學(xué)生在研究圖1時利用“轉(zhuǎn)化”思想，然后模仿圖1的輔助線作法，在圖2、圖3中“過點E作輔助線MN，使MN ∥AB”，從而解決問題.但在實際課堂教學(xué)中，學(xué)生的思維觸角延伸到了多個方向，運用多種方法解決了問題，這一過程促使我對幾何教學(xué)進行了反思.

二、教學(xué)片段回顧

1.多種解法，順勢追問

已知下列三幅圖中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關(guān)系.

生1：如圖1，過點E作輔助線MN，使得MN ∥AB，進而得到∠A=∠AEM，∠C=∠MEC.∠AEC=∠AEM +∠MEC=∠A+∠C.

師：∠A和∠C可看成什么？它們怎樣和∠AEC產(chǎn)生聯(lián)系？

生1：∠A和∠C可看成∠AEM和∠MEC的內(nèi)錯角，通過內(nèi)錯角相等，得到∠A、∠C和∠AEC的關(guān)系.

生2：如圖4，連接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°.又∵∠2+∠3+∠E=180°，∴∠1+∠4=∠E.

師：∠A和∠C可看成什么？它們怎樣和∠AEC產(chǎn)生聯(lián)系？

生2：∠A和∠C可分別看成同旁內(nèi)角的一部分，通過三角形的內(nèi)角和等于180°，得到∠A、∠C和∠AEC的關(guān)系.

生3：如圖5，延長AE交CD于點F.∵AB∥CD，∴∠A=∠AFC，∴∠AEC=∠C +∠AFC=∠C +∠A.

師：比較一下，這幾種解法你更喜歡哪一種？這三種解法有什么聯(lián)系？

生4：這幾種解法都是把要研究的角集中在一起.

師：我們通過平行線的性質(zhì)將三個目標(biāo)角集中在同一個頂點或同一個三角形內(nèi)，化分散為集中，從而解決問題.

2.預(yù)設(shè)之外，尋找聯(lián)系

已知圖2中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關(guān)系.

生1：如圖6，∵AB∥CD，∴∠1=∠A.∵∠1=∠C +∠E，∴∠A=∠C +∠E.

師：除了用三角形外角的性質(zhì)，有沒有其他解答方法？回顧圖1，我們通過構(gòu)造平行線將∠E轉(zhuǎn)化為∠A+∠C，你能用這種解法解決圖2的問題嗎？

生2：如圖7，過點E作AB∥MN，得到∠AEM=∠A.易證CD∥MN，得到∠C=∠CEM.∠A=∠AEM=∠AEC +∠CEM=∠AEC +∠C.

師：圖2和圖1的區(qū)別在于點E的位置不同，但是解題思路是相似的，所以我們在平時解決一類問題時要注意尋找問題之間的聯(lián)系和方法的遷移.

3.模型應(yīng)用，解決問題

已知圖3中，AB∥CD，探索∠A、∠C和∠E之間的數(shù)量關(guān)系.

大多數(shù)學(xué)生非常順利地解決了圖3的問題.課堂測試顯示，全班41人中約30人采用了“過點E作輔助線”.我詢問學(xué)生是否有不同解法.幾名學(xué)生受張同學(xué)解決圖1思路的啟發(fā)，利用三角形內(nèi)角和定理或多邊形內(nèi)角和定理解決了圖3的問題，輔助線作法如下：

我正準(zhǔn)備做小結(jié)，孫同學(xué)非常激動地舉手：“老師，我和他們的方法都不一樣，我能把圖3變成圖1！”我和其他學(xué)生在那一瞬間都愣住了.孫同學(xué)走向黑板，在圖3上延長BA、DC，并在圖3上畫了一個圓，如圖10所示：

孫同學(xué)說：“我圈出來的部分向右翻折就變成了圖1，所以可以直接用圖1的結(jié)論∠E=∠1+∠2，又因為∠1=180°-∠BAE，∠2=180°-∠ECD，所以得到∠E=360°-∠BAE-∠ECD.”我和其他同學(xué)恍然大悟，無不稱妙！孫同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常不錯，能運用模型思想.我點評：“孫同學(xué)在圖3中分離出了圖1的模型，然后直接運用圖1的結(jié)論，這就是模型思想.”

4.總結(jié)策略、落實書寫

師：這三道題我們都構(gòu)造了輔助線來解決問題，你能總結(jié)一下有哪些構(gòu)造輔助線的方法嗎？

生1：作已知直線的平行線和連接線段.

生2：還有延長線段.

師：我們借助思維導(dǎo)圖來梳理一下思路，以第二題為例.

教師板書：

學(xué)生根據(jù)圖11寫出解題過程.

師：思維導(dǎo)圖對你寫解題過程有什么幫助？

生3：思路更清晰，思維導(dǎo)圖很直觀.

師：思維導(dǎo)圖非常直觀，讓思維可視化.

三、幾何解題教學(xué)中的思考與實踐

1.應(yīng)多設(shè)計變式題組

在設(shè)計例題時，若多以題組的方式呈現(xiàn)，或設(shè)計幾個有關(guān)聯(lián)的幾個小題，或設(shè)計條件發(fā)生變化的幾個小題，或設(shè)計解題方法類似的幾個小題，則能給學(xué)生“整體”的感覺.教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生前后聯(lián)系，類比解題方法.

教師應(yīng)鼓勵學(xué)生敢于聯(lián)想，一題多解.在研究圖1時，給出的輔助線使學(xué)生思考的路徑變得單一，不利于學(xué)生發(fā)散思維.張同學(xué)這樣的學(xué)生是少見的，他能放著現(xiàn)成的提示不用，堅持不同的解法.在研究圖3時，一些學(xué)生的思維已經(jīng)活化，解題方法多樣.

2.應(yīng)多總結(jié)基本模型

在做題中積累經(jīng)驗，總結(jié)一類題的解題方法，注重基本模型的提取.孫同學(xué)在解決圖3時分離出圖1的模型的做法體現(xiàn)了較高的思維品質(zhì)，教師在教學(xué)中應(yīng)強化學(xué)生應(yīng)用模型的能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

3.應(yīng)接納思維的差異性和多樣性

在幾何解題教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生怎么想、為什么這樣想、怎樣才能想到.從條件到結(jié)論，思考途徑的產(chǎn)生和優(yōu)化是幾何解題教學(xué)的價值所在.教師應(yīng)該在實際學(xué)情的基礎(chǔ)上及時調(diào)整預(yù)設(shè)目標(biāo)，接納學(xué)生的不同思維成果，引導(dǎo)學(xué)生比較解法和尋找最優(yōu)解法，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷發(fā)散和收斂的過程.教師的預(yù)設(shè)絕不能強加給學(xué)生，教師也不能替代學(xué)生思考.

4.應(yīng)該借助思維導(dǎo)圖讓思維可視化

解決數(shù)學(xué)問題的一般步驟是：整理條件、制訂計劃、執(zhí)行計劃、回顧反饋.教師可引導(dǎo)學(xué)生梳理條件，然后考慮從每個條件出發(fā)可以得到什么新結(jié)論，條件組合后可以得到什么新結(jié)論，這些新結(jié)論和目標(biāo)結(jié)論之間有什么關(guān)系，怎樣構(gòu)建與目標(biāo)的關(guān)系等.

從條件出發(fā)，從已知到可知，由未知找需知，不斷在已知和未知之間尋找聯(lián)系.思維導(dǎo)圖體現(xiàn)了思維的發(fā)散和收斂.先打開思維，從一到多;再收斂思維，從多到一.

學(xué)生在可視化的思維導(dǎo)圖的幫助下形成書寫邏輯，讓思路更加清晰有序.在長期訓(xùn)練下，學(xué)生的幾何解題思路逐漸清晰，并且學(xué)生在發(fā)散和收斂思維的過程中自覺優(yōu)化解題思路.

基于上述反思，課后我設(shè)計了這樣的題目：

（1）如圖12，在△ABC中，如果BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，易知∠A與∠BPC的數(shù)量關(guān)系是∠BPC=90°+12∠A.

（2）請利用（1）中的結(jié)論解決以下問題：

如圖13，在△ABC中，如果BE平分∠ABC，那么CE平分△ABC的外角∠ACD.探索∠A與∠E的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【參考文獻】

[1]金盼.變式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（14）：15-16.