基于EMD和SVM的鐵路客運量分析研究

張 鵬，張海燕

（太原工業(yè)學院理學系，山西太原 030008）

人們生活水平的提高使得火車、高鐵等出行工具的受眾范圍越來越廣。對鐵路客運量的預測也顯得尤為重要。鐵路客運量的預測能夠讓鐵路部門更好地統(tǒng)籌規(guī)劃，也能讓其他行業(yè)提前對出行高峰做出準備。很多國內外的學者用各種方式對鐵路客運量進行了預測，例如BP 神經網絡、支持向量機、灰色線性回歸、新型組合模型等[1]。將基于“先分解后集成”的思想[2]，采用EMD 和SVM 結合的預測方法來對鐵路客運量進行分析研究。

1 原理介紹

1.1 經驗模態(tài)分解

在實際中很多時間序列都不具有穩(wěn)定性，僅使用支持向量機進行回歸和預測，精度往往不如人意。將引入經驗模態(tài)分解來提高精度，EMD 模型是可以把復雜信號拆成有限的IMF 分量和余項[3-5]。EMD 分解要滿足兩個假設：首先，信號要有極大和極小值；其次，數(shù)據(jù)局部時域特性由極值點間時間尺度唯一確定。步驟如下：

（1）識別出信號x(t) 全部的極大值點和極小值點；

（2）使用3 次樣條曲線對信號x(t) 的極值點的做擬合，得到x(t)的上下包絡線esup(x)、einf(x)，其中，有如下的關系式：

（3）計算上包絡線esup(x)和下包絡線einf(x)的平均值a(t)，其中，

（4）用信號x(t)減去平均值a(t)可以得到一個新的函數(shù)y(t)，其中，

（5）判斷y(t)是不是IMF 分量，依據(jù)是IMF 的兩個特點，如果y(t)滿足IMF 的兩個特點，就可以記y(t)是信號的一個IMF分量w1(t)；

（6）假如y(t)不滿足IMF 的兩個特點，就要用新的y(t)；

（7）重復上述步驟直到y(tǒng)(t)滿足了IMF 的特點，記y(t)是x(t)的一個分量w1(t)；

（8）根據(jù)上述步驟每得到的一階IMF，從x(t)中減去它，得到一個新的函數(shù)b1(t)，

（9）將新得到的b1(t)作為新的x(t)，重復上述步驟，得到其余IMF 分量w1(t)，直到rn(t)比預定值小或者成為了單調的函數(shù)，就停止分解，記最后的bn(t)為殘余分量。

經過上述的EMD 分解方法，就將原始信號x(t)分解成了n個IMF分量和殘余分量的線性疊加，即

1.2 支持向量機

支持向量機是在深度學習被提出來前表現(xiàn)較好的機器學習算法。SVM[6-8]的基本思想是：用內積函數(shù)定義非線性變換，將輸入空間從低維變到高維空間中，使樣本線性可分。

{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),L,(xn,yn)}作為一個訓練集，其SVM估計為：

在公式（6）中，＜·＞代表的是w和φ(x)的內積的運算，φ(x)代表的從輸入空間為高維特征空間的非線性映射，w表示的是權系數(shù)向量，c是一個常數(shù)。其正確性的衡量采用的是損失函數(shù)，在SVM 模型的回歸中，采用的是不敏感損失函數(shù)，公式如下：

w和c的確定的依據(jù)是風險最小化原則，它的優(yōu)化公式如公式（8），其中C表示的是懲罰因子，

為了能夠找到這兩個系數(shù)，還需要引入兩個松弛變量——ξi、ξj，優(yōu)化公式為：

依據(jù)拉格朗日方法，求到w的鞍點，其中，αi，是拉格朗日乘子：

將式（10）代入式（6）中，可以得到（11），其中k(xi,x)稱為是核函數(shù)，

優(yōu)化（9）式的，可以將它轉化成為對偶問題。利用對偶定理，得到如下的對偶式：

依據(jù)KKT條件，可以求出αi，，期間會有部分αi，的值不等于零，其對應的樣本，稱為支持向量。

2 實例分析

2.1 數(shù)據(jù)及模型評價標準

數(shù)據(jù)選自國家統(tǒng)計局2011年10月到2020年1月的鐵路客運量。具體的鐵路的客運量數(shù)據(jù)如表1 所示，鑒于數(shù)據(jù)過多，這里只展示部分。

表1 鐵路客運量當期值

將使用平均絕對百分誤差（MAPE）和相對誤差（Pe）來衡量所建立的模型的回歸和預測能力，當MAPE 小于5%，測試集的Pe大部分小于10%，則認為建立的模型達到了精度要求。其中：

2.2 經驗模態(tài)分解

對上述的鐵路客運量數(shù)據(jù)進行經驗模態(tài)分解，將其分解成了3 個IMF 分量和一個剩余分量。使用matlabR2016a進行分解，結果如圖1所示。

圖1 鐵路客運量樣本數(shù)據(jù)及EMD分解結果

從圖1中可以看到，鐵路客運量數(shù)據(jù)被分解成立三個IMF分量以及一個殘余分量，分解得到的模塊具有一定的規(guī)律性且是平穩(wěn)的時間序列。

2.3 數(shù)據(jù)預處理

把樣本數(shù)據(jù)歸一化處理，可以使模型以更快速度求得最為優(yōu)異的結果。采用的映射如下：

運用上述公式分別對EMD 得到的三個IMF 分量和剩余分量進行歸一化處理。為了方便敘述，把100個樣本按時間賦予一個編號t，歸一化后數(shù)據(jù)如表2所示。由于數(shù)據(jù)過多，僅展示部分數(shù)據(jù)。

表2 EMD分解結果

在使用SVM進行回歸預測時，需要把100個樣本區(qū)分為訓練集和測試集，利用訓練集來進行模型訓練，利用測試集來檢驗模型預測的精度。由于數(shù)據(jù)是時間序列，所以將前70個月份的數(shù)據(jù)作為訓練集，后30個月的數(shù)據(jù)作為測試集。

2.4 參數(shù)尋優(yōu)

使用GA 來尋找SVM 中參數(shù)的最優(yōu)值，初始化參數(shù)最大額進化代數(shù)為200，種群最大數(shù)量為20。先設置參數(shù)的變動范圍，分別對使用EMD 分解得到的三個IMF 分量和一個剩余分量的參數(shù)使用GA 遺傳算法進行參數(shù)的尋優(yōu)[9-11]。輸入為滯后3 個月份的分量值，標簽為當月的分量值。運行遺傳算法，得到各分量的最優(yōu)參數(shù)如表3所示。

表3 最優(yōu)參數(shù)

2.5 分量的回歸與預測

分量的回歸與預測使用的是RBF 核函數(shù)，使用matlabR2016a進行回歸與預測。基本的思想是：對各個分量進行單獨的回歸與預測，將訓練集中滯后3個月份的分量值的歸一化后的數(shù)據(jù)作為輸入，將訓練集中當月的鐵路客運量的歸一化數(shù)值作為輸出，對模型進行足夠的訓練，得到各個分量的分量值與鐵路客運量之間的歸一化數(shù)據(jù)的非線性映射。各個分量的回歸結果和預測結果如圖2～5所示。

圖2 分量IMF1的回歸及預測結果

圖3 分量IMF2的回歸及預測結果

圖4 分量IMF3的回歸及預測結果

圖5 分量RES的回歸及預測結果

圖2～5 分別為EMD 分解得到的3 個IMF 分量和剩余分量的回歸及預測結果，其中實線代表的是原始數(shù)據(jù)，圓點代表模型的回歸結果，星號代表模型的預測結果，可以看到，第1 個分量和第2 個分量的回歸及預測結果比較理想，第3個分量及剩余分量的回歸及預測結果非常理想。

2.6 還原區(qū)間及分量疊加

將得到的歸一化后的模型的回歸結果和預測結果還原區(qū)間，得到鐵路客運量的各分量的回歸結果和預測結果。還原區(qū)間的公式如下：

由于EMD 分解的各分量有如下關系，其中wi(t)為分解得到的各個平穩(wěn)分量，bn(t)為余項。

故將各分量同時刻的回歸值疊加，就可以得到鐵路客運量的回歸值。疊加得到的鐵路客運量的回歸及預測結果如圖6所示。

圖6 鐵路客運量的回歸及預測結果

在圖6 中可以看到，雖然個別值的誤差較大，但總體上回歸及預測效果不錯。

2.7 誤差分析

先使用建立的模型看其在訓練集上的回歸效果，計算出每個樣本的相對誤差以及整體的平均絕對百分誤差，檢驗模型的回歸情況，計算其MAPE 為0.54%，觀察到這67 個樣本Pe的大部分都小于10%，對于訓練集，模型的回歸效果達到了預期的精度。

再使用建立的模型看其在測試集上的預測效果，計算出每個樣本的相對誤差以及整體的平均絕對百分誤差，檢驗模型的回歸情況，結果如表4所示。

表4 測試集數(shù)據(jù)預測值及相對誤差

計算其平均絕對百分誤差（MAPE）為0.64%，觀察到這27 個樣本的絕對誤差大部分都小于10%，對于測試集，模型的預測也效果達到了預期的精度。

3 結語

對使用EMD 和SVM 對鐵路客運量進行了分析研究，由于鐵路客運量數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性，所以先對鐵路客運量進行了EMD 分解，分解得到3 個IMF 及一個余項；之后采用SVM 對每一個分量進行回歸和預估分析，繼而把同時間點的結果進行累加合計，便可完成整個模型的構建過程?？梢钥吹?，使用EMD和SVM 組合預測的方法雖然個別值有所差別，但總體預測效果理想，故對于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)，可以使用EMD和SVM的組合預測的方式進行研究分析。