三維Zakharov-Kuznetsov方程解的衰減性

種鴿子,于浩洋,王海權(quán),付英

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

本文考慮三維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程的初值問(wèn)題:

三維ZK方程是Korteweg-de Vries(KdV)方程的三維推廣,該方程是由文獻(xiàn)[1]從含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子體中推導(dǎo)出來(lái)的.文獻(xiàn)[2]得出,該方程描述的是在磁化等離子體中離子聲波的傳播.

關(guān)于指數(shù)衰減解,文獻(xiàn)[8]證明了:對(duì)于β>0,若初值

則對(duì)應(yīng)的KdV方程初值問(wèn)題的一個(gè)全局解u滿足如下估計(jì)

和

本文的主要目的是研究初值問(wèn)題(1)解的指數(shù)型衰減性,類似于已在文獻(xiàn)[8]中討論的KdV方程解的指數(shù)衰減性,現(xiàn)將空間維數(shù)升高到三維,即對(duì)于三維ZK方程的解是否也有同樣的衰減性呢？

2 衰減性

考慮一個(gè)一般的三維ZK方程:

顯然,初值問(wèn)題(2)滿足如下守恒律

利用文獻(xiàn)[8]中類似的方法,可得下面結(jié)果.

其中

同理可得

將上面所有結(jié)果代入(6)式可得

其中[,]為交換子.在(6)式中,令s=0可得

其中

其中a3被定義為

將上面的估計(jì)代入(8)式可得

因?yàn)閑b(x+y+z)是無(wú)界的權(quán)函數(shù),直接證明相當(dāng)困難,所以首先用有界的權(quán)函數(shù)來(lái)逼近eb(x+y+z).令

其依賴于參數(shù)ε>0.利用輔助函數(shù)

在 (8)式中,令p=q2,利用(14)式及px=py=pz,可得

由Gronwall不等式可得

因?yàn)镵 不依賴于ε,當(dāng)ε↓0時(shí)對(duì)上式取極限,由單調(diào)收斂原理可得

|rx|=|ry|=|rz|

又由(13)式知0

由(16)式可得

進(jìn)而可得

對(duì)上式關(guān)于時(shí)間t積分可得

因?yàn)镵 不依賴于ε,當(dāng)ε↓0時(shí),對(duì)上式取極限,由單調(diào)收斂原理可得

同理可證

于是,定理2.1得證.